Дж. Тейлор - Введение в теорию ошибок (1108329), страница 49
Текст из файла (страница 49)
Нормальное, или гауссово, распределение встречается настолько часто, что мы кратко рассмотрим еще один пример. Предположим, что некий антрополог интересуется ростом аборигенов на некотором острове. Он полагает, что взрослые мужчины по росту должны быть распределены нормально, н измеряет рост для выборки из 200 мужчин. Используя эти результаты, он вычисляет среднее значение и стандартное отклонение и использует эти числа как наилучшие оценки центра Х и параметра ширины а ожидаемого нормального распределения 1л,о(х).
Зателт он выбирает восемь бинов, как показано в двух левых столбцах табл, 12.7, распределяет по Тлблияо 12.7. Измерения роста 200 взрослых мужчин номер бина Рост е бине * Ожидаемое число аа Наблюдаемое число ОЛ менее Х вЂ” 1,5о между Х вЂ” 1,5о и Х вЂ” о между Х вЂ” о и Х вЂ” 0,5о между Х вЂ” 0,5о и Х между Х и Х+0,5а между Х+ 0,5о н Х+ о между Х+ о и Х+ 1,5о более Х+ 1,бо 14 29 30 27 28 31 28 13 13,4 18,3 30,0 38,3 38,3 30,0 18,3 13,4 240 Глава 12 инм свои наблюдения и получает результаты, показанные в третьем столбце.
Далее наш антрополог желает проверить, согласуются ли эти результаты с ожидаемым нормальным распределением /»,в(х). С этой целью он сначала рассчитывает вероятность Р,, того, что любой один мужчина имеет рост в любом заданном бине А (предполагая нормальное распределение). Она равна интегралу от /», а(х) в пределах границ бина и легко находится по таблице интеграла ошибок приложения Б. Затем ожидаемое число Е» в каждом бине находится умножением Р» на полное число выбранных мужчин (200). Эти числа приведены в последнем столбце табл.
12.7. Чтобы вычислить ожидаемые числа Е», антропологу пришлось использовать три параметра, которые были рассчитаны по его данным (полный объем выборки и оценки для Х и и). Таким образом, хотя имеется восемь бинов, но было три связи, поэтому число степеней свободы равно й = 8 — 3 = 5. Простой расчет с использованием данных табл. 12.7 дает для приведенного значения Х' а х = — ~. ! ч» (0» — Е»)' =3 5. » ~ Е э 1 Так как эта величина заметно больше, чем 1, мы сразу же начинаем подозревать, что рост островитян не подчиняется нормальному распределению. Точнее, из табл.
12.6 мы видим, что если бы по росту островитяне были распределены, как ожидалось, то веРоЯтность Ра(11»)3,5) полУчениЯ значениЯ Х', не меньшего чем 3,5, составляет примерно 0,5 а/а. По любым стандартам это практически невероятно, и мы заключаем, что практически невероятно, чтобы островитяне были распределены по росту нормально. В частности, на 1 а/в-ном (или «высокозначимом») уровне мы можем отвергнуть гипотезу о нормальном распределении по росту. Вновь игральные кости В равд. 12.2 мы рассмотрели эксперимент, в котором пять костей бросалось много раз и в каждом таком бросании подсчнтывалось число выпавших едииичек. Предположим, что мы сделали 200 бросков и распределили результаты по бинам, как было обсуждено раньше.
Предполагая, что кости подлинные, мы можем рассчитать ожидаемые числа Ем как и прежде. Они приведены в третьем столбце табл. 12.8. В фактическом испытании пять костей бросалось 200 раз, н в последнем столбце табл. 12.8 представлены числа, кото- Критерий Х' дли распределений 241 Таблица 12.8. Распределение чисел единнчек в 200 бросаиннх 5 игральных костей Ожидаемое число И» Наблюдаемое число О» Номер бина Реаультатм а бине 80,4 80,4 32,2 7,0 80 88 39 13 Ни одной единични Одна единичка две единичка 3, 4 или 5 единичен рые в действительности наблюдались.
Чтобы проверить согласие между полученным и ожидаемым распределениями, мы просто заметим, что имеется три степени свободы (четыре бина минус одна связь), и вычислим (0» — н»)а » 1 Используя опять табл. 12.6, мы видим, что для трех степеней свободы вероятность получения столь большого или большего значения Хл составляет примерно 0,7'7б, если кости подлинные. Мы заключаем, что почти наверное кости фальшивые.
Сравнение чисел Е» и О, в табл. 12.8 заставляет предположить, что по крайней мере одна кость утяжелена со стороны единички. Пример распределения Пуассона В качестве последнего примера по использованию критерия 7' рассмотрим эксперимент, в котором ожидаемое распределение есть закон Пуассона. Предположим, что мы используем счетчик Гейгера для счета частиц космических лучей в некотором месте.
Предположим далее, что мы считаем частицы, пришедшие в 100 отдельных одноминутных интервалах, и получаем результаты, приведенные в двух первых столбцах табл. 12.9. Анализ чисел во втором столбце сразу же заставляет нас объединить все отсчеты с н 5 в один бип. Такой выбор шести бинов (й = 1, ..., 6) показан в третьем столбце, а соответствующие числа 0» приведены в четвертом.
Гипотеза, которую мы хотим проверить, состоит в том, что числа т распределены в соответствии с законом Пуассона ри(т). Поскольку ожидаемый средний отсчет 1» неизвестен, мы должны сначала вычислить среднее значение для нашей сотни отсчетов. Оно легко находится и оказывается равным 242 Глава 12 Таблица !2.9. Числа частиц космических лучей, полученных в 100 отдельных одноминутнмх интервалах Числа Ожидаемые НебЛЮДЕННа числе а Ой в бине й й Числе е отсчетов вв одну минуту Номер бине й Числа нвблюденнй Ни одного 1 2 8 4 6 6 7 8 или более 7 !7 29 20 16 7,6 19,4 26,2 21,7 !4,! 7 17 29 20 16 8 ~ 2 о~ !2,1 Пол и ос числ о т = 2,59, что дает нам нашу наилучшую оценку для !й. Используя это значение !д = 2,59, мы можем рассчитать вероятность ри(т) любого частного отсчета т и, следовательно, ожидаемые числа Ем которые приведены в последнем столбце.
При расчете чисел Е» мы использовали два параметра, определенные из данных, а именно полное число наблюдений (100) и нашу оценку !д (1й = 2,59). (Заметьте, что поскольку закон Пуассона полностью определяется заданием рч нам не пришлось оценивать стандартное отклонение а. В самом деле, так как о= — ау!в, то наша оценка !й автоматически дает нам оценку о.) Следовательно, имеются две связи, которые для шести бинов приводят к четырем степеням свободы 4 = 4. Простой расчет, в котором используются числа из двух последних столбцов табл. 12.9, дает для приведенного значе- Хй Хт= — „7 =0 35.
2 ! ч ч !Ой — Ей)в Ей й-! Так как это значение меньше единицы, то мы можем сразу же сделать вывод, что согласие между нашими наблюдениями и ожидаемым распределением Пуассона удовлетворительно. Более точно, из таблицы приложения Г видно, что значение тт, равное 0,35, весьма вероятно; действительно, Р, Яй ) ~ 0,35) ж 35%. Таким образом, наш эксперимент не дает абсолютно никаких оснований сомневаться в ожидаемом распределении Пуассона. Значение 1!а = 0,35, полученное в этом эксперименте, действительно аначнтельно меньше, чем 1; это свидетельствует 243 Критерий х' для распределений Задачи Иапомиианиеезвеэдочка у номера задачи означает, что задача реша. ется или ее ответ приводится н разделе «Ответы» в конце книги. »12.1 (равд.
12.1). Каждому студенту в группе нз 50 человек дали по кусочку одного и того >ке металла (по крайней мере, им было сказано, что это один и тот >ке неталл) н попросили определить его плотность, По 50 результатам были рассчитаны среднее р н стандартное отклонение ор, н затем было решено проверить, подчиняются лп результаты измерений нормальному расвределению. С этой целью данные измерений были распределены по четырем бинам с границами при р — ор, р и о + о, Полученные результаты приведены в табл. 12.!О.
Предполагая, что результаты измерений распределены нормально с центром р и шириной ор, рассчитайте числа Е„ результатов измерений, ожидаемых в каждом бине. Затем вычислите Х'. Подчиняются ли результаты измерений нормальному распределению! Таблица !2ЛО Числа наблюдений ОЭ н бине анн э Значения р н бине Меньше р — ар Между р — сгр и р Между р и р+ сер Больше р+ ор 12 13 1! 14 о том, что наши наблюдения очень хорошо удовлетворяют распределению Пуассона. Однако это малое значение не может служить более строгим свидетельством того, что наши результаты измерений распределены по ожидаемому закону, по сравнению с тем, что давало бы значение >(э ж 1.
Если результаты действительно распределены по о>кидаемому закону и если бы мы могли повторить нашу серию измерений много раз, то мы должны были бы получить множество различных значений Х~, флуктуируюших относительно среднего значения 1. Таким образом, если результаты распределены в соответствии с о>кидаемым распределением, то значение )(э = = 0,35 в результат очень вероятной флуктуации относительно ожидаемого среднего значения.
Оно никоим образом не дает лишних подтверждений для нашего вывода о том, что результаты наших измерений действительно распределены по ожидаемому закону. Разобравшись в этих трех примерах, вы не должны испытывать затруднений в применении критерия )(э к любой задаче, с которой можно встретиться в лаборатории вводного курса физики. Некоторые дополнительные примеры можно найти среди предлагаемых ниже задач. Вам, безусловно, следует проверить уровень вашего понимания, пробуя решать некоторые из них.
Глава 12 Таблица 12,П Номер выпавшей грани й Числа наблюдений Оа 1 2 3 4 5 6 20 46 35 45 42 52 Таблица 12.!2 насда нзбл»одеиеа ОЬ Результат 217 148 35 Ни одной шестерки Одне шестерка Две илн трн шестерки 12.2 (равд. 12.1). В задаче 4.7 приведены 30 результатов измерений времени 6 их среднее т = 8,15 с и стандартное отклонение оу = 0,04 с.
Распределите данные по четырем бинам с границами прн г — оь ! и 7 + о~ и определите числа наблюдений 0» для каждо~о бина й = 1, 2, 3, 4, Предполагая, что результаты измерений распределены нормалыю с центром 7 и шириной оь найдите ожидаемые числа Е» для каждого бина. Вычислите 2'. Имеются ли основания сомневаться в том, что результаты измерений распределены нормально? 12.3 (равд. 12.2). Игрок решает проверить игралы»ую кость, бросая ее 240 раз. В каждом броске может реализоваться одни из шести возможных исходов (й = 1, 2, ..., 6, где й — номер выпавшей грани]; распре. деление результатов его бросаинй приведено в табл. 12.11. Чему равны ожидасмыс числа наблюдений Е» в предположении, что игральная кость подлпнпаяз Рассматривая результат для каждой грани как отдел~ ный бин, вычислите х'. Представляется ли вероятным, что кость утяжелена? *12.4 (равд.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
