Дж. Тейлор - Введение в теорию ошибок (1108329), страница 8
Текст из файла (страница 8)
(Этот вопрос мы обсудим в гл. 8,) Имеются другие, неграфические, методы проверки пропорциональности двух величин. Например, если х — т, то отношение х/и должно быть постоянным. Можно было бы просто добавить к таблице значений х и т один дополнительный ряд или столбец, показывающий отношения х/т, и таким образом легко проверить, остаются ли эти отношения постоянными в пределах их погрешностей, Другой способ — с помощью программируемого калькулятора просчитать специалыю написанную программу, что позволит автоматически проверить, насколько хорошо совокупность измерений согласуется с прямой линией. Однако даже в случае применения каких-либо других способов проверки пропорциональности х — гп весьма желательно было бы воспользоваться также и графическим методом. Графики, подобные изображенным на рнс, 2.1, б и в, ясно показывают, насколько хорошо предсказания подтверждаются измерениями; вычерчивание таких графиков помогает понять эксперимент и связанные с ним физические законы.
Как приводнть и использовать погрешности 39 2.7. Относительные погрешности Погрешность бх в измерении (измеренное значение х) = хаааа ~ бх показывает надежность или точность измерения. Однако погрешность сама по себе не раскрывает всей картины. Погрешность в 1 см для расстояния 1 км означала бы необычайно точное измерение, в то время как погрешность в 1 см для расстояния в 3 см означала бы лишь грубую оценку. Очевидно, что качество измерения характеризуется не только самой погрешностью бх, но также и отношением бх к хи,„а, и зто обстоятельство заставляет нас рассматривать относительную погрешность бх относительная погрешность = ! лиана ! (2.20) (Относительная погрешность также называется точностью,)' В этом определении символ !хи„„,~ обозначает абсолютную Величину ) хиаиа.
Чтобы избежать недоразумений с относительной погрешностью, саму погрешность бх иногда называют абсолютной погрешностью. В большинстве серьезных измерений погрешность бх намного меньше измеряемой величины х„и,. Поскольку при этом относительная погрешность бх/ ~ хи вил ~ представляет собой обычно малое число, часто удобно умножать ее на 100 и приводить как погрешность в процентах.
Например, результат измерения длина 1 = 50 ~= 1 см (2. 21) имеет относительную погрешность И 1 = — = 0,02 1 !иаил ! 00 ') Абсолютная величина !х! числа х равна самому числу х, если х — по ложительная величина, н получается отбрасываннем знака минус, если х— отрицательная величина. Мы нспользовалн абсолютную величину в (2.20), чтобы гарантировать, что относительная погрешность, подобно самой погрешности бх, всегда положительна независимо от того, положительна или отрицательна величина х.,„„.
На практике обычно делается так, чтобы измеряемые числа были положительными, и в атом случае знак абсолютно. го значения в (2.20) может быть опущен. 40 Глава 2 и погрешность, выраженную в процентах, 2в!в. Таким образом, результат (2,21) мог быть представлен как длина ! = 50 см ~ 2 аа. Следует обратить внимание ва то, что, в то время как абсолютная погрешность б! измеряется в тех же единицах, что и 1, относительная погрешность б!/!!в.„а~ является безразмерной величиной. Учет этого различия поможет вам избежать обычных ошибок, когда путают абсолютную погрешность с относительной.
Относительная погрешность приближенно характеризует качество измерений независимо от значения измеряемой величины. Относительная погрешность в 107в илн около того— это обычно характеристика довольно грубых измерений. (Грубое измерсние 10 см могло бы иметь погрешность в 1 см; грубое измерение 10 км могло бы иметь погрешность в ! км.) Относительная погрешность в ! или 2Ъ характеризует уже довольно точные измерения, и это, пожалуй, лучшее, на что можно надеяться во мчогих экспериментах, выполняемых в учебной физической лаборатории.
Относительных погрешностей, значительно меньших 1в , обычно трудно добиться, и они редки в учебной лаборатории. Эти оценки, конечно, весьма условны; при некоторых чрезвычайно простых измерениях без труда можно получить относительную погрешность в 0,1в/в. С хорошей рулеткой расстояние в 3 м легко измерить с погрешностью в 0,3 см, илн приблизительно 0,1вй, с хорошими часами отрезок времени в один час легко измерить с погрешностью меньшей, чем секунда, или 0,03в!в.
С другой стороны, для многих величин, которые очень трудно измерить, погрешность в 10$ рассматривалась бы как экспериментальный триумф. Следовательно, большая относительная погрешность не означает, что измерение в научном смысле бесполезно. Многие важные измерения в истории физики имели экспериментальные погрешности !Ов!в или более. В учебной физической лаборатории с оборудованием, которое позволяет получать результаты с минимальной погрешностью порядка нескольких процентов, можно изучать многие интересные физические закономерности. 2.8. Значащие цифры и относительные погрешности Концепция относительной погрешности тесно связана с обычным понятием значащих цифр. Действительно, число значащих цифр в численном значении какой-то величины прибли- Как приводить и использовать погрешности 41 Таблица 2Х Приблизительное соответствие между значащими Иифрами и относительной погрешностью Соответствующая относительная погрешность Чнсао аначвщвх диор или очень ириблнженио равна лежит между 5 н 50о!о 05 и бол 0,05 н 0,боло 10 о/о !ос 0,1$ 1 2 3 женно указывает иа относительную погрешность этого значения.
Например, рассмотрим два числа 510 и 0,51, точность которых до двух значащих цифр удостоверена. Поскольку число 510 (с двумя значащими цифрами) означает 510 .ь 5, или 510 ь 1 оо и 0,51 означает 0,51~ 0,005, или 0,51 + 1 К, то мы видим, что оба числа опРеделены с точностью до 1 отю Другими словами, утверждение, что числа 510 и 0,5! имеют две значащие цифры, эквивалентно высказыванию, что они определены с точностью до 1 то.
Аналогично число 510 с тремя значащими цифрами характеризовалось бы относительной погрешностью 0,17б и т. д. К сожалению, это полезное соответствие является лишь приблизительным. Число 110, данное с двумя значащими цифрами, означает 110+. 5, или 110~5 %, в то время как число 9!О (тоже с двумя значащими цифрами) означает 910 + 5, или 910~0,5 гоб. 2.9. Умножение двух измеренных значений Пожалуй, наиболее важная особенность в понятии относительной погрешности проявляется при умножении измеренных значений друг на друга.
Например, чтобы найти импульс гела, мы могли бы измерить его массу пт и скорость о, затем Мы видим, что относительная погрешность, связанная с двумя значащими цифрами, изменяется от 0,5 до 5ои в зависимости от первой цифры рассматриваемого числа. Итог наших рас- суждений отражен в табл. 2.4. 42 Глава 2 перемножить их и получить импульс р = то.
Обе величины т и о обладают погрешностями, которые мы должны будем оценить. Затем возникнет задача найти погрешность в р, которая является следствием известных погрешностей в т и о. Во-первых, для удобства запишем число в стандартном виде (измеренное значение х)= хн„л.+ бх (2.26у и, используя понятие относительной погрешности, дл (измеренное значение х) = хи,и, (1 ~ ! 1.
(2.22) ! Лнаил ! l Например, если относительная погрешность составляет Зн/н, то, следуя (2.22), имеем з х (измеренное значение х) = хн,н, (1 -~ — ), т. е. погрешность в 3$ означает, что х, вероятно, лежит где-то между значениями х...„умноженным на 0,97, и х...„умноженным на 1,03, т. е.
(0,97) ° хн,и, < х ( (1,03) ° хн„,. Мы увидим, что зто полезная форма представления числа, которое мы собираемся умножать. Вернемся теперь к нашей задаче вычисления р= то, когда т и о были измерены как Ьи (измеренное значение т) = тн,„,(1 +- ! ! 1 (2.23): ! тнанл ! ) и ди (измеренное значение о)=он,нл(1 ь, ! ). (2.24~ ! Ннаил ! l Поскольку т„„, и и..на — наши наилучшие оценки для т и о, то наилучшая оценка для р = тп есть рн и = (наилучшая Оценка для Р) = тнанлпнанл Наибольшие вероятные значения т н о даются выражениями (2.23) и (2.24) со знаком плюс. Таким образом, наибольшее вероятное значение для р = то есть Ьл хг дн (наибольшее значение р)=тн„„он,н, (1+ ) (1+! ! тнанл ! ! ннанл !) (2.25) Наименьшее вероятное значение для р дается аналогичным выражением с двумя знаками минус.
Теперь результат произведения скобок в (2,25) может быть представлен как ('+ -".." )('+ ..'." )= дт ди дт ди ТЬиаилТ ! винил ! ! Лаианл ! ! Ниаил ! 4З Как приводить и использовать погрешности Поскольку две относительные погрешности бт/~т„,„,~ и бо/)овала) малые числа (возможно, порядка нескольких про" центов), то их произведение очень мало. Следовательно, последним членом в (2.2б) можно пренебречь. Возвращаясь к (2.25), мы получаем Ь»а Ьо (наибольшее значение р) =ив,в,ов,в,(1+ ! !+, 1»гваил ! ! пивал 1 ) Наименьшее вероятное значение дается аналогичным выражением с двумя знаками минус.
Наши измерения и и о приводят, следовательно, к значению р = гпо, определяемому выражением (значение р) = та,и,ои„„ (1 -~- ~ + ]). Ьг» Ьо ! "гиавл ! ! вавил 1 Сравнивая зто выражение с общей формой записи (значение ра,в,) = р„,в, (1 ~ Р ), Ьр Риавл ! мы видим, что наилучшая оценка для р есть р.,вл = пг„,и,о„,„, (как нам уже известно) и что относительная погрешность р .равна сумме относительных погрешностей и и о: ЬР Ь»а Ьо ! Риаил ! !»гиавл ! ! о»вил ! Если, например, у нас были следующие измеренные значения для и и о: и = 0,53 -~ 0,01 кг и о = 9, 1 +. 0,3 м(с, то наилучшая оценка для р = то равна ри,в, = гп„,вао„,„л= (0,53) (9,1) = 4,82 кг ° м!с.
Чтобы рассчитать погрешность в р, мы сначала вычислим от- носительные погрешности Ьт 00! — = 0 02 = 2 аг' Ьи О,З Относительная погрешность в р есть сумма 7Р зли»1 =2%+3% =5 га' Ьр — о ° 44 Глава 2 Если мы захотим узнать абсолютну|о погрешность в р, необходимо умножить полученное число на р„,н,: бр= Р ! 'р л=0,05 4,82=0,241. ( Рвана ~ Затем, округляя бр и р„н„получаем окончательный ответ (значение р)=4,8~0,2 кг м/с. Предыдущее рассмотрение применимо к любому произведению двух измеренных величин. Таким образом, мы получили второе общее правило для косвенных измерений.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
