Дж. Тейлор - Введение в теорию ошибок (1108329), страница 53
Текст из файла (страница 53)
0,40+ 0,02 МэВ. ЗЛ1. а. з|пО = 0,82~0,02, (Не забудьте, что бО необходимо выразить в радианах при использовании б(з|п О) = (соо О(бО.) «н нл б /нона=« нонн; б/= /но««ба: о« = 20 ш 2. в. /„,„= |п а„,„,; б/ = ба/а„,„, !и а = 1,10 ~ О,ОЗ, ЗЛ4. п=!66~20оА~'!52 Ь9»/о. '!54~67о' !58+3%. 153~2«/о С увеличением угла величина бп/п уменьшается главным образом нз-за того, что абсолютная погрешность постоянна, ноэтому относительная погрешность будет меньше, когда угол будет больше. 3.16.
а. 1 н 1. б. у и х. в. 2хуо и Зх'у'. ЗЛ7. в. Ответы к избранным задачам этого сокращения ошибок. В случае «б» ошибка в к увеличивает («+ у), но умевьшает («+ а) нли наоборот, и поэтому она не компенсируется в 4. Глава 4 4.1. х = 7,2; а, = 1,5 по определению (4.9) нли 1,3 — по (4.6). 4.3, с/ = (1/А[) ~', бог = (1/А/),~' (хо — х) = (1/Аг) ~г' хг— — (1/Л/) Фх = х — х = О. Если какой-то из этих этапов не ясен, распишите суммы в явном виде, например как ~ ~д, = д, + д + ...
+ д и т. д. 4.4. ~ (хо — х)~= ~~' (хо — 2ххо+ х~) = = ~ хг — 2х ~~', х, + А[х' = х; — 2х А[х + Л'хз = ~, х; — А[ха. (И в этом случае, если у вас есть какие-либо сомнения, распишите суммы в явном виде.) 4.7. а. 1= 8,149 с, ао = 0,039 с. б. Вне 1-~-ао мы ожидаем 30%, илн 9 результатов измереннй, а получили 8. Вне 1~ 2ао мы ожидаем 5%, или 1,5, а получили 2.
4.9. (Итоговый результат для 1) = 1~ от = 8,149 ~ 0,007 с. 4.11. Х = 1221,2 мм' а — =0,3 мм'. Эти значения хорошо совпадают с л приведенным в тексте результатом 1221,2 ~ 0,4 мио. 4ИЗ, а. 336 ~ 15 м/с. Систематической погрешностью в 1% в / можно пренебречь по сравнению с погрешностью 4,5% в л. б. 336 ~ 11 м/с, В данном случае систематическая ошибка преобладает.
Глава б 6.1. См. рис. А5.1. Пунктирная кривая на рис. А5.1,а — функция Гаусса для задачи 5.4. 6.2. а. С = 1/(2а). б. Все значения между — а и а равновероятны; нн один из результатов измерений не попадает вне интервала от — а до а. в. « = 0; ૠ— - а/ч/3 6.4. См. ответы к задаче 5.1. о -«гг 5.6. Интеграл ~ г е дг можно переписать в станлартном виде ада, где и = г и а =е ~У~.
Прн интегрировании по частям гра. ннчные значения члена [иа) равны нулю, 5.8, а. 68 оя б 38% в. 95 о/о. г. 48% д !4%. е. 22,3 ( у (~ 23,7. 6ЛО. Будьте внимательны пря днфферендированнн Р, вы должны полу- читьдР/да а 1~+и~ ~ («; — Х) — Жа~[ехр ! — 2 (х; — Х)~/2а~); Р максимальна, ногда дР/аа = О, откуда следует искомый ответ. 5.12. а. а~ = 7,04, б. 1о = 74,25, 1» 67,75 н т. д, Если 1 обозначает среднее значение любой группы из четырех измерений, то мы ожидали бы а .= а гч/4 = 3,52; фактически СО десяти средних равно 3,56.
в. См. о/ рис. Абд2, Ответы н избранным задачам Рнс. Аб.!. Рис. А522. Ответы к избранным задачам 6.13. Ответ студента (9,5) отличается от предполагаемого центра распределения (9,8) иа 0,3 или на три стандартных отклонения. Вероятность того, что результат отличается на три или более стандартных отклонения от центра распределения, равна Р (вне За) = 0,3 %, Это настолько невероятно, что мы должны заподозрить, что результаты его измерений не распределены нормально относительно 9,8 с о = = 0,1, т.е. либо он допустил явную ошибку, либо результаты его измерений подвержены влиянию некоторой систематической ошибки. 5.!5. Ес — Вс = 15 МэВ, стандартное отклонение равно 9,5 МэВ.
Есля В езультаты намерений были распределены нормально с центром с — Е, = 0 и о = 9,5 МэВ, то полученное значение отличается от истинного на 15/9,5, или на 1,6 стандартных отклонений. Так как Р (вне 1,6а) = 11 с)с, го результат вполне разумен и нет оснований сомневаться в законе сохранения энергии. Глава 6 6.2. а. Р = 0,862 В, ог = 0,039 В.
б. Он отвергнет этот результат. Значение 0,95 отличается от Р на 0,088 или иа 2,3а. Так как Р (вне 2,3а) = 2,1 Эы то для десяти измерений следует ожидать только 0,2! случая, когда результат настолько нли более отличался бы от Р, Согласно критерию Шовене, такой результат должен быть отвергнут. 6.3. Он не отвергнет результат 12. В данном случае 7 = 7,00 и аг=2,72; поэтому 12 отличается от 7 на 5 нли 1,84о. Так как вероятность Р (вне 1,84а) = 6,6 э(с, то для 14 измерений следует ожидать 0,92 случая, когда результат настолько или более отличался бы от 7.
Глава 7 Глава 8 8 1. 8.3. 7.1. 7.2. 7.5. а. Результаты обоих измерений согласуются друг с другом; наилучшая оценка, основанная па обоих измерениях, равна 334,4 ~ 0,9 м/с. б. Этн результаты также согласуются (фактически в большей степени). В данном случае наилучшая оценка равна 334,08 ~ 0,98, что. конечно, следует округлить до 334 ~ 1 м/с. Очевидно, что второй результат характеризуется значнтелшю большей погрешностью и его не следует вклсочать. а. 76 -с- 4 Ом.
б. Приблизительно 26 измерений. В соответствии с (3.47) "--)'-Х( — "."'"" ") с Искомая производная равна дх„,„л/дх, = ш;/( Ч~~~~ шс). Если вы затрудняетесь в получении этого результата, то распишите сумму ~ шсхс как юсх~ +... + югхг, а затем продифференцнруйте по хс, хг и т. д, Следовательно, 1 ( "хаил) (~ )з ~ (~сох!) илн, так как а, = 1/)С'шс, (а„)з = 1/~ шс А = 0,00; В = 2,60. Эти значения дают сплошную линию на рис.
Л8.!. (Пунктирная прямая получастся для задачи 8.9.) Лргументы аналогичны рассуждениям в тексте при выволе с (8.2) по (8.12); единственная разница состоит в том, что в данном случае Ответы н избранным задачам (7 7 г Ю Рис. А8.1. А = О. Таким образом, Р(уь ..., ул) — ехр( — Хл/2), кан в (84), а )(з определяется (8.5), за исключением того, что А = О. Дифференцирование по В приводит к (8.7) (вновь с А = 0), и решение равно В = ( Ч ~х!у!)/( ~ х;).
8.4. Как и в случае залачи 8.3, аргументы аналогичны рассуждениям в тексте при выводе выражений (8.2) — (8.12). Как и в (8.4), Р(уь .... ул) ехр( — Хэ/2), но иэ-за того, что результаты измерений характеризуются разными погрешностями, в данном случае уг = ~ ш (у — А — Вх,)е. (Помните, что ш! = 1/пзг.) Лалее те же рассуждения, что н прежде. 8.6.
о = 4 1 ш 1 м/с. 88. а. Вы должны определить значение о, для которого Р(уь ..., уэ) в (8.4) максимальна. Производная оР/до есть о '~+~! [ч (у — А — Вх,) — /Уп~] ехр( — 2~/2); приравнивая это выражение нулю, находим исномое значение а. б. Постоянные А и  — определенные функции хь ..., хх и уо ..., ую Тан нак у х, нет погрешностей, то формула расчета ошибок в случае косвенных измерений (3.47) дает, например, Подставляя дА/ду! = [( ~~~ хз) — х, ( Ч ~хг)]/Ь, после небольшнт алгебраических преобразований получаем (8.15). Аналогичный расчсг дает он.
8,9. А' = — 2,9 ж 1,2; В' = 0,35 ~ 0,08. Прн использовании постоянных А и В иэ задачи 8.1 мы получили бы А' = — 3,5 и В' = 0,38, что 266 Ответы к избранным задачам Х Х 47 7 г З л д ',7 у г г б К С7 б 'Рис. А9.6. в пределах погрешностей совпадает с новыми значениями. Таким об. разом, хотя два метода определяют действительно разные линии (см. рнс. А8.1), различие фактически незначимо. 8.11. Наилучшая оценка для у равна 9,4 м(с».
8.!3. А = 5,5 см, В = 11,! см, 8.14. т = 2,02 ч. Глава 9 9.1. Это доказательство будет наиболее простым, если вы заметите, что функцию А(!) можно представить в виде А (!) = Оз + 2!гт„„+ )хсх. 9.3. а. ~ ' (хг — х)(уг — у) = ~ ' (х у! — ху, — ух + ху) = =(~ хгу;) — х(~ у!) — у(~ хг)+Агху = (Х', хгуг) — А'"у 9зй а. Ро!)г! ) 07) = 19 7». Таким образом, после пяти измерений зна. чение г = 0,7 весьма вероятно, даже если К и !' не норрелированы.
В частности, это значение ие подтверждает «значимым» образом ли. иейную связь. б. Рго!)г) ) 0,5) = 2 огш Так как это значение меньше 5 7ы то оно является «значимым» доказательством линейной корреляции. 9.6. а. г = — 0,97. Так нак Ро!)г) ) 0,97) ы 1,2 %, то наблюдается «зна. чимая» корреляция. б.
г = — 0,57. Так как Р,!)г) ) 0,57) яв 31 7г, то это значение незначимо. Глава 10 10.2. а. В случае двух бросаний вероятности выпадения О, 1 н 2 единичек равны соответственно 69,44; 27,78 и 2,78 7ш б. В случае четырех бросаний вероятности выпадения О, 1, ..., 4 единичен равны 48,231 38,58; 11,57; 1,54 и 0,08 ого соответственно, з 404 )р+д)з ~~ ~3) р» лгт 3+3рдх+хрзд+ з. т-о 10.6. Вероятность выжить для лгобого пациента равна р = 0,2; таким образом, Р)т пациентов выжвзают) = Ьо, о,»(ч). а. 4! 7».
б. 41 7». в, 18 7о. 267 Ответы к избранным задачам 107 40,2 Зо', 40,2 ой' !6,! Ъ' 3,2 %' 0,32 То; 0,0! о(о. 10 9. а. аз = (ч — ч)л= ~ ) (ч) (ч — О)а ~ ) (ч)(ч~ — 2чч+ Фх) = - ( Е ! ( ) "1-2 Х ) ( ) +" Е /( ) = ~-" Заметьте, что если бы мы заменили суммы интегралами, то доказали бы то же утверждение и для непрерывного распределения, подобного гауссову. чч улч 1О.!О. для любых р и д имеем(р+ д)л = ! ( ) р"д~ ч. дифференцируя дважды по р, находим + )л-С ~~ Ч( !) ( ) л-з,л-ч У»1ножая на р' и подставляя д =- ! — р, получаем л(п — 1) р ~ (чт — ч) Ь„е(ч) чз — ч.
Так как ч= лр, то отсюда следует, что ч» л(л — 1)р'+лр. Подставляя это выражение в формулу задачи !0.9 (а ч — ч ) 2 з -2 (где 9 = пр), мы получаем искомый результат, 10.!3. 9,68 о (аппроксимация Гаусса); 9,74 $ (точное значение). 1О 14. Р (ч ~ 18) Ргоуоо (ч ~ 17,5) Рго оо (ч ~) 4 + 2а) — 2 28 )о, !0.16. Р(ч » )12) = 0,65 о)о (если удобрение не эффективно). Таким образом, !2 успехов «значимы» и даже «высокозначнмьш.
10.18. Ожидается 360 успешных испытаний; Р (420 успешных исходов или более) св Р„„(ч > 360+ 5а) = 0,00003о)о, что представляет собой высокозначнмый результат. Глава !! !1.1. а, Для ч =-О, 1, ..., 6 рож(ч) = 60,7; 303; 7,6, 1,3; 0,2; 002; 0,00! о)о И.2. а.т рв(ч)=е и ~ р /М=е "ев ! б. Дифференцирование (11.!2) по р дает ~ е- (чН' ' — р")/ч:=О нли, используя повторив (1!.12), имеем че- орч-!/ч, Умножая на р, получаем 7 чр (ч) р, что является искомым и результатом. 11.4. а, р (число ядер) р = 1,5.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
