Дж. Тейлор - Введение в теорию ошибок (1108329), страница 15
Текст из файла (страница 15)
Погрешности в косвенных измерениях сложным, и фактически лишь небольшое число встреча1ошихся на практике задач значительно сложнее, чем эти рассмотренные примеры. Измерение д с помощью математического маятника В качестве первого примера рассмотрим измерение д, ускорения свободного падения, с помошью математического маятника. Как хорошо известно„ период колебаний такого маятника равен Т = 2я ЬУЯ, где 1 †дли маятника. Таким образом, если 1 и Т измерены, мы можем найти ((1 д = 4яв(/Та. (3.28) Это выражение позволяет представить д в виде произведения двух множителей 4на и ( и частного 4наЦТа.
Если различные погрешности независимы и случайны, то относительная погрешность в нашем результате равна квадратичной сумме относительных погрешностей в этих множителях. Множитель 4нз не имеет погрешности, а относительная погрешность в Т' в два раза больше, чем в Т: Ь (Тз) ЬТ вЂ” =2 —. Т* Т Таким образом, относительная погрешность нашего результата для й будет — '; =~( — ")'+(%' Предположим, что мы измеряем период Т для одного аначения длины 1 и получаем результаты ) 1=92,95 ~ О,! см, Т=!,936 ~ 0,004 с. Наша наилучшая оценка для д легко находится из (3.28) как 4нх (92,95 см) ьсгнлил = (1,936 с)г = 979 СМ/С . Чтобы найти погрешность в д согласно (8.29), нам необходимо знать относительные погрешности в 1 и Т.
Они легко рассчитываются (в уме) как И ЬТ вЂ” 01об и р 02о4 \ ') Хотя погрешность ЬТ = 0,004 с на первый взгляд могла бы пока. заться неправдоподобно малой, оиа легко достижвма, если измерять время нескольких колебаний. Если измерения выполнять с точностью 0,1 с, что вполне возможно в случае использования секундомера, то, измеряя время 25 колебаний, можно найти период Т с точностью 0,004 в. Глава 3 Подставляя в (3.29), находим ~/(О 1)е + (2, 0 2)е % 0 4 е4 и, следовательно, бя=0,004 ° 979 см/се=4 см/са.
Таким образом, наш конечный результат, основанный на этих измерениях, равен и 979 ~ 4 см/са. Если теперь эксперимент повторить (как это необходимо для большинства таких экспериментов) с другими значениями параметров, то не обязательно повторять расчет погрешностей во всех деталях. Немного подумав, можно легко свести разные значения 1, Т и д и соответствующих погрешностей в одну общую таблицу (см. задачу 3.13). Определение показателя преломления из закона Снелла и = з1п 1/яп г.
(З.ЗО) Погрешность этого результата легко вычисляется. Так как и — частное от деления яп( на яп г, то относительная по- грешность дается квадратичной суммой Эп ~( Э мп ~ )е+ (Э агп г )з (3.31) Рис. 3.5. Углы падения ~ н преломления ~ прн прохождении луча света ив воздуха в стекло. Если луч света проходит из воздуха в стекло, то можно определить углы падения (1) и преломления (г) (рис.
3.5), Эти углы связаны законом Снелла з|п(= и яп г, где и— показатель преломления стекла. Таким образом, если измерить углы 1 и г, то можно рассчитать показатель преломления и как Погрешности в косвенных нзмереннях Таблица 3.!. Определение показателя преломлення С град г, град ЬаГп г' Ьа~пг Ьп И, гь 1мп г!' 1агпг!' и ' 13 0,342 0,225 1,52 23,5 О,б43 0,399 1,61 3 9 4 5 20 40 относительных погрешностей в з!п ! н 3!и г. Чтобы найти относительную погрешность в значении синуса любого угла О, заметим, что б 3!п О = ! — '" ~ 50 = ! соз 0160 (в рад), бб Таким образом, относительная погрешность равна =1с!цО!50 (в рад). (3.321 3.8. Более сложный пример Два рассмотренных выше примера типичны для экспериментов в учебной физической лаборатории, Однако небольшое число экспериментов требует более сложных расчетов.
В качестве примера такого эксперимента рассмотрим измерение ускорения тележки, скатывающейся по наклонной плоскости '). '1 Читатель, если желает, может пропустить этот раздел без потери непрерывности изложения н вернуться к его изучению в связи с зада. чей 3.15. Предположим, что теперь мы измеряем угол г для двух значений ! н получаем результаты, приведенные в двух первых столбцах табл. 3.1 (с найденными во всех измерениях погрешностями ~1 град, нли 0,02 рад), Расчет п = 3!и !/3!и г легко выполняется, как видно из трех следующих столбцов табл. 3.1.
Погрешность в и находится, как показано в трех последних столбцах; относительные погрешности для 3!п1 и 3!пг вычисляются по формуле (3.32) и, наконец, для и — по (3.31) . Прежде чем выполнять серию измерений, подобных двум представленным в табл 3.1, тщательно продумайте, как наилучшим образом привести данные и расчеты. Аккуратное представление данных, подобно показанному в табл. 3.1, позволяет легко записывать результаты н уменьшает опасность появления ошибок в расчетах.
Читающему также будет легче проследить за записью и проверить расчеты. 76 Глава 3 Ускорение тележки, скатывающейся по наклонной плоскости (8.34) мзстлтсглевгелпт 1 Рнс. 3.6. Тележка, снатмваюксаяся вниз по наклонной плоскости с углом ианлона а. Ва,клыа Еотогчемент соединен с часами, отмечаюкгими интервал времени, в тече нне которого тележка ираколнт мимо него. Рассмотрим тележку, скатывающуюся по наклонной пло- скости с углом наклона О, как показано на рис. 3.5.
Ожидзе- мое ускорение равно д 61п О, и если измерить 0, то легко можно вычислить ожидаемое ускорение и его погрешность задача 3.15). Мы можем измерить фактическое ускорение а, определяя времена, за которые тележка проходит каждый из двух фотоэлементов, соединенных с часами. Если тележка имеет длину 1 и за время 1г проходит первый фотоэлемент, то ее скорость равна о, = 1/1ы Аналогично пр = 1/1р. (Строго говоря, эти скорости представляют собой средние скорости тележки за время прохождения фотоэлементов. Однако, пока длина 1 мала, различие между средней и мгновенной скоро- стямн незначительно.) Если расстояние между фотоэлемен- тами равно з, то в соответствии с известной формулой о';,'= о', + 2аз находим С помощью этой формулы и измеренных значений 1, з, 1с и 1в легко найти наблюдаемое ускорение и его погрешность, Пусть данные для этого эксперимента (числа в скобках характеризуют соответствующие относительные погрешности в процентах, как легко можно проверить) выглядят следую- щим образом: 1 5„0-Е 0,05 см (1 ок6), а=100,0~0,2 см (0,2 ого), 11 —— 0,054 ~0,001 с (2 огр), 1а=0,031-~ 0,001 с (3 ок6).
Погрешности в косвенных нзмереннях 77 Из этих данных можно сразу вычислить первый множитель в (3.33) Р/2з = 0,125 см. Поскольку относительные погрешности в ! и з равны соответственно 1 и 0,2%, аналогичная величина для Р/2з есть яг'12 Х 1)'+ (0,2)в Я = 2 о4 (Обратите внимание на то, что погрешность в з не дает за- метного вклада и ею можно пренебречь.) Следовательно, Р/2з = 0,125 см ~ 2 ее.
(3.35) Чтобы вычислить второй множитель в (3.33) и его по- грешность, будем продолжать расчет по этапам. Так как от- носительная погрешность в В составляет 2е/е, то аналогич- ная величина для 1/!в, составляет 4%. Таким образом, по- скольку В = 0,054 с, 1/Р = 343.=ь 14 с в. Аналогично относительная погрешность в 1/!~ составляет 6%, н 1/1,,'=1041 ~-62 с х. Вычитая эти значения (и складывая ошибки квадратично), находим — е — —, = 698 ~ 64 с в (9 е4).
(3. 36) Наконец, в соответствии с (3.33) искомое ускорение равно произведению (3.35) и (3.36). Перемножая эти значения (и складывая квадратично относительные погрешности), получаем а=(0,125 см ~ 2 о4). (698 с ' ~ 9 ей) =87,3 см/с' ~ 9 ~~ или а = 87 ~ 8 ем/с'. (3.37) Этот результат можно было бы сравнить с ожидаемым ускорением д з1п 6, если бы оно было рассчитано. При внимательном изучении расчета, приведшего к (3.37), можно отметить несколько интересных особенностей. Во-первых, 2е/о-ная погрешность множителя !е/2з полностью перекрывается 9%-ной погрешностью в (1/1~) — (!/1~).
В случае расчетов для последующих испытаний погрешности в ! и з можно игнорировать (если прикидка показывает, что они все еще неважны). Другой важной особенностью нашего расчета является возрастание 2- и 3%-ных погрешностей в 1, и Ьх при вычислении !/!', и 1/!' и разности (1/!',) — (1/!;'), так что конечная по- тв Глава 3 грешность становится равной 9Ъ. Этот рост частично обусловлен возведением в квадрат и частично вычислением разности больших чисел. Мы могли бы представить себе некоторое расширение эксперимента для проверки постоянства а, когда тележке дается начальный толчок, так что скорости о~ и оз возрастают. В этом случае времена г1 н гт стали бы меньше и ошибки возросли бы (см. задачу 3.15). 3.8. Общая формула для вычисления ошибок в косвенных измерениях ') Итак, мы установили три основных правила для расчета ошибок в случае косвенных измерений; правило для сумм и разностей, правило для произведений и частных и правило для произвольной функции одного переменного.
В последних трех разделах мы видели, как вычисление сложной функции часто может быть разбито на отдельные элементы и как погрешность в рассчитываемой функции можно оценить методом «шаг за шагом», используя три наших простых правила. В этом заключительном разделе мы приведем одну общую формулу, из которой могут быть получены все три упомянутых правила и с помощью которой может быть решена любая задача вычисления ошибок в косвенных измерениях. Хотя эта формула на практике довольно громоздка, теоретически она весьма полезна. Более того, имеется ряд задач, для которых лучше проделать вычисления в один прием с помощью общей формулы, чем рассчитывать погрешность методом «шаг за шагом»», как в последних трех разделах. Чтобы проиллюстрировать тип задач, для которых расчет в один прием предпочтительнее, предположим, что мы измеряем три величины х, у, г и должны вычислить функцию типа и+у л+ 2 в которой какая-то переменная появляется более чем один раз (в данном случае х).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
