Дж. Тейлор - Введение в теорию ошибок (1108329), страница 13

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 13)

(3.14) бз Погрешности в косвенных измерениях Рис 3.2. Так как любая сторона треугольника меньше суммы двух других сторон, то всегда верно неравенство Ьуоз + Ьз < о + Ь. Во-первых, новое выражение (3.13) всегда меньше, чем старое (3.14), как можно видеть из простых геометрических соображений. Для любых двух положительных чисел а и Ь числа а, Ь и З~аз Р Ьз соответствуют трем сторонам прямоугольного треугольника (рис.

3.2). Поскольку длина любой стороны треугольника всегда меньше суммы двух других сторон, то ясно, что чу'аз+ Ь' (а+ Ь и, следовательно, (3.13) всегда меньше, че м (3. 14) . Так как выражение (3.13) для погрешности в а =х+у всегда меньше, чем (3.14), то всегда, когда это применимо, следует использовать выражение (3.13). Однако оно не всегда применимо. Выражение (3.13) отражает возможность того, что переоценка х может быть как-то скомпенсирована недооценкой в у или наоборот. Легко можно привести пример измерения, где такая компенсация невозможна, Предположим, например, что ц = х+ у есть сумма двух длин х и у, измеренных одной и той же стальной рулеткой. Предположим также, что главный источник погрешности заключается в том, что, как мы опасаемся, рулетка предназначена для использования при температуре, отличающейся от данной.

Если мы не знаем этой температуры (и не имеем надежной рулетки для сравнения), то мы должны будем признать, что наша рулетка может быть длиннее или короче, чем ее калиброванная длина, и что, следовательно, она может давать недооцененные или переоцененные значения длины. Эту погрешность легко учесть '). Однако смысл заключается в том, что если рулетка несколько длиннее, то мы недооцениваел! оба значения х и у, а если рулетка несколько короче, то мы переоцениваем оба значения х и у. Таким образом, нет ') Предположим, например, что рулетка характеризуется коэффициентом расширения ы = 1О-' на градус, и пусть мы решили, что разность между температурой, при которой производилась калибровка, и фактической температурой, по всей вероятности, не больше 1О град. Тогда мало.

вероятно, чтобы длина рулетки более чем на 10-4, нлн на 0,01 %, отлнча. лась от правильной, и наша погрешность, следовательно, составляет 0,01 е!а. 64 Глава 3 шансов для взаимной компенсации ошибок, которая оправдывает использование квадратичной суммы для вычисления погрешности в д = х+ у. Позднее (в гл. 9) мы докажем, что независимо от того, являются ли наши ошибки независимыми и случайными, погрешность в д = х + у определенно не больше, чем простая сумма бх+ бу: бд а бх+ бу, (3.15) т.

е. наше старое выражение (3.14) для бд представляет собой в действительности верхний предел, который справедлив во всех случаях. Если у нас имеются какие-либо основания подозревать, что ошибки в х н у не независимы и случайны (как в примере с измерением стальной рулеткой), то использование нами квадратичной суммы (3.13) для бд не будет оправданным. С другой стороны, предел (3.15) гарантирует, что бд определенно не больше, чем бх + 6у, н более надежным будет использование старого правила бд = 6х + бу. Фактически часто пе существенно, каким образом складывать погрешности: квадратично или непосредствснно. Например, предположим, что х и у — длины, измеренные обе с погрешностями бх = бу = 2 мм.

Если бы мы были уверены, что эти погрешности независимы и случайны, то мы оценили бы ошибку в х+ у квадратичной суммой .~1(бх)а+(бу)а= ~14+4 им=2,8 мм = 3 мм, а если бы мы подозревали, что погрешности могут не быть независимыми, то были бы вынуждены использовать обычную сумму бх+ бу = (2+ 2) мм =4 мм. Во многих экспериментах оценка погрешностей настолько груба, что различие между этими двумя результатами (3 н 4 мм) не важно. С другой стороны, иногда квадратичная сумма значительно меньше, чем обычная сумма.

Кроме того, как это ни удивительно, квадратичную сумму иногда легче вычислить, чем обычную сумму. Мы встретимся с примерами этих эффектов в следующем разделе. 3.4. Еще о независимых погрешностях В последнем разделе мы видели, как независимые случайные погрешности в двух величинах х и у вызывают погрешность в сумме х+у. Было показано, что для такого типа погрешностей две ошибки должны складываться квадратично. Естественно, можно рассмотреть соответствующую задачу для разностей, произведений и частных.

Как мы докажем позже, бб Погрешности в косвенных измерениях Погрешность в суммах и разностях Предположим, что х, ..., и измерены с погрешностями бх, ..., бш и что измеренные значения используются для вычисления ч = х +... + 2 — (и +... + вр). Если известно, что погрешности в х, ..., гв независимы и случайны, то погрешность в а равна квадратичной сумме ба= '(бх)з+...

-1-(бг)з-1-(би)з+... + (бгв)з исходных погрешностей. В любом случае бд никогда не больше, чем их обычная сумма бд(бх+ ... + ба+ би+ ... +бш. (3, 16) (3.17) Погрешности в произведениях и частных Предположим, что х, ..., и измерены с погрешностями бх, ..., бш и что измеренные значения используются для вычисления хХ" Хг нХ Хге ' Если погрешности в х, ..., и независимы и случайны, то относительная погрешность в д равна квадратичной сумме исходных относительных погрешностей бч !ч! + Я)'+ ". +( — ''-")'. (3.18) В любом случае она никогда не больше, чем их обычная сумма бд бх бя бн бш — -= — + ° + — + — + + —. !а! !х! ''' !г! !и! ''' !ш! ' (3.19) можно показать, что во всех случаях наши предыдушие правила (3.4) и (3.8) модифицируются только в том отношении, что суммы ошибок (или относительных ошибок) заменяются квадратичными суммами. В дальнейшем мы докажем, что старые выражения (3.4) и (3.8) являются фактически верхними пределами, которые всегда справедливы независимо от того, независимы и случайны ли погрешности.

Таким образом, конечный вариант наших двух главных правил выглядит следуюшим образом: Глава 3 Заметим, что мы не обосновали возможность использования квадратичного сложения для независимых случайных погрешностей. Мы только высказали соображения, что когда различные погрешности независимы и случайны, то имеется вероятность взаимной компенсации ошибок, и что результирую1цая погрешность (или относительная погрешность) должна быть меньше, чем простая сумма исходных погрешностей (или относительных погрешностей).

Квадратичная сумма действительно обладает таким свойством. Мы приведем надлежащее доказательство ее применимости в гл. 5. Предельные соотношения (3.17) и (3.19) будут доказаны в гл. 9. Пример Как мы уже отмечали, иногда нет существенного различия между погрешностями, полученными как квадратичные суммы, и погрешностями, вычисленными простым сложением. С другой стороны, иногда имеется существенная разница и, что довольно удивительно, квадратичную сумму часто намного проще вычислить. Чтобы увидеть, как это происходит, рассмотрим следующий пример.

Предположим, что мы желаем определить коэффициент полезного действия электрического мотора постоянного тока, используя этот мотор для того, чтобы поднять массу гп на высоту й. Совершенная работа равна тяй, а электрическая энергия, подведенная к мотору, равна Иг, где )г — приложенное напряжение,! — ток и 1 — время, в течение которого работал мотор. В этом случае коэффициент полезного действия равея коэффициент полезного действия е = работа, совершенная мотором тдй энергия, подведенная к мотору рй Предположим, что гп, й, )г и I могут быть измерены все с точностью ! % ." (относительная погрешность т, й, )г и 7)=1% н что время г имеет погрешность 5 ча (отноеитрльная погрешность г) 5%.

(Конечно, величина д известна с ничтожной погрешностью.) Если мы теперь вычислим коэффициент полезного действия е, то в соответствии с нашим старым правилом («относительные ошибки складываются») погрешность будет равна ~ — + — + + + — (1+ 1+1+1+5) а%а =9%. Ье Ьт ЬЬ ЬР Ь! М е лт Ь 'к' ! Погрешности и косвенных нэнеренннх С другой стороны, если мы уверены, что различные погрешности независимы и случайны, то мы можем вычислить бе!е как квадратичную сумму, что дает = 1/1х+ 1е + 1х + 1х + 5 % — 1!2й % — 5 ой Ясно, что квадратичная сумма приводит к значительно меньшей оценке для бе.

Более того, как можно увидеть, с точностью до одной значащей цифры погрешности в гп, Ь, )! и ! совсем не вносят вклад в погрешность е, рассчитанную таким способом, т. е. с точностью до одной значащей цифры мы нашли (в этом примере) ое М е ! Это поразительное упрощение легко понять. Когда числа складываются квадратнчно, они сначала возводятся в квадрат, а затем суммируются. Процесс возведения в квадрат сильно преувеличивает влияние больших чисел.

Например, если одно число в 5 раз больше любого другого (как в нашем примере), то его квадрат уже в 25 раз больше аналогичных величин для других чисел и мы можем обычно полностью пренебречь другими числами. Этот пример показывает, что лучше, а часто и легче, складывать ошибки квадратично. Он иллюстрирует также, какого рода проблемы возникают в случае, когда ошибки действительно независимы и когда оправданно квадратичное сложение. (Пока мы принимаем на веру, что ошибки случайны.

Этот более трудный вопрос обсуждается в гл. 4.) Пять измеренных величин (нт, Ь, (т, ! и !) являются физически различными величинами с разными единицами измерения, и измеряются они с помощью совершенно различных методов. Поэтому практически невероятно, чтобы источники ошибок для одной какой-либо величины были коррелированы с источниками для любой другой. Следовательно, ошибки можно рассматривать как независимые и складывать квадратичио. 3.5.

Произвольная функция одной переменной Теперь мы знаем, как оценивать независимые и зависимые погрешности для сумм, разностей, произведений и частных, Однако многие расчеты включают и более сложные операции, такие, как вычисление синуса, косинуса или квадратного корня, и нам следует знать, как оценивать ошибки и в этих случаях косвенных измерений. Глава 3 у(ма ум Хиаил Рис. З.З. Графин зависимости д(х) от х. Если величина к измеРена как хи и ш Ьх, то наилучшая оценка е(х( есть Ои и =Е (»в и ), Наиаольшее и навменьшее веРоатные значениа д(х( соответствУют значениям хи „л Ш Ьк величины х. нанл В качестве примера можно привести задачу, в которой определяется показатель преломления стекла п методом измерения предельного угла О полного внутреннего отражения.

Характеристики

Список файлов книги