Харкевич А.А. - Автоколебания (1107605), страница 28
Текст из файла (страница 28)
При исследовании сложных автоколебательных систем и для выяснения роли тех или иных звеньев этих систем полезен анализ фаз. Под этим понимается рассмотрение фазовых соотношений в замкнутой цепи из колебательной системы и обратной связи, основанное на том, что результирующий фазный сдвиг после обхода любой замкнутой цепи равен нулю. Такого рода анализ удобно иллюстрировзть построением в е к т о р н ы х диаграмм, аналогичных диаграммам теории переменных токов.
Автоколебательные системы делятся на почти гармонические и релаксационные. Для первых характерна почти синусовдальная форма автокблебанпй, для вторых— резко несинусоидальная и иногда разрывная. Имеется сущес~венное различие в колебательных системах: в почти гармонических системах имеется колебательный комплекс из двух элементов (например, индуктивность и емкость), обменивзюшихся энергией; в релаксационной системе имеется один накопитель энергии (например, емкость), то запасзющий энергию, то отдающий ее.
В соответствии с этим в релаксацнонной системе действие клапана характеризуется перепадом между двумя значениями энергии накопителя, при одном аз которых клапан открыт, а при другом — закрыт. Для релаксацноиных систем этого типа характерно также, что они работают в режиме заданной амплитуды, не зависящей от нагрузки, но определяемой величиной вышеупомянутого перепада. При наличии иа характеристике клапана кроме перепада еще и падающего участка возможен плавный переход 150 $ 27.
заключвнив релаксационных колебаний в почти гармонические при соответствующем постепенном изменении колебательной системы или режима. Колеба тельные или задающи е системы авто- колебательных систем могут быть следующих родов: один накопитель (релаксационная системз, вырожденный случай), колебательнзя система с одной степенью свободы, система с двумя или более колебательными степенями свободы (связанные системы), системы с распределенными постоянными. Назовем прямым возбуждением такой механизм поддержания колебаний, когда периодическая сила действует непосредственно на колебательную систему и совершает над ней работу. В отличие от этого возможно параметрическое возбуждение, состоящее в том, что сила периодически изменяет какой-либо параметр колебательной систе. мы, совершая при этом работу. Характерным внешним признаком параметрического возбуждения является то, что частота модуляции (изменения параметра) может не совпадать с частотой возбуждаемых колебаний.
В частности, легче всего параметрические колебания возбуждаются при отношении частот модуляции и колебаний, равном 2:1. В предыдущем содержится уже целый ряд элементов классификации автоколебательных систем, которая, однако, здесь не развивается. При практической работе с автоколебаниями приходится решать две основные задачи: как получить колебания требуемой частоты, мощности и формы, если они нужны, или как устранить автоколебания, если они вредны.
Основные рычаги упрзвлення — это фззовые соотношения и энергетический бзланс. ДОБАВЛЕНИЯ 1. Диаграммы работы и ортогональность функций Е=~ и(г) о(1) ссс, с, где и и о — две физические величины, выбранные так, что их произведение имеет смысл и размерность мощности (например, напряжение и ток; сила и скорость). Если ввести пс(г)=~ о(1) с(г, (2) то формула (1) может быть переписана в виде с, Е = ) и (1) с(ш (г). с, (3) Здесь уже произведение ипс имеет размерность работы (или энергии).
Например, и н пс могут означать силу и Мы пользовались диаграммами работы для наглядного графического пояснения энергетических соотношений. Аналитическое представление этих соотношений связано с одним общим свойством функций — с ортогональностью. Стало быть, диаграммы работы в принятой нами форме фигур Лиссажу могут служить геометрической интерпретацией свойства ортогональности. Взаимную связь всех этих понятий (ортогональность— энергетические соотношения †диаграм работы †фигу Лиссажу) мы постараемся здесь выяснить. 1. Энергия некоторого физического процесса может быть выражена интегралом 152 ДОБАВЛЕНИЯ т'= ~ и (г) и (г) г(1.
— с (5) Если обозначить у(1) = ) л (~) и (1) ЕК то значение интеграла (5) есть (6) l =/(с) — /( — с). (7) Важно отметить два частных случая: когда у(Е) четная функция, т. е. УФ=У( — ~) (8) смещение (напряжение и заряд). Если процесс периодический, то интегрирование от 1, до 1, + Т дает нам энергию за один период. 2. Если теперь выбрать и и тв за прямоугольные координаты и построить в них график процесса, исключив параметр 1, то мы получим фигуру Лиссажу, которая является диаграммой работы, т.
е. диаграммой, площадь которой позволяет непосредственно судитьо величине энергии, а направление обхода — о направлении движенияэнергии, т. е. о том, вкладывается энергия в систему или отбирается от нее. Если площадьфигуры равна нулю, то это означает равенство нулю энергии. При этом нужно напомнить, что плоШади замкнутого контура присваивается тот или иной знак в зависимости от направления обхода, так что, например, фигура в форме симметричной восьмерки имеет нулевую плоШадь. 3.
Определение ортогональностн гласит: две функции и(1) и п(1) ортогональны друг другу на промежутке (1м 1а), если Сс ') и(1)п(1) с(г'=О. (4) сю Сопоставляя это с (1), мы видим, что равенство нулю энергии, ортогональность функций и и и и равенство нулю плошади фигуры Лиссажу, представляющей нам диаграмму работы, — это лишь различные физические или математические аспекты одних и тех же соотношений. Напомним теперь некоторые простейшие зависимости. Рассмотрим интеграл с 1. днагалммы алвоты и оетогонлльнооть еянкций 153 и когда у(8) нечетная функция, т.
е. УИ) = — У( — 4. (9] В первом случае мы получим равенство нулю интеграла (5) на любом промежутке ( — с, с) в силу равенства (8). Во втором же случае, т. е. когда функция нечетна, мы получим равенство нулю интеграла только при условии (10) .г"(+- с) = О, откуда и можно найти значение с, при котором равенство удовлетворяется. Эти соображения могут быть применены и к более общему виду функции на том основании, что всякая функция может быть разложена на четную и нечетную части при помощи элементарных соотношений У(~) =Л (1)+Л (~) у,(г)= — (у(г)+у( — г)] (четная часть), 1 уа(г) = — (г (г) — у( — г)] (нечетная часть).
1 4. Рассмотрим в качестве примера ортогональность тригонометрических функций. Она выражается, как известно, соотношениями ~ гйп рх з!и !!х г!х = 0 (р+ и), (11) к Ыпрхсоз~ухг(х=О (прилюбыхриф, (12) где р и д — неотрицательные целые числа. Соотношения (1!) и (12) играют большую роль в теории рядов Фурье. Воспользовавшись обозначениями (2) и (3), перепишем (11) и (12) в виде ~ з!прхг((совах)=0 (р+д), (13) 154 дОБАВления з!Нрх Ф(з!и дх) = 0 или и ~ соз пх И (соз дх) = 0 (при любых р и д). (14) формулы (13) и (14) могут быть иллюстрированы при помощи фигур !!Нссажу.
Рассмотрим несколько примеров (рис. 155). а/а аа лл 3х д Рис. 155. а) и=з!п2х, та=а!Нх. Фигура имеет форму восьмерки, площадь которой равна нулю, так как две равные петли, из которыя состоит фигура, обегаются в противоположных направлениях. б) и=соз2х, а~=а!Нх. а) и=з!пЗх, тв=з!Их.
Оба вти случая отличаются тем, что контур вырождается в линию, пробегаемую за период в противоположных направлениях. Это означает ортогональность на любом промежутке. Выше указывалось, что такого рода ортогональность получается 2. Угавизння шимми 155 в том случае, когда >'(х) = 1и (х) и (х) а!х = ) и (х) йта(х) 2. Уравнения шимми Основное кинематическое соотношение, выражающее радиус кривизны траектории колеса через деформации пневматика, пишется в виде — = — = аЛ вЂ” 'рср, аз 1 (1) где г — пробегаемый колесом путь, 0 — угол поворота стойки, те †ради кривизны, 1 †боков смещение, р †уг закручивания.
А. При отсутствии выносз моменты равны нулю и деформации закручивания нет. В этом случае имеем из (1) и ае — = кЛ. (2) Если добавить очевидное соотношение а! гд э (3) есть четная функция. Мы имеем, например, для рис. 155 у(х) = ~ соз 2хг! (з!п х) = соз х — — соз'х, 2 3 т. е. вышеуказанное условие выполнено. г) и=созЗх, та=а!пх. Фигура состоит из трех петель. Внутренняя петли обходится по часовой стрелке; площадь ее положительна. Две крайние петли обходятся против чзсовой стрелки. Результирующая площадь всей фигуры равна нулю. д) и=зш Зх, та=а!п 2х. е) и=созЗх, тв=з!п2х. Обе фигуры состоят из двух взаимно пересекающихся петель.
Они совершенно сходны, однако разница заключается, во-первых, в положениях точек, отвечающих значению х=О (на рис. !55 эта точка везде отмечена кружком), а во-вторых, в направлении обхода. Результирующие площади обеих фигур равны, конечно, нулю. 156 ДОБАВЛЕНИЯ то получаем систему уравнений кинематического шимми. Исключая из системы (2) и (3) деформацию ),, получаем для угла 6 уравнение второго порядка а — а+а5=0.
(4) Величина а характеризует длину волны выписываемой колесом синусоиды. Б. При наличии выноса положение усложняется. Мы получаем систему уравнений; л(а+ т) (5) аа — +~ — = — (5+~) (6) атА+ др = О. (7) — ~=а'л — ~у. д(В+ р) аа "„— '= — (8+~), а1а да у ~ з+л л,=аг (5) (8) (9) Уравнение (8) получается из (6), если положить вынос ~= О. В уравнении (9) производные по времени т можно заменить производными по пути г на том основании, что Уравнение (5) отличается от (2) тем, что, во-первых, кривизна выражается через производную по пути уже не угла поворота стойки, а суммарного угла, учитывающего закручивание колеса; во-вторых, в правой части имеются оба члена соотношения (1).
Уравнение (6) отличается от (3) тем, что боковое смещение колеса уже не )ь а ),+Е0; в правой части стоит также суммарный угол. Наконец, уравнение (7) есть уравнение моментов. При 1=0 оно дает просто у=О. В. Переход к динамическому шимми состоит в том, что мы добавляем в уравнение моментов член, выражающий момент сил инерции, а также момент демпфера, если демпфер имеется.
Мы получаем следующую систему: 2. травнения шимми 157 где о — скорость самолета. Сделав вту замену, получим вместо (9) (10) Если исключить )г из системы (5), (8), (10), то получается — т+ р — т+ аег + —, + а6 = О, ог./ — + оЬ вЂ” — Ьр — О.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
