Дж. Тейлор - Введение в теорию ошибок (1108329), страница 10
Текст из файла (страница 10)
Затем он вычисляет произведение д = аЬ. Получите его ответ п приведите абсолютное значение его погрешности, а также погрешность в процентах. б. Повторите действия задания «а» для измерений о = 10*1 см и Ь = 27,2*0,1 с в. Повторите задание «а» для а = О 8 м ~ 8 % и Ь = 15 кг -!- 2%. *2.15 (равд. 2 9). а. Стулент измеряет два числа х н у и находит х= 1О З= 1, у=20 м: 1. Какова его наилучшая оценка для произведения 4 =- ху? Используя наибольшие вероятные значения для х и у (11 и 21), вычислите 48 Глава 2 нанбольшее вероятное значение для О. Аналогично найдите наименьшее вероятное значение и и, следовательно, интервал, в котором, вероятно, лежит О. Сравните ваш результат с тем, что дает правило (2.27).
б. Сделайте то же для измерений х = 10 ~ 8, у =- 20-~-16. Напоминаем; правило (2.27) было получено в предположении, что относительные погрешности намного меньше единицы. 2.16 (равд. 2.9). Согласно известному правилу, при перемножении двух чисел результат будет более надежным, если его округлить до количества значащих цифр в наименее точном из двух исходных чисел.
а. Используя пранило (2.27) и тот факт, что значащие цифры определяют относительную погрешностгь докажите, что это чизвестное правило» лриблилгенно верно. (Длн определенности рассмотрите случай, когда наименее точное число имеет две значащие цифры.) б Покажите на примере, что ответ в действительности несколько менее точен, чем дает «известное правило». (Это особенно справедливо при перемножении одинаковых чисел,] Глава 3 Погрешности в косвенных измерениях Большинство физических величин обычно невозможно измерить непосредственно, и их определение включает два различных этапа. Сначала измеряют одну или более величин х,у, ..., которые могут быть непосредственно измерены и с помощью которых можно вычислить интересующую нас величину.
Затем, используя измеренные значения х, у, ..., вычисляют саму искомую величину. Например, чтобы найти площадь прямоугольника, ооычно измеряют его длину 1 и высоту й и затем рассчитывают его плогцадь Л по формуле А = И. Аналогично наиболее очевидный способ определения скорости и некоторого тела состоит в том, чтобы измерить путь гт', пройденный телом, и затраченное на это время г, а затем вычислить и по формуле и = гУтгй Для читателя, проработавшего какое-то время в учебной лаборатории, не составит труда привести и другие примеры. Действительно, если хоть немного задуматься, то станет ясно, что почти все ваткные измерения включают эти дви различных этапа, состоящих нз простых измерений и последующих расчетов. Если измерение включает эти два этапа, то и оценка погрешностей также включает их.
Сначала надо оценить погрешности в величинах, которые измеряются непосредственно, а затем определить, как эти погрешности «распространяются» в расчетах н приводят к погрешности в конечном результате'). Это «распространение ошибок», или расчет погрешностей в случае косвенных измерений, составляет главную тему данной главы. Фактически мы уже рассмотрели некоторые примеры расчета погрешностей в случае косвенных измерений в гл, 2, Н В гл. 4 мы рассмотрим другой способ, с помощью которого иногда вычисляют результирующую погрешность.
Если все измерения можно повторить несколько раз н если есть уверенность, что все погрешности по природе случайны, то погрешность в интересующей величине можно оценить, исследуя разброс в ответах. Но даже когда этот метод применим, его обычно лучше использовать как проверку двухэтапной процедуры, опи. санной в этой главе.
50 Глава 3 В равд. 2.5 обсуждался случай, когда измеряются два числа х н у, которые используются для расчета разности д = х — д. Мы нашли, что погрешность в д равна сумме бд = бх+ бу погрешностей в х н у. В равд. 2.9 мы рассмотрели произведение д = хд и в задаче 2.6 предложили рассмотреть сумму д = х+ у. Эти случаи обсуждаются также в равд. 3.2. В конце главы мы рассмотрим более общие методы расчета погрешностей в косвенных измерениях и приведем несколько примеров. В равд.
3.1, прежде чем коснуться расчета погрешностей в косвенных измерениях, мы кратко обсудим оценку погрешностей в величинах, которые измеряются непосредственно. Будет сделан обзор методов, рассмотренных в гл. 1, и затем рассмотрено еще несколько примеров оценки погрешности в прямых измерениях. Начиная с равд. 3.2, рассматриваются погрешности в косвенных измерениях.
Мы обнаружим, что почти все проблемы расчета погрешностей в косвенных измерениях могут быть решены с помощью трех простых правил. Мы сформулируем такгке единственное, более сложное, правило, которое пригодно во всех случаях и нз которого могут быть получены три более простых правила. Это довольно длинная глава. Однако читатель может опустить два последних раздела без какой-либо потери непрерывности изложения.
3.1. Погрешности в прямых измерениях Почти все прямые измерения включают считывание со шкалы (например, линейки, часов или вольтметра) или с цифрового табло (например, цифровых часов или цифрового вольтметра). Некоторые проблемы считывания со шкалы уже обсуждались в равд. 1.5. Иногда главными источниками погрешностей служат считывание со шкалы и необходимость интерполяции между метками шкалы. В таких ситуациях разумная оценка погрешностей не составляет труда. Например, если кто-то должен измерить некоторую точно определенную длину 1 при помощи линейки, проградуированной миллиметровыми делениями, то он мог бы вполне разумно решить, что длина может быть измерена до ближайшего миллиметра, и не лучше. В этом случае погрешность б( составляла бы 51 = 0,5 мм. Если метки шкалы отстоят друг от друга дальше (например, на 5 мм), то экспериментатор вполне разумно мог бы решить, что он может считывать, например, с точностью до одной пятой деления.
В любом случае погрешности считывания со шкалы, очевидно, могут быть довольно легко н разумно оценены. Погрешности в косвеяиых измереииях Изабралгенае, есракусирагганнае Лаагна на- е на.н Рис. ЗЛ. Фокусироваиие изобраягеиия лампы иакаливаиия, гюмешеииой справа, иа зкраи, устаиовлепиый слева. К сожалению, часто имеются другие источники ошибок, которые гораздо более сугцественны, чем любые трудности, обусловленные считыванием со шкалы.
При измерении расстояния между двумя точками главной проблемой может стать определение истинного положения этих точек. Например,в оптическом эксперименте желательно измерить расстояние гг от центра линзы до сфокусированного изображения, как показано на рис. 3.1. На практике линза обычно имеет толшину несколько миллиметров, так что определение ее центра вызовет затруднения, а если линза смонтирована в массивной оправе, как это часто бывает, то определение центра становится еще более сложной задачей.
Более того, может оказаться, что изображение будет хорошо сфокусированным на длине порядка многих миллиметров. Даже если вся система смонтирована на оптической скамье, которая проградуирована отчетливыми миллиметровыми делениями, погрешность в расстоянии от линзы до изобра>гсения могла бы, следовательно, легко составлять величину порядка сантиметра.
Поскольку погрешность обусловлена тем, что положение двух представляющих интерес точек точно пе определено, то проблема ~акого рода называется проблемой опреде,гения. Этот пример указывает на серьезную опасность при оценке погрешностей, Если смотреть только на шкалу и забыть о других источниках погрешностей, то моягно очень сильно не. дооценить полную погрешность. Фактически наиболее частая ошибка начинаюшего студента — это игнорирование некоторых источников погрешности и, следовательно, недооценка погрешностей часто на порядок или более. Однако важно и не переоценивать ошибки. Экспериментатор, который решил бы перестраховаться, приводя избыточные погрешности, может избежать неприятной несогласованности во всех измерениях, но его измерения не будут представлять большого интереса для других.
Очевидно, в идеальном случае следовало бы учесть все возможные источники погрешности и аккуратно Глава 3 оценить их влияние, что обычно не так трудно, кьчс может показаться. Считывание с цифрового табло легче считывания с обычной шкалы. Если такой прибор исправен, он показывает только значащие цифры. Цифровые часы, которые показывают секунды с двумя знаками после запятой, могли бы показать время 1, равное 8,03 с, что означает (в худшем случае), что 1= 8,03 -~- 0,01 с. В зависимости от того, как устроены часы, погрешность могла бы быть и вдвое мсныпе, т.е.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
