Дж. Тейлор - Введение в теорию ошибок (1108329), страница 51
Текст из файла (страница 51)
Затем можно было бм продолжать, как н прежде, но в атом случае было бы уже только три степени свободы.) ПРИЛОЖЕНИЯ Приложение А Интеграл ошибок. 1 Если результат измерения непрерывной переменной х подвержен влиянию множества небольших случайных ошибок,то ожидаемое распределение результатов будет нормальным, или гауссовым, распределением ! е-с -«!с«о сс Ч2в где Х есть истинное значение х, а о — стандартное отклонение Интеграл от функции нормального распределения ь ,(х) ссх называется интегралом ошибок и определяет веа роятность того, что результат измерения окажется между х=аих=Ь, Р (а ~ (х < Ь) = ~ ~«, о (х) дх.
В табл. Л приведены значения этого интеграла для а = Х вЂ” Гсг и Ь= Х+ со. Оин определяют вероятность того, что результат окажется в пределах ! стандартных отклонений в любую сторону от Х: Р (в пределах Со) = Р (Х вЂ” Со ( х ( Х + Со) = «+со с'«,, (х) ссх = К-Со с ~2 Зсза 4 = = '! е-о'с'ссз.
Эту функцию иногда обозначают ег((!), но такое обозначение используется также и для несколько отлнчаюшейся функции. 250 Прилогиеиио й Продолжение табл А о,оо о,ог о,оо о.оо о,ог о,оо о,оо о,ог о,оо о,оо 3,0 99ПЗ 3,5 99,95 4,0 99,994 4,5 99,9993 5,0 99,99994 Вероятность того, что результат измерения онажется вне этого же интервала, можно найти с помощью вычитания: Р(вне (п) =100 ол5 — Р(в пределах йт). Дополнительные сведения вы найдете в равд. 5.4 и в приложении Б.
Приложение Б Интеграл ошибок. П В некоторых расчетах удобной формой интеграла ошибок является следующая: Я(1) = 1х (х) ах= ~ е-л'и ~(з О (Этот интеграл, конечно, равеа половине значения интеграла, табулированного в приложении А.) Вероятность Р (а . х ~ Ь) того, что результат измерения окажется в любом интервале а ( х ( Ь, можно найти по значению Я(1) с помощью одного вычитания или сложения, Например, Р(Х+ о(х(Х+ 2о) = = Я(2) — Я(1). Х Я"о' Жа Аналогично Р (Х вЂ” 2о ~~ х (~ Х + о) = = Я (2) + Я (1).
Вероятность того, что результат измерения окажется больше, чем любое Х+(о, равна 0,5 — О(1). Например, Р(х~Х+а)= = 50 2й — Я(1), Лриаожеыне Б Таблица 5. Вероатвость выражеыиаа в вроцоатат. к+го й Ф ~ Тх о4а'!ба к как фунвцвн Ф о,о! о.оо о,оэ о,оо о,от 2.79 6,75 ! 0,64 14,43 18,08 3,19 7,!4 11,03 14,80 18,44 0,80 4,78 8,71 12,55 16,28 3,50 11,41 !5,17 18,79 1,Ю 5,17 9,10 12,93 16,64 47,98 48,42 48,78 49,06 49,29 48,03 48,46 48,81 49,09 49,31 47,93 48,38 48,75 49,04 49,27 49,45 49,59 49,69 49,77 49,84 49,46 49.60 49,70 49,78 49,84 49,48 49,61 49,71 49,79 49,85 0,0 0.1 0,2 0,3 0,4 О,б 06 0,7 0,8 0,9 1,0 1,1 1,2 1,3 1,4 1,5 1,6 1,7 1,8 1,9 2,0 2,! 2,2 2,3 2,4 2,5 2,6 2,7 2,8 2,9 З,О 3,5 4,0 4,5 5,0 0,00 3,98 7,93 11,79 15,54 19,15 22,5? 25,80 23,8! 31,59 34,13 36,43 38,49 40,32 41,92 43,32 44,52 45,54 46,41 47,13 47,72 48,2! 48,6! 48,93 49.! 8 49,38 49,53 49,65 49,14 49,81 49,87 49,98 49,997 49,9997 49,99997 0,40 4,38 8,32 12,17 15,91 19,50 22,91 М,11 29,10 31,86 34,38 36,65 38,69 40,49 42,0? 43,45 44,63 45,64 46,49 47,19 41,78 48,26 48,64 48,96 49,20 49,40 49,55 49,66 49,75 49,82 19,85 2о6,42 29,39 32,12 34,6 ! 36,86 38,88 40,66 42,22 43,57 44,74 45,73 46,56 47,26 47,83 48,30 48,68 48,98 49,22 49,4! 49,56 49,6? 49,76 49,82 20,19 2а3,б? Ж,?3 29,67 32,38 34,85 37,08 39,0? 40,82 42,36 43,70 44,84 45,82 46,64 47,32 47,88 48,34 48,71 49,01 49,25 49,43 49,57 49,68 49,77 49,83 1,60 5,57 13,31 17,00 20,54 23,89 27,04 29,95 32,64 35,08 37,29 39,25 40,99 42,51 43,82 44,95 45,91 46,71 47,38 1,99 5,96 9,87 13,68 17,36 27,34 30,23 32.89 35,31 37,49 39,44 4! .15 42,65 43,94 45,05 45,99 46,78 47,44 2,39 10,26 ! 4,06 17,72 21,23 24,54 27,64 30,51 33,15 35,54 37,70 39,62 41,31 42,79 44,06 45,15 46,08 46,86 47,50 21,57 24,86 27,94 30,78 33,40 35,77 37,90 39,80 41,47 42,92 44,18 45,25 46,16 46,93 47,56 48,08 48,50 48,84 49,!! 49,32 49,49 49,62 49,72 49,79 49,85 21,90 25,17 28,23 31,06 33,65 35,99 38,10 39,97 41,62 43,06 44,29 45,35 46,25 46,99 47,61 48,12 48,54 48,87 49,13 49,34 49,5! 49,63 49,73 49,80 49,86 22.26 28.52 31.33 33,89 36,2! 38,30" 40,15 41,17 43,19 44.41 45,45 46,3Ъ 47.06.
47,6Т 48,! 7 48,57 48,90 49,!6 49,36 49,52 49,64 49,74 49,8! 49,86 Приложение В Вероятности коэффициентов корреляции Степень, с которой М точек (хь у~), ..., (хх,дя) аппроксимируются прямой линией, определяется коэффициентом линейной корреляции: (х — х) (у — у) [~ (х. — х)з х~~ (у — у)э~и который всегда лежит в интервале — 1 ( г( 1. Значения г, близкие к ~-1, означают высокую степень линейной корреля. ции; значения, близкие к О, указывают на небольшую корреляцию или на ее отсутствие. Количественная мера аппроксимации может быть получена с помощью табл. В. Для любого определенного г, Рх(!г~ ) ) (г,~!) есть вероятность того, что результаты А! измерений двух некоррелированных переменных будут иметь коэффициент корреляции г, не меньший чем г,. Таким образом, если мы получим коэффициент г„ для которого вероятность Рх(!г( ) !г,!) мала, то невероятно, чтобы наши переменные были некоррелированными, т.
е. корреляция существует. В частности, если Рх(!г() !г,) ) ( 5~/о, корреляция называется значимой, если эта вероятность меньше 1$, то корреляция называется высокозначимой. Например, вероятность того, что результаты 20 измерений (Ж = 20) двух некоррелированных переменных дадут !г'1) 0,5, определяется таблицей в 2,57о. Таким образом, если бы результаты 20 измерений дали г = 0,5, то у нас было бы значимое доказательство линейной корреляции между двумя переменными.
Дополнительные сведения вы найдете в разд. 9.3 — 9.5. Значения, приведенные в табл. В, были вычислены по формуле ! Рх(! г )Ъ!гр() = — * ' ~ (1 г )~У-"х йг. ту~~ Г !!у — 2)!2! ! ~с,' Для справок, см., например, Рияд Е. М. !Р'(пз!ош 6. и'., ТЬе Апа!уз!з о1 Рйуз!са! й(еазпгетеп(з, 9, Аоо!зоп-ТУез1еу, 1966, Зес1.
12.8. Приложение В Таблица 8. Выраженная в процентах вероятяость Р4т (! г !)~ и ~ того, что результаты 34 измерений двух векоррелированных переменных дадут ковффнциент корреляции !гав ~ '!и ~, как Функция 37 и и . (Прояеряи указывает на вероятности, которые меньше 0,05%.) го о,з о,з о,! о,з ол о,з о,о од 94 90 87 87 80 75 81 74 70 60 62 50 67 59 50 40 39 28 41 29 0 20 10 0 10 3,7 О 100 100 1ОО 51 30 19 85 83 81 80 78 56 43 51 37 47 ЗЗ 43 29 40 25 5,6 1,4 0 3 ! О б 0 1,7 0,2 0 1,0 0,1 О 0,5 — 0 100 100 100 100 !ОО 70 67 63 61 58 12 8,0 5,3 3,6 2,4 31 21 25 15 21 12 17 8,8 14 6,7 6 7 8 Я 10 56 53 51 49 47 1,6 1,1 0,8 0,5 0,4 77 76 75 73 72 37 22 34 20 32 18 ЗО 16 28 14 11 12 13 14 15 100 100 100 100 100 0,3 — О 0,2 — 0 0,1 — 0 0,1 — 0 — 0 26 12 24 11 23 10 21 9,0 20 81 46 44 43 41 40 16 17 18 19 20 100 100 100 100 100 71 70 69 68 67 О,З 0,2 — 0 Π— 0 0,1 0,1 — 0 — 0 0,1 63 60 57 54 51 25 30 35 40 45 15 4,8 11 2,9 8,0 1,7 6,0 1,1 4,5 0,6 34 29 25 22 19 1,1 0,2 0,5 0,2 0,1 100 100 100 1ОО 100 0 0 0 — 0 — 0 о а,оз о,ы о,т одз о,з О,4 О,З" ОЛ 0,4З 73 70 68 50 60 70 100 100 100 1,3 0,4 0,1 0,6 0,2 0,3 0,1 3,4 2,0 1,2 бо 90 100 100 100 1ОО бб 64 62 0,7 0,4 0,2 О,! 0,1 49 45 41 38 35 32 12 5,1 9,8 З,Я 8,2 3,0 6,9 2,3 5,8 1,8 4,9 1,4 4,1 1,1 3 5 О 8 2,9 0,7 2,5 0,5 30 16 8,0 25 13 5,4 22 9,7 3,7 18 7,5 2,5 16 5,9 1,7 14 4,6 1,2 Приложение Г Вероятности для х' Если результаты серии измерений распределены по й бинам, где й = 1, ..., п, то через О» мы обозначим число наблюдений, попавших в бин й.
Ожидав»~ое число (полученное на основе некоторого предположенного или ожидаемого распределения) результатов в бине и обозначается Е». Степень, с которой результаты наблюдений аппроксимируются предполагаемым распределением, характеризуется приведенным значением Х', определяемым как х = — „~. ! х (о» вЂ” е,) »-! где г( есть число степеней свободы, равное д = л — с, а с— число связей (см.
разд. 12.3). Ожидаемое среднее значение Х» равно 1. Если Х» » 1, то результаты наблюдений не согласуются с предполагаемым распределением; если Х' ( 1, то согласие удовлетворительное. Этот критерий становится количественным благодаря вероятностям, приведенным в табл. Г. Пусть Х', обозначает значение Х', фактически полученное в эксперименте с 4 степенями свободы. Число Р„(Х'- Х~) есть вероятность получения значения Х' не меньшего, чем полученное у',, если результаты измерений действительно распределены в соответствии с пред- положенным законом. Таким образом, если Р„(Х»- Х-',) велика, то полученное и ожидаемое распределения согласуются; если эта вероятность мала, то они, по-виднмому, различаются.
В частности, если Р„(Х» ) Х,') меньше 5»/„ мы говорим, что расхождение значимо, н отвергаем предположенное распределение на 5%-ном уровне. Если эта вероятность меньше 1»)», расхождение называется высокозначилым и мы отвергаем предположенное распределение на ! %-ном уровне. Например, предположим, что мы получили для приведенного значения х' 2,6 (т.
е. х» = 2,6) в эксперименте с шестью степенями свободы (д = 6). В соответствии с табл. Г 256 Приложение Г Тээлиба Г. Выраженная в процентах вероятность пз(Х 4Х~) получения значения Х ) Х в зкспернменте с Ф степенями 2 2 свободы как функция И и Х . (Прочерки указывак42 иа значения 2 вероятности, которые меньше 0,05070.! хо З О 0,5 1,0 1,5 2,0 23 3,0 3,5 4,0 4,5 5,0 5,5 ОО 8,0 10,0 !00 48 32 22 16 11 8,3 6,1 4,6 3,4 2,5 1,9 1,4 0,5 0,2 100 61 37 22 14 8,2 5,0 З,О 1,8 1,1 0,7 0,4 0,2 100 68 ЗЭ 21 11 5,8 2,9 1,5 0,7 0,4 0,2 0,1 100 74 41 20 9,2 4,0 1,7 0,7 0,3 0,1 0,1 100 78 42 19 7,5 2,9 1,0 0,4 0,1 О 0,2 0,4 О,б 0,8 1,0 1,2 1,1 1,1 1,8 2,0 2,2 2,4 2,8 2,8 3,0 100 65 53 44 37 32 27 24 21 18 16 14 12 !1 9,4 8 3 100 82 67 55 45 37 30 25 20 17 14 11 9 1 7 4 6 1 5,0 100 90 75 61 49 39 31 24 19 14 11 8,6 6,6 5,0 3,8 2,9 100 94 81 бб 52 41 31 23 17 13 9,2 6,6 4,8 3,4 2,4 1,7 !00 96 85 70 55 42 31 22 16 11 7,5 5,1 3,5 2,3 1,6 1,0 4,0 2,5 1,6 1,0 0,6 3,1 1,9 1,1 0,7 0,4 2,4 1,4 0,8 0,4 0,2 1,9 1,0 0,5 0,3 0,1 1,5 0,8 0,4 0,2 0,1 100 100 98 89 69 45 26 13 6,0 2,э 1,0 0,4 0,1 100 100 99 90 70 45 2э 12 5,5 2,2 0,8 О,З 0,1 100 100 99 93 70 46 25 12 5,1 2,0 0,7 0,2 0,1 100 100 99 91 71 1б 25 !! 4,7 1,7 0,6 0,2 О,! 100 100 99 92 72 46 24 11 4,3 1,5 0,5 0,1 0,1 0,1 6 7 8 9 1О 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 22 "4 26 28 30 100 98 88 73 57 42 30 21 14 9,5 6,2 100 99 90 76 59 43 ЗО 20 13 8,2 5,1 100 99 92 78 60 43 29 19 12 7,2 4,2 100 99 94 80 62 44 29 18 11 6,3 3,5 100 100 95 82 63 44 29 17 10 5,5 2,9 100 100 96 83 64 44 28 16 9,1 4,8 2,4 100 100 96 84 бэ 45 28 16 8,4 4„2 2,0 100 100 97 86 66 45 27 !5 7,7 '3,7 1,7 100 100 98 87 67 45 27 14 7,1 3,3 1,4 100 100 98 88 68 '!5 26 14 6.5 2,9 1,2 100 100 99 93 73 46 23 1О 3,7 1,2 0,4 100 100 100 9! 7! 46 23 9,2 3,2 0,9 О,З 100 100 100 95 76 46 22 8.5 2,7 0,7 0,2 100 100 100 95 76 46 2! 7,8 2,3 0,6 0,1 100 100 !00 96 77 47 21 7,2 2,0 0,5 0,1 1,2 0,6 О,З 0,9 0,4 0,2 0,7 0,3 0,1 0,6 0,2 0,1 0,5 0,2 0,1 0,1 0.1 0,1 0,1 Библиографии 257 вероятность получения та ) 2,6 составляет 1,бг1,, если результаты измерений распределены в соответствии с предположенным законом.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
