Дж. Тейлор - Введение в теорию ошибок (1108329), страница 19
Текст из файла (страница 19)
Для пяти измерений из табл. 4.1 мы могли бы рассчитать о„ как показано в табл. 4.2. Суммируя числа г(;-из четвертого столбца табл. 4.2 и деля сумму на 5, мы получим величину о„' (часто называемую дисперсией измерений): от = — 7 г(з = — ' =0,56. 1 ти 2,80 х=,~,7, !— Глава 4 оценку погрешности в результатах измерений хь ..., хю особенно в случае, когда число измерений М мало.
Существование такой тенденции можно понять, если рассмотреть предельный (и абсурдный) случай, когда У = 1 (т. е. когда мы сделали только одно измерение). В этом случае среднее значение х равно единственному значению х, и единственное отклонение автоматически равно нулю. Следовательно, определение (4.6) приводит к абсурдному результату, что о„ = О.
С другой стороны, определение (4.9) приводит к неопределенности типа О/О, т. е., согласно (4.9), о, — неопределенная величина, что корректно отражает нашу полную неосведомленность о погрешности после выполнения только одного измерения. Определение (4.6) иногда называют стандартным отклонением ееиералоной совокупности, а (4.9) — вогборочным стандартным отклонением '). Различие между двумя выражениями (4.6) н (4.9) в численном отношении почти всегда незначительно. Каждый может повторить измерение много раз (по крайней мере пять раз и предпочтительнее много больше).
Даже если мы произведем только пять измерений (У = 5), разница между ~~У=2,2 и )/У вЂ” 1=2 для большинства приложений незначительна. Например, если мы пересчитаем стандартное отклонение (4.8) с помощью «улучшенного» определения (4.9), то получим а, = 0,8 вместо 0,7, т. е. не такую уж значительную разницу. Тем не менее необходимо знать, что существуют два определения. Вероятно, всегда лучше использовать более консервативное (т. е, приводящее к большему значению) определение (4.9), но в любом случае в отчете по лабораторной работе всегда должно быть ясно указано, какое определение использовано, чтобы читатель смог проверить расчеты. 4,3. Стандартное отклонение как погрешность единичного измерения Мы отметили, что стандартное отклонение а, характеризует среднюю погрешность результатов измерений хь ..., хн, по которым оно было вычислено.
В гл. 5 мы приведем обоснование этого, доказав следующее более точное утверждение. Если результаты наших измерений распределены нормально и если мы повторим измерение х очень большое число раз (всегда с той же аппаратурой), то приблизительно 70 $ ре- ') В литературе нз русском нзыкс выражение (4.6) называют, кзк правило, сысщсниой оценкой, з (4.9) — соогвстствснно неочищенной оцснкой стандартного отклон«вин, но обо оценки — выборочные, т.
с. зззисит от выборки. — Прим. перез. Статистический анализ случайных погрешностей 95 зультатов наших измерений') будут лежать в пределах о„ от х, т. е. 70с4о результатов наших измерений будут лежать в интервале х ~ о . Это утверждение можно перефразировать следующим образом. Предположим, как и прежде, что мы получили значения хь ..., хя и вычислили х и о,. Если затем мы делаем еще одно измерение (с той же аппаратурой), то вероятность того, что результат нового измерения будет лежать в пределах о, от х, равна 70 %. Далее, если число измерений Ж было велико, то х должно быть очень надежной оценкой действительного значения х. Следовательно, мы можем сказать, что вероятность того, что единичное измерение (полученное с той же аппаратурой) не будет отличаться более чем на а, от действительного значения, равна 70 з/з.
Ясно, что а означает именно то, для чего мы использовали термин «погрешность» в предыдущих главах. Если мы делаем одно измерение величины л, используя данную аппаратуру, то погрешность, связанная с этим измерением, должна быть оценена как бх = о„ при таком выборе погрешности мы на 70з7о уверены, что результат нашего измерения будет лежать в пределах бх от фактического значения. Чтобы проиллюстрировать использование этих понятий, предположим, что у нас имеется коробка с одинаковыми пружинами и что нас попросили измерить их коэффициенты упругости й.
Вы могли бы измерять коэффициенты упругости, подвешивая грузы к каждой пружине и определяя растяжение или, что, пожалуй, лучше, подвешивая какую-то массу к каждой пружине и измеряя время ее колебаний. Какой бы метод мы ни выбрали, нам необходимо узнать й и его погрешность б)г для каждой пружины, но было бы бесполезным расточительством времени многократное повторение наших измерений для каждой пружины. Вместо этого можно рассуждать следующим образом. Если мы измерим й для первой пружины несколько раз (скажем, 10 илн 20), то среднее этих измерений должно дать хорошую оценку й для первой пружины.
Более важно в этом случае то, что стандартное отклонение оь этих 1О нли 20 измерений дает нам оценку погрешности нашего метода измерений й. При условии, что все наши пружины в достаточной степени одинаковы и что мы используем один и тот же метод измерения, мы могли бы с достаточным основанием ожидать той же самой погрешности в любом другом измерении '). Таким образом, для каждой ') Кзк мы увидим, точное число равно 66,2У... '/ю но, очевидно, абсурдно с такой точностью приводить подобные числа. ') Если какпс-го пружины сильно отличаются от первой, то погрешность измерения для ппх могла бы быть другой.
Таким образом, если Глава 4 4.4. Стандартное отклонение среднего Если хь ..., хн — результаты /ч* измерений одной и той же величины х, то, как мы видели, наша наилучшая оценка величины х есть их среднее х. Мы также видели, что стандартное отклонение о, характеризует среднюю погрешность отдельных измерений хь ..., хю Однако наш результат х„„, = х есть разумная комбинация всех /ч' измерений, и потому имеются основания полагать, что он будет более надежным, чем любое из отдельных измерений.
В гл. 5 мы докажем это, т. е. получим, что погрешность в нашем результате х„.„, = х равна стандартному отклонению о„, деленному на Ч/У. Эта величина называется стандартным отклонением среднего и обозначается о„л ол = и„/Ч/У. (4.14) (Другие названия — стандартная ошибка или стандартная ошибка среднего.) Таким образом, основываясь на йГ изме- пружины существенно различны, мы были бы вынуждены проверить по- грешность, выполняя многоиратные измерения лля каждой нз небольшого числа различающихся пружин. последующей пружины нам нужно провести только одно измерение, и мы можем сразу же сделать вывод, что поскольку бя равна стандартному отклонению о„полученному для первой пружины, то с вероятностью 70% наш результат будет лежать в пределах оь от фактического значения. Чтобы численно проиллюстрировать эти понятия, представим себе, что проведено 10 измерений для первой пружины и получены следующие значения й (в ньютонах на метр): 86, 85, 84, 89, 86, 88, 88, 85, 83, 85, (4.10)) По этим данным мы вычисляем я = 85,9 Н/м и по определению (4.9) па= 1,9 Н/м = (4.11) = 2 Н/м.
(4.1 2) Следовательно, погрешность в любом отдельном измерении гз составляет примерно 2 Н/м. Если мы теперь сделаем одно измерение для второй пружины и получим результат /г = = 71 Н/м, то можно без дальнейших хлопот принять, что Ьй = оь = 2 Н/м, и утверждать с 70%-ной вероятностью, что /з для второй пружины=71~2 Н/и.
(4.13) Статистический анализ случайных погрешностей 97 ренных значениях х„..., хю мы можем сформулировать наш окончательный результат для значения величины х как (значение х) = х„,„, + бх, где ха„н = х (х — среднее от хь ..., хн), а Ьх — стандартное отклонение среднего бх= ох = о„/~УМ. (4.15) В качестве примера рассмотрим десять результатов измерений, приведенных в (4.10). Это результаты десяти измерений коэффициента упругости я одной пружины.
Как мы уже знаем, среднее этих значений есть я = 85,9 Н/м н стандартное отклонение равно о„ = 1,9 Н/м. Следовательно, стандартное отклонение среднего равно ой — — оа/~/! 0 = 0,6 Н/м, (4.16) и наш окончательный результат, основанный на этих десяти измерениях, для коэффициента упругости пружины будет равен и= 85,9 ~ 0,6 Н/м. (4. 17) Когда вы приводите ответ, подобный этому, то важно указать, что означают ваши числа, а именно среднее и стандартное отклонение среднего, — так чтобы читатель был в состоянии судить об их значимости. Важной величиной в стандартном отклонении среднего оа = о„/Ч/У является множитель 1/Р в знаменателе. Стандартное отклонение о характеризует среднюю погрешность в индивидуальных измерениях хь ..., хн. Поэтому, если бы мы должны были выполнить еше несколько измерений (используя ту же самую аппаратуру), то это не привело бы к заметному изменению стандартного отклонения о,.
С другой стороны, стандартное отклонение среднего о /~/Ж медленно уменьшалось бы с увеличением йг. Именно этого мы бы и ожидали. Если бы мы выполнили большее количество измерений перед вычислениями среднего значения, то мы, естественно, ожидали бы, что конечный результат будет более надежным, а именно это и гарантирует знаменатель /у в (4.15). Этот фактор обеспечивает также очевидный способ увеличения точности наших измерений. К сожалению, хйЧ возрастает довольно медленно с увеличением М.
Например, если мы хотим увеличить точновть в 10 раз просто за счет увеличения числа измерений Ж, мы должны были бы увеличить У в 100 раз — перспектива, мягко говоря, пугаюшая1 Более того, мы пока пренебрегали вв Глава 4 систематическими ошибками, а они не уменьшаются с увеличением числа измерений. Таким образом, на практике, если вы хотите значительно повысить точность, вы, вероятно, поступите лучшим образом, если будете совершенствовать вашу аппаратуру, а не уповать на увеличение числа измерений.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
