Дж. Тейлор - Введение в теорию ошибок (1108329), страница 17
Текст из файла (страница 17)
На рис 3.7 изображен такой график для фотонов (частип света) в свиипе. По оси ординат отложена энергия фотонов Е в МэВ (мяллионах злектронвольт), а по осн абсцисс — соответствующий коэффи- циент поглошепвя р в смс)г. (Точное определение этого коэффициента не должно нас сейчас беспокоится р есть просто подходящая мера ско- рости поглошснпя фотонов в свинце ) Из этого графика легко найти энер- гию Е фотона, если известен с~о коз<)сфицнент поглощения р. а.
Студент пролззодит опыты с пучком фотонов( одинаковой энергии) и находит, что г, свинце их коэффициент поглощения равен р = = О,!О ='- 001 смНг. Найдите по графику энергию фотонов Е и ее погрешность 6Е (Может быть, вы сочтете полезным представить на графике линии, соединяющие разные точки, представляющие интерес, как было сделано на рнс. З.З).
б. Какой вывод сделал бы студент, если бы получил М = = 0,22 ~ 0.0! смс/г? *3.11 (равд. 3 5) а. Угол 0 намерен как 125 З- 2 град, и это значение используется для вычисления Юп О. Используя правило (3.23), расс сигайте з!и О и его погрешность. б. Если величина а измерена как а„„,» ~ ба и это значение используется для вычисления Г(а) = е', то каковы )„„ и 6)? Если а = 3,0 ~ 0,1, то |ему равны ес и ее погрешность? в. Повторите все задание «б» для функции )(а) = 1п а. 3.12 (равд.
3.6). Вычислите значения следуюших выражений методом «шаг за гпагом», как описано в рази. 36 (Предположите, что все ошибки независимы и случайны ) а. (!2 ш 1) Х ((25 -~- 3) — (10 ш !)1, б. ЗУ! 6 ~ 4 + (З,О ~: 0,1)' (2,0 ~ 0,1), в. (20 ~ 2) е-и "=' ') 3.13 (равд. 3.7). Продолжите рассмотрение задачи о математическом маятнике из равд 3 7.
В условиях реального эксперимента необходимо измерять период Т для разных значений длин Е и поэтому получатся разные значения я, которые можно сравнивать. Немного подумав, можно представить все данные и результать расчетов в виде одной удобной таблицы типа табл 3 2 Используя табл. 3.2 (или другую запись, которая вам понравится), вычислите велнчпну я и ее погрешность бп лля приве- денных четырех пар данных. Объясните изменения 6я с уменьшением 1.
(Результаты, представленные в первой строке, позволят проверить ваш метод расчета.) 33.14 (равд. 3 7). Продолжите рассмотрение задачи об измерении по- казателя преломления стекла из равд. 3.7. Используя таблицу, подоб- Погрешности в косвенных измерениях Таблица З.З. Данные для определения показателя преломления (в градусах) 1О 20 30 50 70 ! (ш!) г (ж1) 6 13 19 29 38 ную 3.1, вычислите показатель преломления и и его относительную по- грешность для данных из табл.
3.3, Объясните изменение погрешности (Все углы измерены в градусах; ! -- угол падения, г — угол преломления.) 3.15 (равд. 3.8). Продолжите рассмотрение эксперимента иэ разд 38, в котором тележка скатывается вниз по наклонной плоскости с углом на- клона 6. а. Если колеса у тележки гладкие и легкие, то ожидаемое ускорение раино уз)п 0. Если угол 0 измерен как 6 = 5,4 ~ 0,1 град, то каковы ожидаемое ускорение и его погрешность? б.
Если эксперимент повторяется для разных начальных толчков, сообщаемых тележке иа нершине склона, то, как обычно, данные и все расчеты удобно поместить в одну таблицу, как показано в табл. 3.4. Используя формулу (3.33) для ускорения (н то же значение Р/28 = 0,125 см ~ 2 си, как прежде), вычислите а и ба для приведенных там данных. Находятся ли результаты в согласии с ожидаемым постоянством величины а и с ожидаемым значением д з!ц 0, вычисленным в задании «а»з Следует ли толкать тележку сильнее, чтобы проверять востоянство величины а прн еще больших скоростях? Объясните. *3.16 (равд.
3.9). Частная производная ду/дх от у(х, у) получается дифференцированием функции у по х, когда у считается постоянным Най- дите частяые производные ду/дх и ду/ду для трех функций: а) ц(х,у) = х+ у, б) у(х, у) = ху, в) д(х, у) = х'у'. *3.17 (равд. 3 9). Основное приближение, использованное в равд 3.9, связывает значение функции ц в точке (х + и, у + о) с аналогичной вели- чиной в соседней точке (х, у) у(х+ и, у+ о) ям у (х, у) + — и+ — о дц дд (3.49) дх ду для случая, когда и и о малы. Проверьте в явном виде, что для трех функций из задачи 3.16 это — хорошее приближение, т.е. для каждой из таблица 3.4.
Эксперимент по определению ускорения ') ! 22 ! ! 22 2 ! ! а см/с' г2 тэ! !. с !жь 8,880 гь с ! 'ош! 0,054~2 с/с 0,031ш3!Уо 343~14 1040~62 698~64 87~8 0,038 0,027 0,025 0,020 '! перввн строка данных уже бала использована в рвзк. 8.8, дзз первых столбпн содержат измеренные времена Г, и ть Погрешность во всех знзчсннях времени рззнз О,О?! с; лля каждого значения времени ее можно выразить кек процентную погрепг. аьсть. Глава 3 этих трех функций запишите точные выражения для обеих частей равен.
ства (3.49) и покажите, что они приблизительно равны, когда и и о малы. Например, если д(х, у) = ху, то левая часть равенства (3.49) равна (х+ и) (у + о) = ху+ иу+ хо+ ио Как вы покажете, правая часть (3.49) есть ху+ уи+ хо. Если и и о малы, то величиной ио в первом выражении можно пренебречь и тогда два выражения будут приближенно равны. здй (равд. 3.9). а.
Для функции д(х,у) = ху заившите частные производные ду/дх и дд/ду. Предположим, что мы измеряем х и у с погрешностими бх и бу и затем вычисляем у(х у). Исполъзуя общие правила (3.47) и (3,48), найдите погрешность бд для двух случаев, когда бх и бу независимы и случайны и когда это не так, Разделите левую н правую части этик выражений для бд на (д) = )ху( и покажите, что вы получаете простые правила (3.18) и (3.19) для относительной погрешности произведения. б.
Выполните задание «а» для функции у(х, у) = х"у", где и и ш— известные фиксиронанные числа. в. Какой внд примут формулы (3.47) н (3.48) н случае, когда у(х) зависит только от одной переменной? *3.19 (равд. 3.9), Если мы измеряем трн независимые величины х, у, г н затем вь1числяем функцию, подобную у = (х+ у)/(х+ з), то, как мы узке указывали в начале равд. 3.9, расчеты погрешности в д методом «шаг за шагом» могут дать се завышенное значение. а. Рассмотрите случай, когда измеренные величины равны х = 20~ 1, у = 2; г = О, и для простоты предположите, что бу и бз пренебрежимо малы. Вычислите погрешность бу строго, испойьзуя общее правило (3.47), и сравните полученный результат с тем, который вы получили бы, если бы рассчитывали бд методом «шаг за шагом».
б. Сделайте то же для значений х = 20 ш 1; у = — 40; г = О. Объ. ясннте разницу в результатах для заданий «а» и «6». Глава 4 Статистический анализ случайных погрешностей Мы уже видели, что один из лучших способов оценить достоверность измерений состоит в том, чтобы повторить их несколько раз и затем сравнить между собой различные полученные значения.
В этой и следующей главах мы рассмотрим статистические методы обработки результатов измерений, полученных таким образом. Как уже отмечалось, не все виды экспериментальной погрешности можно выявить на основе статистической обработки многократных измерений. По этой причине погрешности разделяются на две группы: случайные погрешности, которые можно обрабатывать статистическими методами, и систематические погрешности, к которым эти методы неприменимы.
Такая классификация ошибок описана в разд. 4.1. В большей части последующего материала этой главы наше внимание будет занято случайными погрешностями. В равд.4.2 мы введем, правда без строгого обоснования, два важных определения, относящихся к ряду измеренных значений хь ..., хк одной и той же величины х. Во-первых, мы определим среднее значение, или среднее х, для хь ..., хн. При определенных условиях среднее х является наилучшей оценкой х, основанной на измеренных значениях хь ..., хк.
Затем мы определим стандартное отклонение для хь ..., хк. Оно обозначается как о„н характеризует среднюю погрешность в отдельных измеренных значениях хь ..., хя. В равд, 4.3 приведен пример использования стандартного отклонения. В равд. 4.4 мы введем важное понятие стандартного отклонения среднего. Оно обозначается ох и характеризует погрешность среднего х как наилучшей оценки х. В равд. 4.6 приведены некоторые примеры использования стандартного отклонения среднего.
Наконец, в равд, 4.6 мы вернемся к трудной проблеме систематических ошибок, Нигде в этой главе мы не будем пытаться дать строгое обоснование описываемых методов. Наша главная цель— ввести основные понятия и показать, как они используются. В гл.
6 мы приведем надлежащее обоснование, базирующееся на важном понятии нормального распределения. 88 Глава 4 4.1. Случайные и систематические ошибки Экспериментальные погрешности, которые можно обнаружить с помощью многократных измерений, называются случайными ошибками, а те, которые нельзя обнаружить таким способом, называются систематическими ошибками.
Чтобы проиллюстрировать различие между этими видами ошибок, рассмотрим несколько примеров. Предположим сначала, что мы измеряем время одного оборота равномерно вращающегося диска. Одним из источников ошибок будет время нашей собственной реакции при запуске и остановке секундомера. Если бы это время реакции всегда было точно одним и тем же, то два запаздывания, обусловленные реакцией, компенсировали бы друг друга. Фактически, однако, время нашей реакции изменяется. в1ы можем больше промедлить при запуске и таким образом недооценить время оборота или же больше задержаться при остановке секундомера и в этом случае переоценить время. Так как обе возможности равновероятны, то знак эффекта случаен. При многократном повторении измерения мы иногда будем переоценивать время, а иногда — недооценивать. Таким образом, переменное время нашей реакции проявится в различии полученных результатов.
Лналнзируя разброс в результатах методами статистики, мы можем получить очень достоверную оценку ошибки этого типа, С другой стороны, если наш секундомер постоянно отстает, то все измеренные значения времени будут недооценены и никакое количество повторений (с тем же секундомером) не обнаружит этого источника ошибок. Ошибка такого типа называется систематической, поскольку она всегда смещает наш результат в одну сторону.
(Если секундомер отстает, мы всегда недооцениваем время, если спешит— всегда переоцениваем.) Систематические ошибки нельзя обнаружить теин статистическими методами, которые мы сейчас будем рассматривать. В качестве второго примера проявления случайных и систематических ошибок рассмотрим измерение точно определенной длины с помощью линейки. Один из источников погрешности — это необходимость в ннтерполяции между метками шкалы, и эта погрешность, очевидно, случайна, (При интерполяции мы с равной вероятностью как переоцениваем, так и недооцениваем результат.) Но имеется также вероятность того, что наша линейка дефектна, а этот источник погрешности будет, вероятно, приводить к систематической ошибке. (Если линейка растянута, мы всегда недооцениваем результат, если сжата — всегда переоцениваем.) Статистический анализ случайных погрешностей 89 Подобно этим двум примерам, почти все измерения подвержены как случайным, так и систематическим погрешностям.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
