Харкевич А.А. - Автоколебания (1107605), страница 29
Текст из файла (страница 29)
(12) В таком виде уравнения ясно показывают наличие двух связанных систем (переменные гр и 6 и члены связи). Г. Уравнения динамического шимми при выносе, не равном нулю, пишутся в виде -~-+ ~) = а)г — 'ргр, (5) гй аа ге а гта — +й — = — (6+И. огУ вЂ”, + ол „вЂ” = ггт) + Фр. (13) (6) ( +~)=а)г — р а1 гтх „-,+ — = — (6+~), гггх огМ вЂ” = ак. лег (5) (14) (15) (16) Уравнение (14) отличается от (8) тем, что боковое смещение выражается суммой свободного перемещения вилки х и деформации 1. В уравнении (15) отброшено демпфирование. Уравнение (16) есть уравнение сил для поперечного движения; оно учитывает силу инерции колеса, масса которого М.
12 а. А. хвркеввч В уравнении (13) по сравнению с (10) появился еще член, зависящий от т. Д. Для колеса со свободным поперечным перемещением (как на рис. 132) в уравнениях появляется еще одна переменная — поперечное смешение х. Система уравнений принимает вид 158 довлвления Исследование характера движения производится для всех приведенных случаев обычным способом — исследованием корней характеристического уравнения.
Вещественные корни соответствуют апериодическим режимам, комплексные †колебательным. Чисто мнимые корни отвечают незатухающим колебаниям (например, уравнение (4)). Комплексные корни с отрицательными вещественными частями отвечают затухающим колебаниям. Самовозбуждающиеся автоколебания возможны только в тех случаях, в которых комплексные корни характеристического уравнения имеют положительные вещественные части. Эти соотношения позволяют выразить неравенствами условия невозможности автоколебаний, т. е.
условия устойчивости. Так, например, условие устойчивости для случая Й вЂ д колеса со свободным поперечным перемещением — состоит втом, чтобы где ы, — частота крутильных колебаний колеса, м, — частота колебаний бокового смещенвя. Если это условие выполнено, шимми не возникает ни при каких скоростях. 3. Автоколебания регуляторов Регулятором называется устройство для автоматического поддержания постоянства режима той или иной машины (или аппарата) прн изменении условий ее работы (например, при изменении нагрузки).
При известных условиях возможны автоколебания регулятора; это явление имеет, очевидно, для техншси большое значение. Современная теория регулирования представляет собою широко развитую отрасль науки; вопрос об автоколебаниях регуляторов является с точки зрения теории регулирования одним из многочисленных частных вопросов, разработанных до тонкостей даже для наиболее сложных случаев. Нет никакой возможности в рамках этой небольшой книги дать хотя бы общий обзор результатов, добытых теорией регулирования. Но для нас регулятор является лишь одним из примеров автоколебательных систем.
Поэтому уместно будет высказать 3. АВтоколеБАния РеГулятОРОВ 159 некоторые общие соображения и разобрать в качестве примера простейшую систему регулятора. Прежде всего заметим, что автоколебания в регуляторах в принципе возможны потому, что в любом регуляторе имеется о б р а т н а я с в я з ь. В самом деле, действие регулятора в том и состоит, что изменения регулируемой величины так или иначе воздействуют через посредство регулирующего органа на режим системы так, чтобы уменьшить изменения регулируемой величины. Таким образом, в системе машина †регулят образуется з а м к н у т а я цепь прямой и обратной связи, так что общая схема машины с регулятором очень сходна с общей схемой автоколебательной системы. Для некоторых систем регуляторов автоколебания составляют основу их действия.
Это так называемые регуляторы прерывистого действия. Примером и такого рода систем может служить терморегулятор, рассмотренный в У 2 !9. Процесс прерывистого регули- 4 рования имеет колебательный харак- б' тер, так что регулируемая величина (например, температура в случае терморегулятора) все время колеблется около заданного среднего зна- О чения.
Мы не будем больше заниматься этой разновидностью регуляторов и Рис. 166. обратимся к таким регуляторам, которые отзываются на изменение регулируемой величины соответствующим изменением режима. При этом процесс регулирования, отвечающий внезапному скачкообразному изменению условий работы, имеет апериодический (что желательно во многих случаях) или затухающий колебательный характер.
Возникновение автоколебаний в таких регуляторах недопустимо. В качестве примера мы рассмотрим классическую схему центробежного регулятора, применяемого с давних пор для регулирования скорости паровых машин. Схема центробежного регулятора дана на рис. 156.
Машина 1 приводит во вращение вертикальный вал 2. Тяжелые шары 3, укрепленные на шарнирных рычагах, вращающихся вместе с валом 2, расходятся, стремясь двигаться прямолинейно, и поднимают муфту 4. 12* 16О довлвлвния Последняя через посредство рычага б передвигает заслонку б, изменяющую количество пара, поступающего в машину, а следовательно, и вращающий момент. Известно, что при уменьшении нагрузки скорость машины склонна возрасти. Действие регулятора состоит в том, что он препятствует этому, уменьшая подачу пара, так что благодаря наличию регулятора изменения скорости при изменении нагрузки гораздо меньше, чем если бы регулятора не было. Описанный простейший регулятор относится к статическим регуляторам прямого действия.
Исчерпывающая теория этого рода регуляторов дана еще в 1876 году Вышнеградским (ач). Мы повторим здесь вкратце его теорию и выводы. Рассматриваемая система есть связанная система, состоящая из машины и регулятора, причем машина влияет на регулятор, а регулятор на машину. Следовательно, система будет описываться двумя уравнениями с соответствующими членами связи. Уравнение регулятора.
В качестве переменной, описывающей движение регулятора, выберем смещение и муфты. При этом положительное направление и пусть отвечает положительному приращению скорости машины (т. е. +и направлено вверх, см. рис. 156). В первом приближении регулятор представляет собою линейную систему с одной степенью свободы. Внешняя сила, действующая на эту систему, зависит от скорости машины; в том же приближении вта сила может считаться пропорциональной относительному изменению скорости машины. Таким образом, получаем уравнение лги лм ЬЯ (1) Здесь я — показатель затухания, м, — собственная частота регулятора, зависящая от приведенной к муфте массы поступательно движущихся частей регулятора, а также от возвращающей (квазиупругой) силы.
Последняя зависит от веса шаров, а при наличии пружин — от их упругости. Через ()а обозначена номинальная угловая скорость машины, а через Ы = Я вЂ” Я, — ее приращение. У р а в н е н и е м а ш и н ы. Машина также представляет собою систему с одной степенью свободы. Ее уравнение мы получим, приняв, что изменение внешнего момента вызывает ускорение машины. Уменьшение нагрузки эквивалентно 3. АВТОКОЛЕБАНИЯ РЕГУЛЯТОРОВ 161 увеличению вращающего момента. Но одновременно возникает противоположный дополнительный момент, обусловленный работой регулятора, Этот последний момент в первом приближении считается пропорциональным смещению муфты регулятора (а следовательно, и заслонки). Таким образом, уравнение машины запишется в виде У вЂ” = йМ вЂ” иаи.
~й (2) Здесь У вЂ” момент инерции машины, ЬМ вЂ” приращение момента, обусловленное изменением нагрузки, — йа и — дополнительный момент, обусловленный работой регулятора. Решая совместно (1) и (2), т. е. дифференцируя (1) по а йм и подставляя „ — из (2), получим для и уравнение третьего порядка — +2и — +ют — + — и= — ЬМ.
йаи ити я йи а1аз А1 ита Лая 0 ит,уд р у (3) и показывает, что условие устойчивости есть ху) 1 2аео Уйо о >1 а~аз или (4) Отсюда сразу следует знаменитый тезис о том, что «без катаракта ') нет регулятора». Действительно, при отсутствии з) Катарактом называется гаситель колебаний (демпфер), состоящий из цилиндра, заполненного маслом, в котором перемещается поршень с отверстием.
Движению поршня противодействует сила вязкого трения, возникающего прн продаваиваннн масла через отверстие. Предполагается, что зта сила пропорциональна скорости поршня. Очевидно, что такое же уравнение можно получить и для м'. Свойства системы определяются, как обычно, исследованием корней характеристического уравнения. Автоколебания возможны, если имеются комплексные корни с положительными вещественными частями. Для целей анализа Вышнеградский вводнт вспомогательные величины 162 ДОБАВЛЕНИЯ катаракта а равно нулю (или во всяком случае очень мало), а тогда автоколебания неизбежны.
Условие (4) показывает также, что при недостаточном затухании, вносимом катарактом, полезно применять маховик (увеличение .1), повышать коэффициент неравномерности (увеличенне мв) и т. д. Дальнейший анализ корней у характеристического уравнения позволяет установить условия, при которых про- Ф цесс регулирования имеет апериодический или колебательный характер. Результаты этого анализа представлены в графической форме г на рис. 157.
По осям отложены параметры х и у. Плоа шаль лнаграммы лепится на области. Область 1 — ав- Ф 1 Г б 4 Х х токолебания, область 2— колебательны й затухающий Рис. 157. процесс регулирования, область 3 — апериолический процесс регулирования. Уравнения кривых, служащих границами между названными областями, таковы; а) ху — 1=0, б) 2хв — 9ху+27=0, в) 4 (ха+у') — хвув — 18ху+ 27 = О. В заключение заметим, что общее качественное представление о возможности автоколебаннй в описанной системе регулятора и о необходимости в связи с этим применения катаракта можно было бы сделать на основании элементарного анализа с применением приемов, описанных в 9 14. Составим функциональную схему машины с регулятором, введя кроме вышеперечисленных еще одну величину †си Р; действующую на регулятор и обусловленную изменением скорости машины, т.
е. Г=й,— '"-. (б) 4. ов )сС ганвг»тонах синхсоид»льных колввлний 163 С введением этой величины схема может быть представлена рисунком 158. ,„~'~ Р Р .Ж. Рнс. 158. Прелположим теперь, что происходят колебания. Тогла, разумея лишь первые гармоники переменных составляющих всех обозначенных на схеме рнс. 158 величин, можем построить для них векторную диаграмму рис. 159. Начинаем с вектора и. Вектор М в противофазе, так как увеличение и вызывает уменьшение М (падающая характеристика зависимости М от и). Момент совпадает по фазе с уско- ~'У и 1 рением машины; значит, вектор ско- 1 рости Я отстает от Мна 90о. Рн В совпадают по фазе, что вытекает из 1Р» (5). Мы видим на диаграмме, что Р Рне.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
