Шпаргалки (1106703), страница 18
Текст из файла (страница 18)
ОтображениеА : V × V → Р называется билинейной формой впр‒ве V, если для ∀ х, у, z ∈ V, α ∈ Р:1) А (х + у, z) = А (х, z) +А (у, г);2) А (αх, у) = α А (х, у);3) А (х, у + z) = А (х, у) + А (х, z);(1)4) А (х, αу) = αА (х, у).БФ симметричная, если А (х, у) = А (y, x), ∀ х, у ∈ V.Пусть А (х, у) ‒ симметричная БФ в пр‒ве V над полемР. Квадратичной формой называется отображениеА : V → Р, которое каждому вектору х ∈ V ставит всоответствие число А (х, x).
БФ А (х, у) ‒ полярнаяБФ к КФ А (х). Базис е = (е1, ..., en ) ‒ каноническийбазисом КФ А (х, x), если ее матрица в этом базиседиагональна: Ае = diag (λ1, ..., λn). В каноническомбазисе КФ А (х, x) имеет канонический видА (х, x) = λ1x12 + ...+ λn xn2, ∀( = ∑!+, (+ -+ (2)числа λ1, ..., λn ‒ ее канонические коэффициенты.Число ненулевых квадратов = рангу А (х, x).
КФА (х, x) называется положительно (отрицательно)определенной, если А (х, x) > 0 (А (х, x) < 0), ∀ x ≠ θ.Т1 (о паре КФ). Для ∀ пары КФ А (х, x) и B (х, x) ввещественном пр‒ве V, одна из которыхположи‒тельно определена, Ǝ общий базис, вкотором обе КФ имеют канонический вид.Док‒во. Пусть B (х, x) > 0 и B (х, y) ‒ БФ, полярная кКФ B (х, x).
В соответствии с Т(*) введем скалярноепроизведение (х, у) = А (х, у) ∀ х, у ∈ V. Тогда пр‒во V‒ евклидово и в нем согласно Т (**) Ǝ ОНБ е1, ..., en , вкотором КФ А (х, x) имеет канонический вид!!!(, ( = i; (+ ¦+ -+ , ; (+ -+ l = ; ¦+ (+D+, +, При этом в силу (***) для ∀( = ∑!+, (+ -+ℬ(, ( = (, ( =!; (+D+, +, ------------------------------------------------------------------*: Пусть V ‒ вещественное линейное пр‒во.Отобра‒жение А : V × V → ℝ есть скалярноепроизведение в пр‒ве V оно является БФ, полярнойк положи‒тельно определенной КФ.**: Для ∀ КФ в евклидовом пр‒ве Е существует ОНБ,в котором она имеет канонический вид.***: В евклидовом (унитарном) пр‒ве скалярноепроизведение векторов ( = ∑!+, (+ -+ , ) = ∑!+, )+ -+ ,заданных своими координатами в базисе е,вычисляется по правилу (, ) = ∑!+, (+ )+ е ‒ ОНБ46.
Положительно определенные квадратичныеформы. Критерий Сильвестра.Пусть V ‒ линейное пр‒во над полем Р. ОтображениеА : V × V → Р называется билинейной формой впр‒ве V, если для ∀ х, у, z ∈ V, α ∈ Р:1) А (х + у, z) = А (х, z) +А (у, г);2) А (αх, у) = α А (х, у);3) А (х, у + z) = А (х, у) + А (х, z);(1)4) А (х, αу) = αА (х, у).БФ симметричная, если А (х, у) = А (y, x), ∀ х, у ∈ V.Пусть А (х, у) ‒ симметричная БФ в пр‒ве V над полемР.
Квадратичной формой называется отображениеА : V → Р, которое каждому вектору х ∈ V ставит всоответствие число А (х, x). БФ А (х, у) ‒ полярнаяБФ к КФ А (х). Базис е = (е1, ..., en ) ‒ каноническийбазисом КФ А (х, x), если ее матрица в этом базиседиагональна: Ае = diag (λ1, ..., λn). В каноническомбазисе КФ А (х, x) имеет канонический видА (х, x) = λ1x12 + ...+ λn xn2, ∀( = ∑!+, (+ -+ (2)числа λ1, ..., λn ‒ ее канонические коэффициенты.Число ненулевых квадратов = рангу А (х, x). Число πположительных квадратов в (2) и число ν = r ‒ πназываются положительным и отрицательныминдексами инерции КФ А (х, x), их разность σ= π ‒ νназывается сигнатурой А (х, x).
КФ А (х, x)положи‒тельно (отрицательно) определенная,еслиА (х, x) > 0 (А (х, x) < 0), ∀ x ≠ θ. Такие формы ‒знакоопределенные. КФ, для которой Ǝ х и у :А (х, x) > 0, А (y, y) < 0, ‒ знакопеременная.Пр. Положительно определенной КФ в вещественномпр‒ве является скалярный квадрат в евклидовомпр‒ве, т.е.
отображение А : Е → ℝ, определенноеравенством А (х) = (х, х), ∀х ∈ Е , т.к. скалярноепроизведение (х, у) является симметричной БФ (см.аксиомы 1‒3 из (*)), а скалярный квадрат ‒положительно определенной КФ (см. аксиому 4).Т1. КФ А (х, x) положительно (отрицательно)определена ее положительный (отрицательный)индекс инерции совпадает с dim V.Док‒во. Для А (х, x) > 0. Пусть е ‒ каноническийбазис КФ А (х, x) и λ1, ..., λn ‒ ее каноническиекоэф‒ты.
Необх‒сть. Если А (х, x) > 0, ∀ x ≠ θ, то иА (ei , ei ) > 0, 2 = 1, b. Но А (ei ,ei ) = λi => всеканонические коэффициенты положительны и π = п.Дост‒сть. Если λi > 0, 2 = 1, b, то согласно (2)А (х, x) = ∑!+, ¦+ (+D > 0, ∀( = ∑!+, (+ -+ ≠ .Для док‒ва 2‒го утверждения рассмотреть КФ‒А (х, x): А (х, x) < 0 ‒А (х, x) > 0 ν = dim V. •С.
Определитель матрицы положительно определенной КФ положителен, т.к. если е ‒ каноническийбазис, то в ∀ базисе f : | Аf |= λ1· ...· λn ·| Q |2 >0 (т.к.матрицы КФ в базисах е и f = еQ связаны Аf = QТАе QТ2 (критерий Сильвестра). КФ А (х, x)положи‒тельно (отрицательно) определена угловые миноры ∆k , " = 1, b, ее матрицы в произвольном базисе положительны (чередуют знаки,начиная с отрицательного):∆k > 0, " = 1, b (∆k ∆k‒1 < 0, " = 1, b)Док‒во.
1) Необх‒сть. Пусть А (х, x) ‒ положительноопределенная КФ, Ае ‒ ее матрица в ∀ базисее = (е1, ..., en ). Рассмотрим подпространстваLk = ℒ (е1,..., ek), " = 1, b, и КФ А (х, x) на Lk.А (х, x) > 0, ∀х ∈ Lk , х ≠ θ => ее матрица Аk в базисее1,..., ek пр‒ва Lk имеет положительный определитель| Аk | (следствие). Но | Аk | = ∆k , " = 1, b, => ∆k > 0," = 1, b.
Дост‒сть вытекает из Т(**) и Т1.2) Для док‒ва 2‒го утверждения рассмотрим КФ‒А (х, x) с угловыми минорами δk . Отрицательнаяопределенность А (х, x) положительности формы‒А (х, x), т.е. условию δk > 0, " = 1, b, или (‒1)k ∆k > 0," = 1, b. Т.к.
∆0 = 1 > 0, то: ∆k ∆k ‒1 < 0, " = 1, b. •Из примера => скалярное произведение в евклидовомпр‒ве является БФ, полярной к положительноопределенной КФ, такими БФ исчерпываются всескалярные произведения в вещественном пр‒ве.Т3. Пусть V ‒ вещественное линейное пр‒во.Отображение А : V × V → ℝ есть скалярноепроизведение в пр‒ве V оно является БФ, полярнойк положительно определенной КФ.Док‒во. Необх‒сть в примере. Дост‒сть. ПустьА (х, x) ‒ БФ, полярная к положительно определеннойКФ. Тогда отображение А : V × V → ℝ, определенноеправилом: (х, у) = А (х, у) ∀ х, у ∈ V являетсяскалярным произведением, т.к. оно удовлетворяетвсем аксиомам (*) скалярного произведения.--------------------------------------------------------------*: Отображение ( , ) : V × V→ Р называетсяскалярным произведением, если оно удовлетворяетаксиомам: для ∀ х, у, z ∈ V и ∀ α ∈ Р1) (x, y) = ), (, (в вещественном случае без черты)2) (αx, y) = α(x, y)3) (x+y, z) = (x, z) + (y, z)4) (x, x) ≥ 0 для ∀ х ∈ V, (x, x) = 0 х = θ .**: (сигнатурное правило Якоби).
Пусть ∆k ‒ угловойминор k‒го порядка матрицы КФ А (х, x) ранга r и∆k ≠ 0, " = 1, . Тогда π = Р(∆0, ..., ∆k), ν = V(∆0, ..., ∆k)где Р(∆0, ..., ∆k) и V(∆0, ..., ∆k) ‒ число совпадений иперемен знаков в последовательности ∆0, ...,∆k .47. Общий вид скалярного произведения вконечномерном евклидовом и унитарном пр‒твах.Пусть V ‒ вещественное или комплексное линейноепр‒во. Отображение ( , ) : V × V→ Р называетсяскалярным произведением, если оно удовлетворяетаксиомам: для ∀ х, у, z ∈ V и ∀ α ∈ Р1) (x, y) = ), (, (в вещественном случае без черты)2) (αx, y) = α(x, y)3) (x+y, z) = (x, z) + (y, z)4) (x, x) ≥ 0 для ∀ х ∈ V, (x, x) = 0 х = θ .Вещественное линейное пр‒во со скалярнымпроизведением называется евклидовым пр‒вом E,комплексное ‒ унитарным V.Матрицей Грама системы векторов a1, ...,anевклидова (унитарного) пр‒ва называется матрица , ⋯ ! , ⋱⋮l Ah , … , ! = i ⋮ , ! ⋯ ! , ! Определитель матрицы Грама называетсяопределителем Грама.
Свойства матрицы Грама:1. Система векторов a1, ...,an евклидова (унитарного)пр‒ва линейно зависима det G(a1, ...,an) = 02. Матрица Грама системы векторов евклидова иунитарного пр‒ва самосопряженная: эрмитоваH(G = G) для унитарного пр‒ва, симметрическая(GТ = G) для евклидова.3.
Определитель Грама линейно независимой системывекторов в евклидовом (унитарном) пр‒ве >0Пусть a1, ..., an ‒ базис пространства и ( = ∑!+, (+ + ,) = ∑!], )] ] . Тогда скалярное произведениевекторов x и y имеет вид!!!!(, ) = c; (+ + , ; )] ] d = ; )] i;x] , + y(+ l =+, ], = ∗ h], +, где G = G(a1, ...,an) ‒ матрица Грама вида (1),X = (x1, ..., xn)T, Y = (y1, ..., yn)T.Формула (, ) = ∗ h задает общий видскалярного произведения в евклидовом и унитарномпр‒вах.48.
Гиперповерхность 2-го порядка в евклидовомпространстве. Приведенные уравнения.Пусть А (х, x) ‒ ненулевая квадратичная форма, g(х) ‒линейная форма, заданные в евклидовом пр‒ве Е, с ‒вещественная константа. Множество векторов х ∈ Е :А (х, x) + 2g(х) + с = 0 (1)называется гиперповерхностью 2‒го порядка вевкли‒довом пр‒ве Е (при dim Е = 2 это линия 2‒гопорядка). (1) ‒ общее уравнение гиперповерхности2‒го порядка.Пусть е = (е1, ..., en ) ‒ базис пр‒ва Е, А = (aij) ∈ ℝ!×! ‒матрица КФ А (х, x) в этом базисе, bi = g (еi), 2 = 1, b,‒ коэффициенты линейной формы и ( = ∑!+, (+ -+ . Изпредставления квадратичной и линейной форм в виде!!(, ( = ; +] (+ (] , +] = ]+ , s( = ; + (++,], !!(1) можно записать в виде; +] (+ (] + 2 ; + (+ + = 0 ,+,], +, +, +] = ]+ GTили, в компактной форме, при X = (x1, ..., xn) , b = (b1,TTTT..., bn) :X AX + 2b X + c = 0, A = A (3)Пусть е ‒ ОНБ пр‒ва Е и пусть в этом базисе уравнение гиперповерхности имеет вид (2).1.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
