Дж. Тейлор - Введение в теорию ошибок (1108329), страница 12
Текст из файла (страница 12)
е. много меньше единицы). Эту форму можно упростить с помощью двух приближений. Во-первых, поскольку число Ь мало, бнномиальная теорема ') дает 11 Ь) =1+6 (3.6) ') Бнномнальная теорема позволяет выразить 1/(1 — Ь) через бесконечный рял 1 + Ь+ Ьа+ Ь'+ .... Если Ь много меньше 1, то 1/(1 — Ь) м нн 1 + Ь, как в (3 6) Читатель, незнакоа~ый с биномиальной теоремой, может найти дополнительные сведения в задаче 3.7. бт Погревзноети в косвенных измерениях — ж — +— бд бх бу !у1 (х( )у! ' (3.7) Мы приходим к выводу, что при делении или умномсении двух измеренных значении х и у относительная погрешность результата равна сумме относительных погрешностей х и у, как в (3.7).
Если теперь умножать или делить целый ряд чисел, то повторные применения этого результата приведут иас к следующему общему правилу: Погрешность в произведениях и частных Если несколько величин х, ..., в измерены с малыми погрешностями бх, ..., бв и измеренные значения используются для рас- чета хХ Хх иХ Хгв то относительная погрешность рассчитанной величины с) равна сумме бу бх бз — — — + + — + 1х( ~х) би бы + — + +— )и! ''' 1 1 относительных погрешностей в х, ..., ш. (3.8) Следовательно, - +о (1+а)(1+Ь)=1+а+Ь+або 1+а+Ь, где в последнем выражении мы пренебрегли произведением двух малых величин аЬ.
Возвращаясь к (3.5) и используя зти приближения, мы получаем для наибольшего вероятного зна- чения с) = х/у (наиболыпее значение д) = ""' (1 + — + У 1. унаях с 1х! !у! / Лнало.ичное рассмотрение показывает, что наименьшее ве- роятное значение дается подобным же выражением с двумя знаками минус. Объединяя эти результаты, находим (значение д) = — ""' (1 и: ~ — „+ —,]) Сравнивая ото выражение со стандартной записью (значение д) = с1„,„н (1 -ь — У), бд мы видим, что наилучшее значение д равно с)ваял = хнакя/уязвя как мы могли бы ожидать, и что относительная погрешность есть аа Глава 3 Итак, при умножении или делении величин относительные по- грешности складываются, Пример При съемке местности иногда приходится определять не доступную непосредственному измерению длину 1 (такую, как высота большого дерева) при помощи измерений трех других длин 1„1,, 1,, которые дают ~1~2 12 Предположим, что мы выполняем такой эксперимент и полу.
чаем результаты (в метрах) 1,=50~05; 1,=1,5 ~003; 13 —— 50.+ 02. Наша наилучшая оценка для 1 равна 50 ° 1,5 12322= З ' =15 М. В соответствии с (3.8) относительная погрешность этого ре- зультата равна сумме относительных погрешностей в )ь 1м 13, которые равны соответственно 1, 2 и 4 в(2.
Таким образом, .+ + — (1 .+ 2 .+ 4) ов — 7 3/, а11 в12 413 11 12 13 и наш окончательный результат имеет вид 1=15~1 м. Измеренная величина умножается на точное число Два важных частных случая применения правила (3.8) заслуживают отдельного упоминания. Во-первых, предположим, что мы измеряем величину х н используем ее для вычисления произведения д = Вх, где число В не содержит погрешности. Например, мы могли бы измерять диаметр окружности и затем вычислять ее периметр как с = и,'22', д, или мы могли бы измерять толщину Т 100 идентичных листов бумаги и затем определять толщину одного листа как 1=(1/100) 2( Т. В соответствии с правилом (3.8) относительная погрешность в 3) = Вх равна сумме относительных погрешностей для величин В и х. Поскольку 8В = О, то Ьд ьх Погрешности в косвенных измерениях Умножая на )д! =(Вх(, мы находим, что бд = (В)бх, т. е.
получаем следующее полезное правило: Измеренная величина умножается на точное число Если величина х измеряется с погрешностью бх и используется для вычисления произведения д=Вх, в котором В не имеет погрешности, то погрешность в о равна )В), умноженному на погрешность в х: бд =) В |бх. (3,9) Это правило особенно полезно в случае, когда надо измерять что-то необычно малое, но имеющееся в большом количестве, такое, как толщина листа бумаги или время оборота быстро вращающегося колеса. Например, если мы измеряем толщину Т 100 листов бумаги и получаем результат толщина 100 листов=Т =30 ~3 мм, то отсюда сразу же вытекает, что толщина 1 одного листа равна 1 толщина одного листа =1= —,, Х Т= О.3 ~ 0,03 мм.
Заметьте, как такой прием (измерение толщины нескольких идентичных листов и последующее деление на число листов) делает легко выполнимым измерение, которое в противном случае потребовало бы довольно сложного оборудования, и приводит также к исключительно малой погрешности. Конечно, необходима уверенность, что все листы имеют одинаковую толщину.
Возведение в степень Второй частный случай правила (3.8) касается оценки степени некоторой измеренной величины. Например, мы могли бы измерять скорость и некоторого тела и затем для определения кинетической энергии (1/2)тпх вычислять о'. Поскольку пе = о К и, то из (3.8) следует, что относительная погрешность в ое равна удвоенной относительной погрешности в ц, Глава 3 Если обобщить, то из (3.8) ясно, что общее правило для лю- бой целой степени будет следующим: Погрешность при возведении в степень Если величина х измеряется с погрешностью бх и измеренное значение используется для вычисления степени этого числа то относительная погрешность в д в п раз больше относительной погрешности в х, бд бх 1ч~ !х! ' (3.10) Пример Предположим, что студент определяет ускорение свободного падения д, измеряя время ! падения камня с высоты й.
После нескольких измерений времени он находит 1=1,6 ~ 0,1 с и измеряет высоту й как 6= 14,1 ~0,1 м. Поскольку й определяется известной формулой й =(1/2)д!в, то он вычисляет д как 2Ь 2 14!м Д= — = ' . =11 м/св. (1,6 с)' Погрешность этого результата может быть найдена при помощи сформулированного выше правила. Здесь нам необходимо знагь относительные погрешности в каждом из множителей выражения д=2Й/!а, используемого для расчета и. Множитель 2 не содержит погрешности. Относительные погрешности в й и ! равны — = — =0,7 % бб О! б 14,1 б! ОД вЂ” = — =6,3 %. 1,6 В соответствии с правилом (3.10) относительная погрешность в !в в 2 раза больше, чем в б Следовательно, применяя пра- Наш вьшод этого правила требовал, чтобы и было целым н положительным числом.
Фактически, однако, правило можно обобщить на случай любых показателей степени п [см. (3.26)1. 61 Г1огрешностн в носвенных нзнеренннх вила (3.8) для произведений и частных к формуле д = 2/е/1е, мы получим для относительной погрешности — " .+ 2 — 0 7 ое + 2. (6 3 о~р) 13 3 ее (3.11) и, следовательно, погрешность бй =(11 м/се) ° оо = 1,46 м/с'. Таким образом, окончательный результат нашего студента (необходимым образом округленный) составляет д = 11 ~ 1 м/с'. Этот пример показывает, насколько простой часто может быть оценка погрешностей. Отсюда видно также, каким образом теория ошибок не галька позволяет оценить величину погрешностей, но подсказывает пути их уменьшения.
В данном случае из (3.11) ясно, что наибольший вклад в погрешность обусловлен измерением времени. Если мы хотим иметь более точное значение д, то необходимо улучшить именно измерение 1; любая попытка улучшить измерение й была бы в значительной мере напрасным усилием. 3.3. Независимые погрешности в сумме 11равила, которые мы пока нашли, могут быть сформулированы кратко: когда измеряемые величины складываются или вычитаются, погрешности складываются; когда измеряемые величины умножаются или делятся, складываются относительныг погрешности.
В этом и следующем разделах мы рассмотрим, как при определенных условиях погрешности, рассчитанные на основании этих правил, могут оказаться неоправданно большими. Точнее, мы увидим, что если исходные погрешности нгзависал1ы и слуеайньс, то более реалистичная (и меньшая) оценка окончательной погрешности дается аналогичными правилами, в которых погрешности (или относительные погрешности) ск гадывиются квадратично (т. е. в соответствии с процедурои, которую мы вскоре определим) Рассмотрим сначала вычисление суммы д = х-1-у двух чисел х и у, которые были измерены обычным образом: (измеренное значение х) = х„,„, ~ бх и аналогично для у.
Способ, который использовался в последнем разделе, выглядел следующим образом. Во-первых, наилучшая оценка а = я+ у есть, очевидно, дн,„е = х„„„-1- +у„„. Во-вторых, поскольку наибольшие вероятные значения для х и у равны соответственно хнеее + бх и унене + бу, то Глана 3 наибольшее вероятное значение величины а есть хаанл + Унанл + бк + бу' (3.12) Аналогично наименьшее вероятное значение а есть хнанл + Унанл бх бу' Отсюда мы делаем вывод, что величина д, вероятно, лежит между этими двумя значениями, и погрсшность в д равна 69 = Ьх+ бу. Чтобы увидеть, почему эта формула скорее всего переоценивает ба, рассмотрим, в каком случае фактическая величина у сравнивается с наибольшим значением (3.12). Очевидно, это может случиться, если мы недооценили х на полную величину бх и недооценили у на полную величину бу. Однако это весьма маловероя~но.
Если х и у измеряются независимо и наши ошибки случайны по природе, в 50% случаев недооценка х будет сопровождаться переоценкой у или наоборот. Тогда ясно, что вероятность недооценки как х, так и у на полные величины бк и бу довольно мала. Следовательно, значение бд = бх+ бу переоценивает нашу возможную ошибку. А что же тогда будет лучшей оценкой для буй Это зависит от того, чтб мы понимаем под ошибкой (т. е.
чтб мы подразумеваем, утверждая, что д, «вероятно», лежит где-то между у„а,— бу н уааал+бд). Это такж~ зав~с~т от того, каковы статистические законы, которым подчиняются наши ошибки в измерениях. В гл. 5 мы обсудим нормальное распределение, или распределение Гаусса, которое описывает измерения, подверженные случайным погрешностям, Мы увидим, что если измерения х и у выполняются независимо и если они оба подчиняются нормальному распределению, то погрешность в а = х+у дается выражением бд = у'(бх)а -1- (бу)а. (3.
13) Когда комбинируют два числа, возводя их в квадрат, складывая квадраты и затем извлекая квадратный корень, как в (3.13), то говорят, что числа складывают квадратично. Таким образом, правило, которое содержится в (3.!3), может быть сформулировано следующим образом: если измерения х и у независимы и подвержены только случайным погрешностям, то погрешность ба в рассчитанном значении д = х+ у равна сумме квадратично сложенных погрешностей бх и бу, или их квадратичной сумме. Важно сравнить новое выражение (3.13) для погрешности в д = х+ у с нашим старым выражением бу = бх+ бу.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
