Дж. Тейлор - Введение в теорию ошибок (1108329), страница 50
Текст из файла (страница 50)
12,2). Три игральные кости бросают 400 раз, наблюдают число шестерок, выпавших в каждом броске, и получают результаты, приведенные в табл. 12.12. Предполагая, что кости подлинные, рассчитайте ожидаемые числа Е, для каждого из трех бинов. (Необходимые вероятности — биномиальиые вероятности, рассмотренные в равд, !0.2). Вычислите ХД Имеются ли основания подозревать, что кости утяжелены? »12.5 (рази. 12.3).
а. Для каждой из задач от 12.1 по 12.4 найдите число связей с н число степеней свободы г(. б. Предполозким, что в задаче 12.1 принятое значение р„ плотности известно и мы решили проверить гипотезу о том, что результаты подчиняются нормальному распределению с центром р., В случас этого испытания сколько имеется связей и какоио число степеней свободы? »12.6 (равд. 12.4). По данным задачи 12.1 вычислите приведенное значение уз. Если бы результаты измерений были распределены нормально, какова была бы вероятность получения значения Хе, столь же большого или даже большего? На 5%игом уровне значимости можете ли вы отвергнуть гипотезу о том, что результаты измерений были распределены ноРмально? А на 1 е)з-ном УРовне? (НУжпые веРоЯтности найдите в пРнложення Г.) 12.7 (равд. 124).
В задаче 122»го>кете ли вы отвергнуть предположенпе о нормальном распределении нз 5 е(е-ном илн на 1 е(е-нем уровне значимости? (Н)окные вероятности найдите в приложении Г.) 245 Критерий уз дли распределений Таблица !2.13 2 3 4 5 6 7 6 9 1О 11 12 6 !4 23 35 57 50 44 49 39 27 16 Сумма Числа наблюдений Таблица 12.14 Число распадов ч Числа наблюдеинй 0 1 2 3 4 5 нли больше 11 !2 !1 4 2 0 *12.8 (равд. 12.5). Пара игральных костей бросается 360 раз, и для каждого броска регистрируется суммарное число выпавших очков.
Возможные значения суммы равны 2, 3, ..., !2, и их числа наблюдений .приведены в табл. 12,13. Рассчитайте вероятность для каждой суммы и, следовательно, ожидаемые числа ее появления (предполагая, что кости подлинные). Вычислите э!э, б и уэ = )!э(б. Предполагая, что кости подлинные, найдите, какова вероятность получения значения )Ст, равного найденному, илн большего. На 5 с)э-нем уровне значимости можете ли вы отвергнуть гипотезу о том, лгто косги подлинные? А иа ! 7э-ном уровне? (Нужные вероятности най. дите в приложении Г.) 12.9 (равд.
12.5). Для задачи 12.3 найдите значение )сэ. Можем ли мы сделать вывод о том, что игральиан кость утнжелена нв 5 цэ-ном уровне значимости? А на 1 7э-ном уровне? (?!ужине вероятности найдите в приложении Г.) *12.10 (равд. !2.5). Чему равно значение )Сз в задаче !24? Если иг. ральные кости действительно подлинные, то какова вероятность получения значения Х', равного найденному, или большего? Объясните, позволяют ли результаты предположить, что кости утяжелены? (Нужные вероятности найдите в приложении Г.) 12.11 (равд. 12.5).
Вычислите )!э по данным задачи 1!.5, предполагая, пто резулътаты наблюдений должвы быть распределены по закону Пуассона со средним числом отсчетов р = 3. (Сгруппируйте все данные для и ) 6 в один бии.) Сколько имеется степеней свободы? (Не забудьте, что число р было дано заранее, а не вычислялось по данным.) Чему равно )Сэ? Согласуются ли данные с ожидаемым распределением Пуассона? (Нужвые нероятности найдите в приложении Г.) *12.12 (равд. 12.5). а.
Утверждается, что в некотором образце радиоактивного вещества происходят в среднем два распада в минуту. Чтобы проверить это, студент измеряет число распадов в 40 отдельных одноминутных интервалах и получает результаты, приведенные в табл. 12.14. Если распады происходят в соответствии с распределением Пуассона с р = 2, то какие ожидаемые числа наблюдений обнаружит студент? (Сггоуппируйте все данные с ч ) 3 в один бин.) Вычислите )(э, б и т = ХЧб (не забудьте, что число р не вычислялось из данных). На 5 эв-ном уровне значимости отвергаете ли вы гипотезу о том, что в образце происходят распады в соответствии с законом Пуассона с р = 2? б. Студент замечает, что фактически среднее значение результатов равно 9 = 1,35, и поэтому решает проверить, подчиняются ли его данные распределению Пуассоаа с р = 1,35.
Каковы в этом случае значения б и хэ? Согласуются ли данные с этой новой гипотезой? Глава 12 «12.13 (равд. 12.5). В гл. 10 мы обсудили метод испытания гипотез на основе биномиального распределения. Мы рассматривали и попыток, каждую с двумя исходами: выигрышем (с вероятностью р) и проигрышем (с вероятностью 1 — р). Затем мы проверяли, совместимо ли полученное число выигрышей ч с некоторым принятым значением р. Если рассматриваемые числа достаточно велики, мы можем рассматривать зту же самую.
задачу с помощью критерия у», используя два бина: й = 1 в случае выигрыша и й = 2 в случае проигрыша и одну степень свободы. В последующем мы будем использовать оба иетода и сравним их результаты. Если числа велики, то вы получите отличное согласие, если же числа малы, то согласие будет менее удовлетворительным, но все же достаточно хорошим, чтобы утверждать, что метод д» очеяь полезен и чувствителен. а. Производитель супов считает, что он может вводить различные добавки из теста в свои порошковые куриные супы, не оказывая влияния на их спрос. Чтобы проверить эту гипотезу, он изготавливает 16 пакетиков, помеченных «рецепт Х» и содержащих новую смесь,.
и !6 пакетиков, помеченных «рецепт У» и содержащих старый состав. Затем он рассылает по одному пакетику каждого состава 16 дегустаторам и спрашивает их, какой состав предпочтительнее. Если его гипотеза верна, то мы должны были бы ожидать, чть восемь дегустаторов предпочтут Х и восемь — У. Фактически число дегустаторов, которые предпочли Х, оказалось равным т = 11. Вычислите д» и вероятность получения значения не меньшего, чем вычисленное.
Указывает ли испытание на значимую разницу между двумя видами смесей? Затеи вычислите соответствующие вероятности точно с помощью биномиального распределения и сравните ваши результаты. Заметьте, что критерий у» использует отклонения в обе стороны от ожидаемых чисел. Следовательно, для такого сравнения вы должны вычислять «двухвостовую» вероятность для значений ч, отличающихся от восьми на три или более в любую сторону, т. е. как для т !1, 12, ..., 16, так и для ч = 5, 4, ..., !. б.
Поз~орите задание «а» для следующего испытания, когда произво. дитель изготавливает по 400 пакетиков каждой смеси, а число предпочитающих Х равно 225. (При расчете биномиальных вероятностей используйте гауссову аппроксимацкю.) г. В случае «а» числа довольно малы, так что критерий у» оказался весьма приближенным. (Он давал вероятность !4 7« по сравнению с правильным значением 21,0 «4,) В случае одной степени свободы мы можем немного улучшить критерий у», заменяя его «модифицированным 1(»», определяемым нак модифицированный у« Еа а-! Вычислите «модифицированный д»» для данных задания «а» и покажите, что использование его значения (вместо обычного 1(з) при нахождении вероятности в таблице приложения Г даст более точное приближение '). 12.14 (разя. !2.5).
Критерий 1!» может быть использован для проверки того, насколько хорошо набор измерений (хь у,) двух переменных аппроксимнруется ожидаемой зависимостью у = ((х) при условии, что по- ~) Мы не обосновали здесь понятие «модифицированный д»», но этот пример действительно показывает его преимущества Подробности см в книге Аййег Н. )... Коеэз!ег Е.
В., 1п(годцсВоп 1о РгоЬаЬ!11(у апд 3!а11з!1сз, Ргеещап, 1977, р. 266« Критерий )(а для распределений 247 Хаблица 12.15 1 2 3 4 5 60 56 71 66 86 х (погрешность пренебрежимо мала) у (для всех значений ~4) грешностн хорошо известны.
Предположим, что у и х связаны линейной зависимостью у 1'(х) А+ Вх, (! 2.19) (Например, у может быть длиной металлического прута, а х — его температурой.) Предположим, что, согласно теоретическим предсказаниям, А н В имеют значения, равные А = 50 и В = 6, н что пять нзмереннй х и у дали результаты, приведенные в табл. 12.15. Погрешность, приведенная для у, — стандартное отклонение, т.е. все пять результатов измерений у имеют одно и то же стандартное отклонение и = 4. Составьте таблнцу полученных и ожидаемых значений у~ и вычнс- лите уа по формуле '- к("' .""'-') ! Поскольку ни один из параметров не опеннвается по данным, свнзей нет н, следовательно, будет пять степеней свободы. Вычислите Х' н по таблице приложения Г определите вероятность получения значения Хт такой величины, предполагая, что у действительно удовлетворяет зависимости (!2,19), Нэ 5 7р-нем уровне отвергнете ли вы ожидаемую зависимость (12.19)? (Если бы постоянные А н В не были известны заранее, то пришлась бм рассчитать их по данным методом наименьших квадратов.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
