Дж. Тейлор - Введение в теорию ошибок (1108329), страница 3
Текст из файла (страница 3)
Даже в одном и том же месте он найдет, что высота изменяется, если меняются температура и влажность или даже если он случайно сотрет тонкий слой пыли. Другими словами, он обнаружит, что нет такой величины, как аыаога дверного проема. Такого рода проблема называется проблемой определения (высота дверного проема не является точно определяемой количественной характеристикой).
Она играет важную роль во многих научных измерениях. Опыты нашего плотника иллюстрируют известную истину. Ни одну физическую величину (длину, время, температуру и т. д.) нельзя измерить с полной определенностью. Ценой особых усилий мы можем свести ошибки до очень малых значений, но исключить их полностью невозможно. В повседневных измерениях мы обычно не затрудняем себя обсуждением ошибок. Иногда ошибки просто не имеют значения.
Если мы говорим, что расстояние между домом и школой равно 3 км, то (в большинстве случаев) не важно, значит ли это, что оно лежит «между 2,5 и 3,5 км» или «между 2,99 и 3,01 км». Часто ошибки важны, но их нельзя оценить интуитивно без точного анализа. Когда наш плотник начнет подгонять дверь, он должен знать ее высоту с ошибкой порядка 1 мм.
В конце концов, пока ошибка столь мала, дверь (во всех практических случаях) будет отлично подогнана и его интерес к теории ошибок пропадет. 1.3. Как важно знать погрешности Наш пример с плотником, измеряющим дверной проем, иллюстрирует возникновение ошибок в измерениях. Теперь мы рассмотрим пример, который более отчетливо показывает, насколько важно знать величину этих ошибок. Предположим, что мы столкнулись с проблемой, которую, как говорят, решил Архимед, а именно: нас попросили определить, изготовлена ли корона из 18-каратного золота '), как об этом заявили, или же из более дешевого сплава. Следуя Архимеду, мы решили определить плотность материала короны, зная, что плотности 18-каратного золота и подозреваемого сплава равны соответственно рзолоте = 15,5 г!см р,„„, = 13,8 г/смз.
') !8-каратное золото — сплав. на з4 части которого приходится !8 частей драгоценного металла и 8 частей цветных металлов. — Прим, перев, Предварительное знакомство с теорией ошибок 13 Таблиии !.!. Плотность короны (в т!смз) Экеперт В Изнереннаа величина Эксперт А Наилучшая оценка для Ркороаа Вероятный интервал Ркорона 13 13,3 — |б,б 13,9 13,7 — 14,! Если бы мы могли измерить плотность короны рк,р„„то (в соответствии с гипотезой Архимеда) можно было бы решить, действительно лн это золотая корона, сравнивая рк,р,н, С ИЗВЕСТНЫМИ ПЛОТНОСТЯМИ Рзолото И Реплаа Предположим, что мы обратились к двум экспертам по определению плотности. Эксперт А мог быстро измерить р„„н, н сообщить, что его наилучшая оценка для Р„р „, равна 15 И ЧТО Ркорона ПракТИЧЕСКИ ДОСТОВЕРНО ЛсжИТ В ИНТЕРВВЛЕ Мсжлу 13,5 и 15,5 г/см'.
Эксперт Б мог поработать немного больше и затем объявить наилучшей оценкой 13,9 и вероятный интервал от 13,7 до 14,1 г/см'. Результаты наших двух экспертов можно свести в табл. 1.1. Относительно этих результатов следует сделать два замечания. Во-первых, хотя измерения эксперта Б значительно точнее, данные эксперта А, вероятно, также правильны. Каждый эксперт приводит интервал, в котором, как он уверен, лежит Ркорона, и эти интеРВалы пейекйъ|Ваются. '1'аким Обйа зом, вполне вероятно (и фактически так оно и есть), что оба измерения правильны. Во-вторых, ошибка в измерениях эксперта А столь велика, что его результаты просто бесполезны.
Значения плотности 18-каратного золота и сплава лежат в полученном им интервале от 13,5 до 18,5 г/см', так что измерения этого эксперта не позволяют сделать никакого заключения. С другой стороны, измерения эксперта Б ясно показывают, что корона не подлинная. Плотность предполагаемого сплава 13,8 как раз находится внутри определенного экспертом Б интервала от 13,7 до 14,1, в то время как плотность 18-каратного золота, 15,5, явно не попадает в этот интервал, Очевидно, если из измерений необходимо делать определенные выводы, то экспериментальные ошибки не должны быть слишком велики. Однако нет необходимости в том, чтобы ошибки были очень малы. В этом отношении наш пример типичен для многих научных измерений, в которых ошибки должны быть разумно малы (возможно, несколько процентов от измеряемой вели-.
чины), но чрезмерная точность часто является излишней. Так как наше решение основывается на результатах эксперта Б, состоящих в том, что р„р„, лежит между 13,7 н Глава 1 1б 14,1 г/см', то важно получить от эксперта Б убедительные доказательства, чтобы мы поверили в его результаты. Другими словами, экспериментатор должен доказать правильность величины определенного им интервала. Этот момент часто игнорируется начинающим студентом, который просто утверждает, что его ошибка равна 1 мм или 2 с и т. п., опуская какие-либо доказательства. Простое утверждение ошибки без краткого объяснения способа ее оценки чаще всего бесполезно. Наиболее важный вывод относительно измерений наших двух экспертов состоит в следующем: подобно большинству научных измерений, оба измерения были бы бесполезны, если бы они не содержали надежных сведений об их ошибках.
Действительно, если бы мы располагали только информацией, содержащейся в верхней строке табл. 1.1, то мы не только не могли бы сделать какое-либо правильное заключение, но фактически были бы введены в заблуждение, так как результат эксперта А (15 г/сма) наталкивал бы на предположение, что корона подлинная. 1.4. Другие примеры Примеры, обсуждаемые в предыдущих двух разделах, представляют хорошее введение к некоторым основным положениям теории ошибок. Они были выбраны не вследствие их собственной большой важности, и читателя можно извинить, если он сочтет их немного искусственными.
Однако левко привести примеры, которые исключительно важны почти в любой области прикладной или фундаментальной науки. В прикладных науках инженер, конструируя ядерную силовую установку, должен знать характеристики материалов и ядерного горючего, которые он собирается использовать. Производителю карманного калькулятора необходимо знать характеристики его различных электронных компонент. В любом случае кто-то должен измерить требуемые параметры, а измерив их, установить достоверность своих результатов. Здесьто и требуется применение теории ошибок. Инженеры, занятые обеспечением безопасности самолетов, поездов или автомобилей, должны разбираться в ошибках времени реакции водителей, в тормозных путях и еще во множестве других вещей, И ошибка в расчетах погрешностей может привести к несчастным случаям, подобным изображенному на обложке этой книги.
Даже в области, далекой от науки, такой, как пошив одежды, теория ошибок в виде контроля качества играет решающую роль. В фундаментальных науках теория ошибок имеет еще более важное значение. Когда предлагается любая новая тео- Предварительное знакомство с теорией ошнбок 17 рия, она должна быть проверена наряду с более ранними в одном или нескольких экспериментах, для которых новая и старые теории предсказывают различные результаты. В принципе просто ставится эксперимент, результаты которого позволяют сделать выбор между соперничающими теориями.
На практике положение осложняется вследствие неизбежных экспериментальных ошибок. Все эти ошибки необходимо тщательно учитывать и уменьшать до тех пор, пока эксперимент не позволит выбрать одну приемлемую теорию. Другими словами, экспериментальные результаты вместе с их ошибками должны находиться в согласии с предсказаниями одной теории и рисходигьсн с данными всех известных альтернативных вариантов.
Очевидно, успех такой процедуры решающим образом зависит от понимания ученым теории ошибок и его способности убедить других в правильности своего понимания. Известный пример такого рода проверки научной теории— измерение отклонения луча света, проходящего вблизи Солнца. Когда Эйнштейн в !916 г. опубликовал свою общую теорию относительности, он отметил, что, согласно предсказаниям этой теории, свет от звезды, проходя вблизи края Солнца, будет отклоняться на угол а = 1,8". Простейшая классическая теория не предсказывала никакого отклонения (са = О), а более тщательное рассмотрение с классических позиций давало (как указал сам Эйнштейн в 1911 г.) отклонение на угол сс = 0,9".
В принципе необходимо было лишь наблюдать звезду, когда она сравняется с краем диска Солнца, и измерить угол отклонения сс. Если бы результат был сс = 1,8", то общая теория относительности была бы подтверждена (по крайней мере для этого явления). Если бы угол а был равен 0 или 0,9", то общая теория относительности оказалась бы неверна, а правильной была бы одна из более ранних теорий. На практике измерение отклонения света Солнцем исключительно затруднено и возможно только во время солнечных затмений. Тем не менее оно было успешно измерено в 1919 г.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
