Дж. Тейлор - Введение в теорию ошибок (1108329), страница 24
Текст из файла (страница 24)
5.4 лежат между х = 21 и х = 29. Даже после бесконечно большого числа измерений их доля, лежащая вне интервала от х = 21 до х = 29, будет полностью пренебрежимой. Другими словами, 1(х) практически равна нулю вне этого интервала, и поэтому нет никакой разницы, равны ли пределы интеграла (5.13) -~-оо или соответственно 21 и 29. Но поскольку мы в общем случае не знаем этих конечных пределов, то более удобно оставить их как .+со. Если выполняются очень точные измерения, то все полученные значения будут близки к действительному значению х, н поэтому гистограмма результатов и, следовательно, предельное распределение будут выглядеть как отрые пики, например как сплошная кривая на рис. 5.6.
Если точность измерений мала, то результаты будут сильно различаться и их распределение будет описываться широкой кривой, подобно пунктирной кривой на рис. 5.6. Предельное распределение Цх) в случае измерений данной величины х с помощью заданной аппаратуры предсказывает, как были бы распределены их результаты после очень многих измерений. Таким образом, зная 1(х), мы могли бы рассчитать среднее значение х, которое было бы найдено после множества измерений. Мы видели (см.
(5.7)1, что среднее любого числа измерений — это сумма всех различных значений х,, умноженных на весовой множитель, представляющий долю случаев, когда получается это значение: х = ~~„хара. (5,14) !16 Глава 5 В данном случае у нас есть бесконечное число измерений с распределением [(х). Если мы разделим весь интервал значений на малые интервалы от х, до хк + с(хк, то доля значений, попавшая в каждый такой интервал, будет гк — — )(хк) дхк, и тогда в пределе, когда все интервалы стремятся к нулю, формула (5.14) примет вид х = ~ х)(х) с(х.
(5.15) Запомните, что эти формула определяет среднее х, которое соответствует бесконечно большому числу измерений '). Аналогично мы можем вычислить стандартное отклонение а„полученное после множества измерений. Поскольку мы рассматриваем случай М-, то безразлично, какое определение о мы используем, первоначальное (4,6) пли же «улуч. шенное» (4.9) с заменой Аг на Аг — 1. В любом случае при Аг — » оо величина о'„есть просто среднее квадрата отклонений (х — х)в. Таким образом, точно те же аргументы, которые привели к (5.15), позволят получить в случае множества измерений а'„ = ~ (х — х)' )(х) с(х. (5.16) 5.3. Нормальное распределение ') В литературе для более подготовленных штателей средиес, определяемос формулой (5.15), называется литеиатическил ожиданием, ялн просто средним, а опрсдеяяемос формулой (5.!4) — выборочные срвднил.
Аналогично употребляются понятия стандартного отклонения о„ определяемого формулой (5.16), и вв4борокпого стандартного отклонения [см. (4.6) и (4.9)1. — Прил, перев, Различные виды измерений имеют разные предельные распределения. Не все предельные распределения имеют внд симметричного колокола, рассмотренного в равд. 5,2. (Например, биномиальное распределение и распределение Пуассона, рассматриваемые в гл.
10 и 11, обычно не симметричны.) Тем не менее оказывается, что огромное множество измерений имеет в качестве предельного распределения симметричную колоколообразную кривую. Действительно, мы покажем в гл. !О, что если на результат измерения оказывает влияние большое число источников небольших случайных ошибок, а систематические ошибки пренебрежимо малы, то измеренные значения Нормальное распределение г"/х) Истинное зна уение Рнс. 5.7, Предельное распределение в случае измерений, результаты которых подвержены влиянию множества небольших случайных ошибок. Распределение имеет колоколообразный вид с цеатром на истинаом значении измеренной величины х.
распределяются по колоколообразной кривой, центр которой будет истинным значением х, как показано на рис. 5.7. В оставшейся части этой главы мы ограничимся рассмотрением измерений только с такими свойствами. Если наши измерения подвержены заметным систематическим ошибкам, то мы не можем ожидать, что предельное распределение будет иметь центр, совпадающий с истинным значением.
Случайные ошибки с равной вероятностью смещают наши отсчеты в обе стороны от истинного значения. Если все ошибки случайны, то после многочисленных измерений будет получено одинаково много результатов, как превышающих истинное значение, так и пе достигающих его. Однако систематическая ошибка (подобно растянутой рулетке или отстающим часам) смещает все значения в одну сторону и, следовательно, смещает центр распределения полученных значений от истинного значения.
В данной главе мы будем предполагать, что центр распределения приходится на истинное значение. Это эквивалентно предположению, что все систематические ошибки уменьшены до пренебрежимо малого уровня. Теперь настало время обратиться к вопросу, который мы до сих пор избегали обсуждать: что такое «истинное значение» физической велпчиный Это трудный вопрос, на который нет удовлетворительного простого ответа. Поскольку очевидно, что ни в каком измерении нельзя точно определить истинное значение любой непрерывной переменной (например, длины, времени и т. д.), то не ясно, существует ли вообще истинное значение такой величины.
Тем не менее оказывается очень удобным предполагать, что любая физическая величина имеет истинное значение, и мы всегда будем исходить из этого предположения. Истинным значением величины можно считать такое значение, к которому мы приближаемся по мере осуществления 118 Глава 5 Рис, 5.8. Функция Гаусса (5.17) колоколообразной формы с центром в х = О. Кривая широка, если ширина и велика, и узка, если и мала.
все большего числа измерений, выполняемых все более тщательно. Определенное таким образом «истинное значение» есть идеализация, аналогичная понятию математической точки, которая не имеет размеров, или линии, которая не имеет гннрины; и, подобно этим двум понятиям, это полезная идеализация. Мы часто будем обозначать истинные значения измеряемых величин х, у, ...
соответствующими прописными буквами Х, У, .... Если измерения величины х подвержены множеству небольших случайных ошибок и ес.ти систематические ошибки пренебрежимо малы, то распределение результатов измерений будет иметь вид симметричной колоколообразной кривой с центром, приходящимся на истинное значение Х, В математике функция, график которой имеет форму колоколообразной кривой, называется функцией нормального распределения, или функцией Гаусса '). Основная форма представления этой функции имеет вид е- 'гы' Ф (5.17) где о — фиксированный параметр, который мы будем называть параметром ширины или шириной.
Читателю полезно ознакомиться со свойствами этой функции. Когда х = О, функция Гаусса (5.17) равна единице. Функция симметрична относительно х = О, так как она имеет одни и те же значения как для х, так и для — х. При удалении х от нуля в любом направлении функция хз/2оз возрастает, причем возрастает быстро, если величина о мала, и более медленно, если о велика. Следовательно, по мере удаления х от нуля функция (5.17) стремится к нулю.
Таким образом, общий вид функции Гаусса (5.17) будет таким, как показано на рнс. 5.8. Этот график объясняет термин «параметр ши- ') Другие общепринятые наименования функции Гаусса: гауссова функция (илн просто гауссиан), нормальная функция плотности и нормальная функция ошибок.
Послецнее наименование довольно неудачно, так как обозначение «функция ошпбокь часто используется цля интеграла от функции Гаусса (который мы рассмотрим в раза. 54). 119 Нормальное распределение достигает максимума прн х = Х и спадает симметрично по обе стороны от х = Х, как показано на рис. 5.9. Выражение (5.18) еще не является окончательным, оно ие описывает предельное распределение, поскольку любое распределение должно быть нормировано, т.
е. должно удовлетворять условию ~ 1 (х) т(х = 1. (5.19) Чтобы выполнить это условие, мы введем К1Н-1«-Х1НЬН (5.20) (Умножение на й( не изменяет ни формы, ни положения максимума при х = Х.) Теперь мы должны выбрать «нормировочный множитель» М таким образом, чтобы 1(х) была нормирована в соответствии с (5.19). Для этого необходимо сделать подстановку подывтегрального выражения, которую мы приведем: 1(х)с(х= ~ 711е-'" х1че" т(х. (5.21) При оценке интегралов такого вида всегда нужно произвести замену переменных, чтобы упростить подынтегральное Рис.
5«Ь Функция Гаусса (5,18) колоколообрааной формы с центром в к-Х. рины» для и, поскольку при больших значениях а колокол выглядит широким, а при малых о — узким. Функция Гаусса (5.17) представляет собой нолоколообразную кривую с центром в х = О. Чтобы получить колоколообразную кривую с центром в какой-то другой точке х = Х, мы просто заменим х в (5.17) на х — Х. Таким образом, фуннпия е-1 -Х1ЧЛ* (5,18) Глава З 120 выражение. Обозначим х — Х = у (в этом случае г(х = г(д) и получим Ж ~ и-ииао'г(у (5.22) обозначить у/о = г (в этом случае Затем мы можем а(у = Мг), тогда й1,у ~ и-ач2,1« (5.23) Получившийся интеграл †од из стандартных интегралов математической физики. Его можно рассчитать элементарными методами, но детали вычислений не особенно интересны, поэтому мы просто приведем результат') М и-г 12,1« —,~/2л О (5.24) Возвращаясь к (5.21)' и (5.23), находим, что ~ ! (х) а!х = Мо 1гг2гг .
Так как этот интеграл должен быть равен единице, нормиро. вочный множитель Лг следует выбрать как М= )/(гг ~/2я). Мы приходим к выводу, что нормированная функция Гаусса, или нормированная функция нормального распределения, имеет вид 1 (х) =, е ! -«!ча ' о Згзп (5.25) Обратите внимание на то, что мы добавили нижние индексы Х, а, чтобы указать центр и ширину распределения. Функция 1«,,(х) описывает предельное распределение результатов измерений величины х, истинное значение которой равно Х и на которую оказывают влияние только случайные ошибки.
Говорят, что результаты измерений распределеног нормально, если их предельное распределение описывается функцией Гаусса (5,25). Вскоре мы выясним значение параметра ширины о. Однако уже ясно, что малые значения о приводят к распределе- ') Вывод см., например, в книге Ои«Ь О. Упали. 9!а1!а1!са! Тгеа1шеп1 о1 Вхренгпеп1а! Оа1а. Мсйгам-Н!!1, 1962, приложение !З, 121 Нормальное распределение Рис. о 10. Даа аормалиых, или гауссоаых, распределения.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
