Дж. Тейлор - Введение в теорию ошибок (1108329), страница 22
Текст из файла (страница 22)
4.6). а. Студент измеряет скорость звука, используя формулу и = !Л, где ! — частота, считываемая с циферблата звукового генератора, а Л вЂ” длина волны, измсряемая по расположению нескольких максимумов в резонирующем столбике воздуха. Так как измерении Л выполнялись несколько раз, нх можно обработать методами статистики, на основании которых студент делает вывод, что Л = = 11,2 ~ 0,5 см.
Измерение частоты ( = 3000 Гц было произведено только один раз (установка генератора), и у студента нет оснований, чтобы судить о надежности зтого значения. Преподаватель говорит, что генератор «определенно надежен с погрешностью ! 33», следовательно, студент указывает 1 св-ную систематическую ошибку в ( (но не в Л). Какой ответ даст студент для и и ее погрешности? Важна ли 1",з-ная возможная систематическая ошибка генератора (возникающая вследствие недостаточно точной его калибровки)'.
б. Если бы результат измерений студента был Л = !1,2 ~ 0,1 см, а калибровка генератора была бы произведена с 39з-ной погрешностью, то каков был ответ? Была бы важна систематическая ошибка? Глава 5 Нормальное распределение В этой главе мы продолжим рассмотрение статистических методов обработки многократных измерений. В гл.4 мы ввели важные понятия среднего, стандартного отклонения и стаидартного отклонения среднего; мы обсудияи их значение и рассмотрели некоторые примеры их использования. В этой главе будут рассмотрены теоретические обоснования этих статистических понятий и доказаны некоторые из положений, которые принимались без доказательств в предыдуших главах.
Первая проблема, с которой приходится иметь дело при обсуждении многократных измерений,— это поиски методов, которые позволили бы выполнять различные операции со многими полученными значениями и представлять эти значения. Один из удобных методов — использование распределения,нли гистограммы, как описано в равд. 5,1. В разд. 5.2 мы введем понятие предельного распределения, т.
е. распределения результатов, которое получилось бы, если бы число измерений было бесконечно велико. В равд. 5.3 мы определим нормальное распределение, нли распределение Гаусса, которое описывает предельное распределение результатов любого измерения, подверженного большому числу небольших случайных ошибок. Как только математические характеристики нормального распределения будут поняты, мы без труда сможем приступить к доказательствам нескольких важных положений. В равд, 5.4 мы докажем, что, как это уже было сказано в гл. 4, примерно 70$ результатов всех измерений (одной и той же величины н полученных с помошью одной и тои же аппаратуры) должны лежать в пределах одного стандартного отклонения от истинного значения, В равд. 5.5 мы докажем результат, использованный еше в гл.
1, что если произвести йГ измерений некоторой величины х и получить значения хь хь ..., хн, то нашей наилУчшей оценкОЙ хнапл, ОснованноЙ на этих значениях, будет среднее х= ~ ~х,/М. В равд. 5.6 приводится обоснование квадратичного сложения при расчете ошибок в косвенных измерениях, когда исходные ошибки не- ют Нормальное распределение зависимы и случайны. В равд. 5.7 доказывается, что погрешность среднего х, которое используется как наилучшая оценка х, определяется стандартным отклонением среднего пх.= = и,/~~У, как было постулировано в гл. 4. Наконец, в равд. 5.8 мы обсудим, как связать степень уверенности в результате, выраженную в виде числовой характеристики, с самими экспериментальными результатами.
Математический аппарат, используемый в этой главе, немного сложнее, чем применяемый до сих пор. Однако читатель, внимательно следящий за обсуждением нормального распределения в равд, 5.3 (и выполняющий все расчеты с помощью карандаша и бумаги, если необходимо), будет в состоянии понять большинство аргументов бва большого труда. 5.1. Гистограммы и распределения Очевидно, что серьезный статистический анализ результатов эксперимента требует выполнения многократных измерений. Таким образом, наша первая задача состоит в том, чтобы найти методы записи и представления большого числа измеренных значений. Предположим, например, что мы должны были сделать десять измерений некоторой длины х, Например, х могло бы быть расстоянием от линзы до изображения, образованного линзой.
Мы могли бы получить значения (все в см) 26, 24, 26, 28, 23, 24, 25, 24, 26, 25, (и. 1) Прн такой форме записи эти десять чисел сообщают довольно мало информации, и если бы мы должны были таким способом записать существенно больше результатов измерений, то в итоге получили бы беспорядочные джунгли чисел. Очевидно, требуется лучший способ. В качестве первого шага мы можем расположить числа (5,1) в возрастающем порядке: 23, 24, 24, 24, 25, 25, 26, 26, 26, 28.
(5.2) Затем, вместо того чтобы делать три записи: 24, 24, 24, можно просто указать, что мы получили значение 24 трн раза. Другими словами, мы можем записывать различные полученные значения х вместе с числом, указывающим, сколько раз получено каждое значение, как показано в табл. 5.1. В этой таблице мы ввели символ х, (я =- 1,2, ...), чтобы обозначить различные полученные значения: х~ = 23; х, = 24; х, = 25 и т. д.
Величины пл (/г = 1, 2, ...) обозначают числа, показывающие, сколько раз было получено соответствующее значение х,; п,=1; не=3 ит.д. 108 Глава 5 Таблица 5,1 23 24 25 26 27 28 ! 3 2 3 0 ! Различные значения к» Число реализаций и» Если записать результаты измерений, как в табл. 5.1, то можно переписать определение среднего х таким способом, который окажется более удобным. Из нашего старого определения мы знаем, что Е"' 23+ 24+ 24+ 24+ 25+ ... + 28 М !О Но это то >ке самое, что и 23 + (24 Х 3) + (25 Х 2) + ...
+ 28 )О или в общем случае (5.5) х»л» х= (5.4) В первоначальном варианте (5.3) мы суммировали результаты всех сделанных измерений; в (5.4) мы су)нмируем все различные полученные значения, умножая каждое значение на число, показывающее, сколько раз зто значение реализовалось. Очевидно, что эти две суммы одинаковы, но оказывается, что представление (5.4) более полезно в случае, когда мы делаем большое число измерений. Сумма, подобная (5.4), иногда называется суммой с весовыми л!ножителями или взвешенной сумл!ой, поскольку каждое значение х» умножается на весовой множитель (взвешнвается) — число пм показывающее, сколько раз это значение реализовалось.
Отметим, что если мы сложим все числа и», то получим полное число сделанных измерений У, т. е. ~~' л,= М. (Например, в случае табл. 5.1, согласно этой формуле, сумма чисел в последней строке равна 10.) Понятия, обсуждаемые выше в этом разделе, можно сформулировать иным способом, который часто более удобен. Вместо того чтобы говорить, что результат х = 24 был получен три раза, мы можем сказать, что результат х = 24 был получен в 3/!О случаев от полного числа измерений. Другими словами, вместо использования п», число, показывающего, сколько раз получился результат х», мы введем отношение Р = —.—, » ))( (5.6) 109 Нормальное распределение 1 Л ЕЗ с4 бб хб л7 бб Рис.
5.1. Гистограмма результатов десяти измерений длины х. Но верти- кальной оси отложена доля числа случаев г», когда наблюдается каждое значение хь представляющее собой долю полного числа У измерений, с которой реализуется результат х„и будем называть его частотой. Говорят, что частоты Р» характеризуют распределение результатов; оии показывают, как результаты наших измерений распределены среди различных возможных значений. В терминах частот г» мы можем переписать формулу (5.4) для среднего х в компактном виде: х = ~, х»р». » (5.7) Таким образом, среднее х есть взвешенная сумма всех различных полученных значений хы т.
е. когда каждое значение х, умножается на частоту Р», с которой оно реализуется. В (5.7) предполагается, что (5.8) т. е. если сложить частоты р» всех возможных значений хм .ъо должна получиться единица. Говорят, что если сумма какого-то набора чисел равна 1, то эти числа нормированы, поэтому выражение (5.8) называют условием нормировки, Распределение результатов наших измерений можно представить графически на гистограмме, как показано на рис. 5.1. Эта гистограмма есть график зависимости г» от хм на котором по горизонтальной оси отложены различные измеренные значения х», а частоты, показывающие долю случаен, когда Глава 5 110 реализуется данное значение ха, определяются высотой вертикальных черточек, проведенных из хе.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
