Дж. Тейлор - Введение в теорию ошибок (1108329), страница 25
Текст из файла (страница 25)
х= ~ х)(х) йх. (5.26) Если предельное распределение есть распределение Гаусса 1»,,(х) с центром в истинном значении Х, то этот интеграл можно вычислить. Прежде чем мы это сделаем, следует заметить, что, как это почти очевидно, среднее значение х в случае очень большого числа измерений будет равно Х, тан как вследствие симметрии функции Гаусса относительно Х одинаковое число результатов окажется как бозьше Х на какое-то значение, так и меньше его на то же значение.
Таким образом, среднее значение должно равняться Х. Мы можем вычислить интеграл (5.26) для распределения Гаусса следующим образом: х = ~ х)», (х)г(х = = ~ хе <' «>'до'о(х. (5.27) ! о з/2н иию типа острого пика, соответствующего точным измерениям, в то время как большие значения и дают широкое распределение, соответствующее измерениям с малой точностью. На рис.
5.10 приведены два примера распределения Гаусса с различными центрами Х и ширинами и. Обратите внимание, как фактор и в знаменателе формулы (5.25) автоматически обеспечивает для более узкого распределения (и меньше) ббльшую высоту в центре, как это и должно быть, чтобы полная площадь под кривой равнялась 1. В равд. 5.2 мы видели, что если известно предельное распределение д,зя результатов измерений, то можно вычислить среднее значение х, ожидаемое в случае очень большого числа измерений. В соответствии с (5.15) ожидаемое среднее значение в случае очень большого числа измерений равно 122 Глава й Если произвести замену переменных у = х — Х, то получим )тх = г(д и х = у+Х.
В этом случае интеграл (5.27) можно разбить на два: у= 1 à — ' 'шуч-х 1 - ч"'~у). )5.28) а З/2п Первый интеграл в этом выражении равен нулю, так как вклад любой точки у точно компенсируется вкладом точки — у. Второй интеграл — нормировочный интеграл, встречавшийся нам в (5.22), который равен о ъ72п. Это значение сокращается с множителем о у'2л в знаменателе, и получается ожидаемый результат: х=Х (5.29) в случае многих измерений.
Другими словами, если результаты измерений распределены в соответствии с распределением Гаусса Гх, п(х), то в случае очень большого числа измерений среднее значение х будет равно истинному значению Х, которое соответствует центру функции Гаусса. Результат (5.29) был бы верен, если бы мы смогли сделать бесконечное число измерений. Его практическая ценность заключается в том, что если мы сделаем большое (но конечное) число измерений, то наше среднее значение будет близко к Х. Другой интересной величиной, которую можно вычислить, является стандартное отклонение о в случае многих измерений. В соответствии с (5.16) оно определяется как о„= ~ (х — х) )х,(х) г(х.
(5.30) Этот интеграл легко вычислить. Заменяя х на Х, производя подстановки х — Х = у и у/о = г и, наконец, интегрируя по частям, получаем (см. задачу 5.6) о„= о. (5.3!) в случае многих измерений'). Другими словами, параметр ширины о функции Гаусса Гх,,(х) есть просто стандартное отклонение, которое мы получили бы в результате многих измерений. Это, конечно, объясняет, почему величина о была использована как параметр ширины и почему о часто называют стандартным отклонением распределения Гаусса )х,,(х). Однако, строго говоря, о есть стандартное отклонение, ожидаемое только в случае бесконечно большого числа измерений. Если мы сделаем некоторое конечное число измерений ') См.
примечание переводчнка ва а. 116,— Прим. перев. Нормальное распределение (скажем, 10 или 20) величины х, то полученное стандартное отклонение должно быть некоторым приближением к о, но у нас нет никаких оснований считать, что оно будет точно равно о.
В разд. 5.5 мы обсудим дополнительные сведения о среднем и стандартном отклонении, которые можно получить в результате реализации некоторого разумного числа измерений. 5.4, Стандартное отклонение как 68%-ный доверительный предел Предельное распределение 1(х) результатов измерения некоторой величины х дает возможность вычислить вероятность получения любого данного значения х.
Интеграл ь ~ )(х) Ых О есть вероятность того, что любое единичное измерение приведет к результату, лежащему внутри интервала а «-х ~ Ь. Если предельное распределение есть функция Гаусса )х,,(х), то этот интеграл можно вычислить.
В частности, мы можем вычислить (как обсуждалось в гл. 4) вероятность того, что результат измерения окажется в пределах одного стандартного отклонения о от истинного значения Х. Эта вероятность авиа Р Х+о Р (в пределах о) = ~ 1х,о(х)с(х= К-о Х+о 1 о Э/2п е-1"-хэчьэ' с(х. (5.33) Смысл этого интеграла проиллюстрирован на рис. 5.11. Этот интеграл можно привести к более простому теперь уже обычной для нас подстановкой (х — Х)/о = г. В этом случае /х) Х б Х Хгб Рис. 5.11. Заштрихованная плошадь между Х вЂ” о н Л+ о равна вероятности того, что рсэультат намерения будет лежать в пределах едяого стандартного отклонения от Х.
Глава б Ых = ос(г, и пределы интегрирования становятся равными ~!. Следовательно, -1- 1 Р (в пределах и) == ~ е-ечэс(г. (5.34) ! Зсс2 т Прежде чем оценивать интеграл (5.34), заметим, что в равной мере мы могли бы найти вероятность того, что результат будет лежать в пределах 2о от Х или 1,5о от Х. В общем случае мы могли бы вычислить вероятность Р (в пределах 1о), что означает «вероятиость того, что результат будет лежать в пределах сп от Х», где с — любое положительное число. Эта вероятность показана заштрихованной площадью на рис.
5.12, и расчет, аналогичный приведшему к (5.34), дает (см. задачу 5.7) +с Р (в пределах М) = ~ е-ачэсуг. 1 ч/2и -с (5.35) Интеграл (5.35) — зто стандартный интеграл математической физики; он часто называется функцией ошибок, обозна. чаемой ег1(1), или нормальным интегралом ошибок. Его нельзя вычислить аналитически, но легко оценить численно с помощью карманного калькулятора. На рис. 5.13 его значения представлены графически и приведены несколько его значений. Более полная таблица значений дана в приложении Л в конце книги (см.
также приложение Б, где приведены значения для другого, но тесно связанного с рассматриваемым интеграла). Прежде всего, как можно заметить из рис. 5.13, вероятность того, что результат измерения окажется в пределах одного стандартного отклонения от истинного результата, составляет 68$, как уже принималось в гл. 4 (где говорилось о величине «приблизительно 70вуо»). Если мы будем рассмат- Х с'б Х Х+гб рис. 5.!2.
Заштрихованная илотдадь между Х ~ Со н Х вЂ” М равна вероятности того, что результат измерения будет лежать в пределах С стандартных отклойений от Х. !25 Нормальное распределение (У (сб74 г У У / / / Ф I Р,Г и г(У бб Ы И 7У б7 Ы Ц+Цб Ц7ЛУУИН Рис. 5.13. Вероятность Р (в пределах (и) того, мо результат измерения я будет лежать в пределах ( стандартных отклонений от истинного значения х Х. ривать стандартное отклонение как нашу погрешность в измерениях (т. е, запипгем х = хи.ча ч= бх и примем бх = гг), го мы можем быть на 68% уверены, что наш результат будет в пределах а от правильного результата. Из рис. 5.13 мы также можем видеть, что вероятность Р (в пределах го) быстро стремится к 100о7з с увеличением 6 Вероятность гого, что результат измерения окажется в пределах 2о, равна 95,4%; вероятность результата в пределах Зо — 99,?%.
Это же можно выразить и иным способом, а именно: вероятность того, что результат измерения окажется вне одного стандартного отклонения, довольно значительна (32%), вероятность того, что он будет лежать вне 2о — много меньше (4,6%), а того, что он будет лежать за пределами За, исключительно мала (0,3%).
Конечно, нет ничего магического в числе 68%; это просто доверительный уровень, связанный со стандартным отклонением о. Альтернативой стандартному отклонению может служить так называемая вероятная ошибка (ВО)'), которая определяется как такое отклонение, когда результат измерения с вероятностью 50% окажется внутри интервала Х ~ ВО.
Из ') Автор использует встречающуюся в литературе на английском языке аббревиатуру для вероятной ошибки по первым буквам соответ. ствующих английских слов (Р. Е. — ргоьаые еггог). В литературе на рус. сном языке соответствующая аббревиатура (ВО) для понятия вероятной ошибки ие является общеупотребительной. — Прим. иерее, 126 Глава 6 рис. 5.13 можно увидеть (для результатов измерений, которые распределены нормально), что вероятная ошибка равна ВО ж 0,67о. Некоторые экспериментаторы предпочитают приводить вероятную ошибку ВО в качестве погрешности в своих измерениях.
Тем не менее стандартное отклонение о используется гораздо чаще, поскольку его свойства весьма просты. 5.5. Обоснование среднего как наилучшей оценки хо х„..., х„ и наша задача — найти наилучшие оценки для Х и и, основанные на этих Ф измеренных значениях. Если бы результаты измерений описывались нормальным распределением 7«, в(х) и нам были известны параметры Х и а, то мы могли бы вычислить вероятность получения значений х„..., хю которые фактически были получены.
Так, вероятность получения отсчета вблизи х! в малом интервале дх! есть Р (х между х, и х, +Ых!)= е-! -«1*~ *ох!. (6.36) ! в 2в На практике нас не интересуют ни величина интервала дх!, ии множитель у'2п, так что можно сократить запись до Р (Х ) — — Е-!м-«1Ч 1 и (5.37) Мы будем ссылаться на (5.37) как на вероятность получения значения х!, хотя, строго говоря, это есть вероятность получения значения в интервале около х„ как в (5.36). Вероятность получения второго отсчета хв есть Р (х ) в-!м-«>чв 1 в (5.38) В последних трех разделах мы рассматривали лрсдельмое распределение 1(х), которое получается в случае бесконечного числа измерений величины х.
Если бы функция 1(х) была известна, то мы могли бы вычислить среднее х и стандартное отклонение о, полученные в случае беконечно большого числа измерений, и (по крайней мере для нормального распределения) мы могли бы также узнать истинное значение Х. К сожалению, мы никогда не знаем предельного распределения. На практике обычно имеется конечное число измеренных значений (5, 10 или, может быть, 50) Нормальное распределение и аналогично мы можем записать все остальные вероятности, заканчивая выражением Р(х,)- — е ('" (5.39) Формулы (5.37) — (5.39) дают вероятности получения каждого из отсчетов хь ..
хл, рассчитанные в терминах принятого предельного распределения )»,о(х). Вероятность того, что мы будем наблюдать всю совокупность )ьг отсчетов, равна произведению этих отдельных вероятностей ') Р„,„(х„..., хн)=Р(х,)Р(ха) ° ... ° Р(хн), или Р,,(хь ..., х )- — е ~("г ) г '. и (5.40) Очень важно понять значение различных величин н (5.40). Числа х,, ..., х„— это фактические результаты М измерений; таким образом, х„..., хи — известные фиксированные числа. Величина Р,,(хь ..., х„) есть вероятность получения Ж результатов хь ..., хя, вычисленная в терминах Х и а, истинного значения х и ширины его распределения. Числа Х и а неизвестны; мы хотим найти наилучшие оценки для Х и а, основываясь на данных наблюдений хь ..., х».
Мы добавили нижние индексы Х и а к обозначению вероятности (5.40), чтобы подчеркнуть, что опа зависит от (неизвестных) значе- нийХ ив. Поскольку действительные значения Х и а неизвестны, мы могли бы зафиксировать некоторые предполагаемые значения Х' и а' и затем с этими предполагаемыми значениями вычислить вероятность Р, (хь ..., хя). Если бы затем мы зафиксировали другую пару предполагаемых значений Х" и ал и нашли, что соответствующая вероятность Р».,; (х„..., х,) больше, то мы, естесгвенно, могли бы рассматривать эти новые значения Х" и а" как лучшие оценки для Х и а по сравнению с первой парой. Продолжая в том же духе, мы могли бы организовать поиск таких значений Х и о, которые делают вероятность Р»,,(хь ..., хл) максимально большой, а сами эти значения рассматривать как наилучшие оценки для Х и и.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
