Харкевич А.А. - Автоколебания (1107605), страница 25
Текст из файла (страница 25)
При замыкании тока электромагнит Б притягивает рычаг 4, который, протягивая вить через блок, укорачивает маятник. Когда маятник доходит до контакта К„ он, задевая, размыкает его на короткое время. Блокирующий электромагнит отпускает контакт Кп а рабочий электромагнит отпу кает рычаг, в результате чего маятник удлиняется. цепь остается разомкнутой, пока маятник не вернется в среднее положение, где он снова замкнет контакт Кп На протя- $ 24.
пАРАметРическое Возвуждеине 133 женин второго полупериода движения маятника все явления происходят в том же порядке, но с участием контакта К, вместо К,. Итак, в описанной системе происходят изменения параметра — длины маятника — в точности таким же образом, как в качелях, так что траектория центра тяжести маятника, представленная на рис. 134, полностью относится и к данной системе.
Как видим, изменения параметра управляются через посредство обратной связи со стороны колебательной системы. Рис. 138. Рис. 139. Итак, описанная система может служить примером автоколебательной системы с параметрическим возбуждением. Займемся теперь вопросом об энергетическом балансе параметрических колебаний. Рассмотрим этот вопрос на примере качелей или, что то же, параметрического маятника рис. 1 37. Как уже отмечалось, источник энергии в системах с параметрическим возбуждением совершает работу при изменении параметра.
Эту работу мы и должны определить, сравнив ее с энергией, теряемой при колебаниях. Построим прежде всего график внешних сил, действующих вдоль маятника (других сил нет!), в зависимости от положения маятника. Угловое смещение маятника обозначим через а и будем отсчитывать его от среднего положения. На рнс. 138, а изображены графики сил; гд — сила тяжести, точнее ее проекция на направление маятника (как показано на рис. 139); при малых амплитудах можно считать эту силу 10* 134 8 24.
плглматгичвскои возвкжденив постоянной, т. е. не зависящей от полом<ения маятника. Е,— центробежная сила, зависящая от угловой скорости, а следовательно, и от положения маятника, как показано на рисунке. На рис. 138, б дана зависимость смещения у центра тяжести вдоль маятника (считая от наинизшего положения) от положения маятника х. Рис.
138, б представляет траекторию центра тяжести, т. е. повторяет в прямоугольных координатах рис. 134. Внешняя сила Е, действующая на подвес маятника, уравновешивает сумму сил Г, и Ем т. е. равна этой сумме по величине и противоположна по направлению.
Сила сможет совершить работу лишь на перемещениях по своему направлению, т. е. вдоль маятника. Поэтому мы должны строить диаграмму работы в виде зависимости Е от у. Беря соответствующие друг другу значения обеих этих величин с графиков рис. 138, получим диаграмму, изображенную на рис. 140. Лля оценки вкладываемой в Рис. 140. систему энергии нужно учитывать, что контур диаграммы рис.
140 обходится за один период колебания маятника дважды, Заметим, что площадь диаграммы зависит от величины ц)с, т. е. от смещения центра тяжести. Отношение ц)с к длине маятника )с есть не что иное, как глубина модуляции параметра. Таким образом, вкладываемая в систему работа пропорциональна примерно первой степени глубины модуляции. Площадь диаграммы зависит также и от величины центробежной силы. Но центробежная сила пропорциональна к в а д р а т у амплитуды колебания маятника. Значит, при постоянной глубине модуляции вкладываемая в систему энергия Е+ возрастает с амплитудой по параболическому закону.
С другой стороны, если нагрузка системы линейна, т. е. если, например, затухание маятника обусловлено вязким трением, то теряемая энергия Е возрастает также пропорционально квадрату амплитуды. Стало быть, Е„ и Е представляются двумя параболами, которые нигде не пересекаются, кроме как в начале координат (рис. 141, а). Если парабола Е лежит выше параболы Еь, то параметрические колеба- $25. одна механическая модель 135 ния не могут возникнуть. Если же парабола Е+ расположатся выше Š— этого можно достигнуть увеличением глубины модуляции, — то колебания возбудятся, но будут неограниченно нарастать. Для того чтобы получить параметрические колебания с устойчивой амплитудой, необходимо чтонибудь из двух: либо чтобы нагрузка была нелннейна, т. е, чтобы Е возрастала быстрее, чем по параболе (рис.
141, б), либо чтобы глубина модуляции не оставалась постоинной,а убы- аа Рис. !41. вала бы с амплитудой; тогда Е+ будет расти медленнее, чем по параболе !рис. 141, в). Обе эти возможности могут быть использованы в реальном устройстве. Так, например, человек, раскачивающейся на качелях, делает вначале очень энергичные дини<ения, низко приседая. Когда же качели достигнут желаемого размаха, движения человека делаются еле заметными. Таким образом, в данном случае ограничение амплитуды достигается путем уменьшения глубины модуляции. Другой возможностью человек на качелях и не располагает. ф 25 ОДНА МЕХАНИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ !го] Рассмотрим одну механическую модель, относящуюся к параметрическим системам, но обладающую рядом своеобразных черт.
В этой модели энергия периодическими порциями отбирается от падающего с некоторой высоты тяжелого шарика. Модель представляет собою желоб, состоящий из трех звеньев 1ЗЕ ф 25, ОднА мехАническАя мОдель (рис. 142). Прямые звенья ! и 2 жестки, а звено 3 гибко. За счет изгиба звена 3 наклон звеньев ! и 2 может изме- няться, как показано на рис. 142 пунктиром. Предположим, что желоб неподвижен и что мы пускаем по нему в точке а тяжелый шарик. Скатившись по звену 1, шарик приобретает к концу а спуска некоторую скорость; его потенциальная энергия перейдет в кинетическую.
Поднимаясь по звену 2, он будет замедлять свое движение, и у" к концу подъема кинетическая энергия снова перейдет в поРнс. 142. тенциальную. Если бы потери на трение отсутствовали, то шарик поднялся бы на такую же высоту, с которой он первона- чально был спущен. Таким образом, шарик совершал бы в желобе периодические колебания с неубывающей амплитудой, Пусть теперь наклон звеньев ! и 2 периодически изме- няется следующим порядком: когда шарик находится в наи- низшем положении, т. е. проходит звено 3, наклон звеньев ! и 2 увеличивается, когда же шарик находится в наивыс- ших точках, наклон звеньев ! и 2 уменьшается. Если эти изменения наклона проис- гл - - - - 4 ходят скачкообразно, то легко сообразить, что шарик будет двигаться по траектории, изображснной па рис.
143. Путь шарика начинается в точке !. Он сбегает в точку 2 по малому наклону. В этот момент на- клон увеличивается и шарик взбегает по более крутому скло- ну до точки 3, находящейся на той же высоте, что и точка ), В этот момент желоб опускается и шарик вместе с же- лобом переходит в точку 4, отдавая при этом часть своей потенциальной энергии, равную произведению веса шарика на отрезок ц,й 1рис. 143). После этого шарик пускается в 3ДЮ РЯС. 143.
$ 25. одна мвхлничяскля модвль 137 обратный путь и, пройдя наинизшее положение б, достигает точки б на той же высоте, что и 4. Здесь желоб снова опускается и шарик снова отдает часть своей энергии, определяемую отрезком Лай. Так происходит и дальнейшее движение шарика. Израсходовав весь свой первоначальный запас энергии, шарик вываливается в отверстие, проделанное в середине (в наинизшей точке) звена 3.
Как видим, все это напоминает рассуждения о качелях. Переменным параметром является здесь наклон желоба. Период изменения этого параметра вдвое меньше времени, затрачиваемого шариком на полный цикл своего движения. Разница состоит Х в том, что мы не раскачиваем шарик (что также вполне возможно), а, наоборот, отни- ф маем от него его энергию периодическими 7 порциями.
Этими периодическими порциями можно раскачать некоторую колебательную систему. Такую систему можно выполнить, например, в виде, показанном на рис. 144. Здесь масса 4 подвешена на пружине б и соединена шарнирными тягами б и 7 со звеньями 1 и 2 желоба. Рис. 144, Средняя часть гибкого звена 3 закреплена неподвижно. Очевидно, что собственная частота системы должна быть подобрана так, чтобы она была вдвое больше частоты колебания шарика. Здесь, однако, нужно заметить, что частота колебания шарика не есть постоянная величина, По мере того как высота подъема шарика убывает, продолжительность цикла его движения сокращается. Поэтому оптимальные соотношения не могут быть выдержаны з точности, и это обстоятельство несколько усложняет дело, хотя и не исключает возможности возбуждения колебаний, Поддерживать незатухающие колебания можно, вводя периодически в систему новые шарики.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
