Дж. Тейлор - Введение в теорию ошибок (1108329), страница 20
Текст из файла (страница 20)
4.5. Примеры В качестве первого простого примера применения стандартного отклонения среднего представим себе, что мы должны очень точно измерить плошадь А прямоугольной пластинки размером примерно 2,5 см к 5 см, Сначала мы подберем подходящий измерительный прибор, которым может быть штангенциркуль, и затем сделаем несколько измерений длины 1 и ширины Ь пластинки. Чтобы учесть неоднородности сторон, мы выполним измерения для нескольких различных положений пластинки, а небольшие дефекты прибора учтем, используя несколько различных штангенциркулей (если они имеются). Мы могли бы сделать по десять измерений величин 1 и Ь и получить результаты, показанные в табл.
4.3. По десяти полученным значениям 1 мы легко можем вычислить среднее 1, стандартное отклонение ог и стандартное отклонение среднего оь что показано в столбцах, обозначенных как среднее, СО и СОС'). Аналогично мы можем вычислить Ь, о и оь, Прежде чем производить еще какие-либо расчеты, необходимо проанализировать эти результаты, чтобы убедиться, разумны ли они. Например, два стандартных отклонения о, и оь — это, как известно, средние погрешности в измерениях 1 н Ь. Поскольку 1 и Ь измерялись одним и тем же методом, то было бы довольно странно, если бы ог и оь существенно отличались друг от друга или от той величины, которую мы принимаем за разумную погрешность измерений.
Только убедившись в том, что полученные до сих пор результаты вполне надежны, мы можем быстро закончить расчеты. Наша наилучшая оценка для длины есть среднее 1, а ее погрешность — СОС, а,-; таким образом, окончательный результат для 1 будет 1= 24,245 ь 0,006 мм (или 0,025 К), где число в скобках есть относительная погрешность в процентах. Аналотично результат для Ь имеет вид Ь = 50,368 ~ 0,008 мм (или 0,016 ее). 0 Литер использует принятую на английском языке аббревиатуру для понятия стандартного отклонения среднего (зООМ вЂ” Мапбагб дегдацоп оЕ Гпе теап). Для удобства мы будем использовать в соответствующих местах для понятия стандартного отклонения среднего аббревиатуру СОС.
— Прихс перев. Статистический анализ случайных погрешностей 99 Таблица 4.3. Длина и ширина (в миллиметрах) Изиерениые значении Среднее СО СОС 24,25; 24,26; 24,22; 24,28; 24,24 1 = 24,245 о = 0,0!9 о. 0,006 24,25; 24,22; 24,26; 24,23; 24,24 50,36; 50,35; 50,4г; 50,37; 50,36 Ь = 50,368 о = 0,024 о„= 0,008 50,32; 50,39; 50,38; 50,36; 50,38 Наконец, наша наилучшая оценка для площади А = 1Ь равна произведению этих значений длины и ширины, а ее относительная погрешность определяется квадратнчнои суммой относительных погрешностей в 1 н Ь (в предположении, что ошибки независимы): А = (24,245 мм =Е 0,025 оАе) . (50,368 мм ~ 0,016 ее ) = =-1221,17 ммвб 0 03 ее — — 1221,2~ 0,4 ммз. (4.18) Чтобы получить результат (4.18) для А, мы вычислили средние 1 и 5 с их погрешностями, равными стандартным отклонениям соответствующих средних.
Затем мы рассчитали площадь А как произведение 1 и 5 и определили погрешность в А, как в косвенном измерении. Мы могли бы поступить иначе. Например, можно было бы перемножить первые измеренные значения 1 и Ь и получить первое значение А.
Продолжая тем же способом, мы могли бы получить десять результатов для А и затем, применяя методы статистики к этим 1О результатам, рассчитать Х, ол и, наконец, о л Однако, если ошибки в 1 и Ь независимы и случайны и если мы проделали достаточно измерений, этот альтернативный метод даст (как можно показать) тот же самый результат, что и предыдущий метод'). В качестве второго примера рассмотрим случай, когда нельзя применять обычные статистические методы к результатам прямых измерений, но можно — к конечным результатам.
Предположим, что мы хотим измерить коэффициент ') Во втором методе имеется определеннаи логическая непоследовательность, поскольку нет каких-либо особых причин связывать результат первого измерения ! с первым измерением Ь. В самом деле, мы могли бы измерить ! восемь раз, а Ь !2 раз, и тогда невозможно было бы образовать пары величин. Таким образом, с логической точки зрения наш первмй метод предпочтителен. 10О Глава 4 упругости а пружины, определяя период колебаний для некоторой массы т, прикрепленной к ее концу. Из элементарной механики известно, что период таких колебаний равен Т = 2п т/гп/й. Таким образом, измеряя Т и тп, мы можем найти й по формуле й = 4псгп/Та. (4.10) коэффициент упругости пружины 2=13,16~ 0,06 Н/м.
(4.20) Если бы мы получили разумные оценки погрешностей для наших исходных измерений т и Т, то мы также могли бы оценить погрешность й, используя соответствующие статисти. ческие методы расчета ошибок и положив в основу этп Таблица 4.4. Измерение коэффициента упругости пружины а Озм3 0,581 0,634 0,691 0,752 0,834 0,901 0,950 1,24 1,33 1,36 1,44 1,50 1,59 1,65 1,69 13,17 12,97 н т. д. Масса иь кг Период Т, с А 4ибп/Т' Простейший способ определить й — это взять одну массу пт, известную с заданой точностью, и проделать несколько аккуратных измерений Т. Однако по разным причинам более интересным было бы измерение Т для разньсх масс т.
(Например, в этом случае наряду с измерением й мы могли бы проверить, что Т ~/т.) Тогда можно было бы получить ряд значений, подобных приведенным в двух первых строках табл. 4.4. Очевидно, нет никакого смысла усреднять значения разных масс, приведенных в первой строке (а также и значения периодов во второй строке), так как они не являются разлячными результатами измерений одной и той же величины. Мы также ничего не сможем сказать о погрешности наших измерений, если будем сравнивать эти разные значения пт.
С другой стороны, каждое значение тп можно объединить с соответствующим значением периода Т и вычислить й, как показано в последней строке табл. 4.4. Наши данные для й в последней строке предстаелнют собой результаты измерений одной и той гке величины, и, таким образом, к ним применимы статистические методы. В частности, наилучшей оценкой й будет среднее гс = 13,16 Н/м, а погрешностью— стандартное отклонение среднего оа = 0,06 Н/м (см, задачу 4.12). Таким образом, итоговый результат, основанный иа данных табл. 4.4, имеет внд Статистический анализ случайных погрешностей 101 оценки для бпт и бТ').
В этом случае неплохо было бы срав- нить погрешности в й, полученные двумя методами. 4.6. Систематические ошибки В последних нескольких разделах мы считали как нечто само собой разумеющееся, что все систематические ошибки сведены до пренебрежимо малого уровня еще до начала измерений. Сейчас мы вновь вернемся к той неприятной ситуации, когда имеются заметные систематические ошибки. В рассмотренном выше примере мы могли бы измерять пт на весах, которые систематически давали бы завышенные или заниженные показания, или наши часы могли бы спешить или отставать.
Ни одна из этих систематических ошибок не выявилась бы в процедуре сравнения различных результатов для коэффициента упругости пружины й. Отсюда можно сделать вывод, что стандартное отклонение среднего ой следует рассматривать как случайную составляющую бй„погрешности бя, но определенно не как полную погрешность бп. Наша задача состоит в том, чтобы решить, как оценить сисгвлгптпчвскцю состпвлнющцю басист, а затем — как скомбинировать бйгл и бйсесг, чтобы по~у~ит~ по~кую погрешность бй.
Не существует простой теории, которая указала бы, как нам поступать с систематическими ошибками. Фактически единственная теория систематических ошибок состоит в том, что они должны быть выявлены и уменьшены до такой степени, пока не станут намного меньше требуемой точности. Однако в учебной лаборатории это сделать часто невозможно.
Как правило, нет возможности поверить стрелочиый прибор относительно более надежного, чтобы исправить его, и еще меньше шансов — купить новый прибор, чтобь! заменить неисправный старый, По этой причине в некоторых учебных лабораториях принято за правило, что в условиях отсутствия точной информации каждому прибору следует приписать какую-то определенную систематическую погрешность. Например, можно было бы решить, что все секундомеры имеют 0,5о)о-нУю систематическУю погРешность, все весы — !а!с-нУю, все вольтметры и амперметры — Загс-ную и т. д. Вооружившись правилами такого типа, можно продвигаться дальше разными путями. Выбор каждого из них невозможно строго обосновать, и сейчас мы рассмотрим только ') В лнтерат>ре ня русском языке измерения, результаты которых приведены в табл.
4.4, называются совместными измерениями двух величин пг и Г. Адекватный статистический метод обработки результатов таких измерений — зто метод наименьших квадратов (МНК). Автор рвв. смвтриввет этот метод в гл. 8. — Прим. перев, Глава 4 один из путей. В случае последнего примера из разд. 4.5 коэффициент упругости пружины й = 4пхт/Т определялся с помощью измерений ряда значений т и соответствующих значений Т.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
