Шпаргалки (1106703), страница 22
Текст из файла (страница 22)
Т1 дает экстремальные свойства КФ в евклидовом(унитар‒ном) пр‒ве: на единичной сфере КФ А (х, х)принимает экстремальные значения на тех векторах,которые являются собственными векторамисамосопряженного оператора H (Т: Для ∀ КФ А (х, x)в евклидовом пр‒ве Е Ǝ ! симметрический операторН ∈ ℒ(Е, Е) : А (х, x) = (Н x, х), ∀ х ∈ Е.).Т2. Если L ‒ линейная оболочка собственныхвекторов -+ , … , -+Ú 2 < ⋯ < 20 из (1)самосопряженного оператора А, то¦+ = max (, (, ¦+Ú = min (, ( G‖[‖, ,[∈‖[‖, ,[∈Док‒во ан‒но док‒ву Т1. •Т3 (Куранта‒Фишера). Для собственных значенийсамосопряженного оператора А справедливо¦0 = max min (, ( nÚ ‖[‖, ,[∈где максимум берется по всевозможным k‒мернымподпространствам Lk пр‒ва V.Док‒во. Пусть Lk ‒ произвольное k‒мерное подпространство и Wn‒k+1 ‒ линейная оболочка собственныхвекторов еk, …, еп из (1) оператора А.Т.к.
dim Lk + dim Wn‒k+1 = п+1, то Lk ∩ Wn‒k+1 ≠ {θ}.Пусть x0 ∈ Lk ∩ Wn‒k+1 и ‖(û ‖ = 1 => согласно (2)А (х0, х0) < λk =>min (û , (û ≤ ¦0 =>‖[‖, ,[∈maxmin (û , (û ≤ ¦0Ú ‖[‖, ,[∈Равенство в (3) достигается для Lk = ℒ(е1, …, еk). •Изложение от Тыртышникова.Для эрмитовой матрицы А ∈ ℂ!×! как функция отвекторов х ∈ ℂ! рассматривается отношение Рэлея( ∗ u(Ф ( = ∗ ,(≠0( (Л. В ∀ подпространстве L ⊂ ℂ! Ǝ векторы xmin (L) иxmax (L), принадлежащие L :Ф ($+! ≤ Ф ( ≤ Ф ($à[ , ∀( ∈ 3, ( ≠ 0Док‒во. Функция Ф ( непрерывна на единичнойсфере ‖(‖D = 1 конечномерного пр‒ва L.
По теоремеВейерштрасса, она принимает там наименьшее инаибольшее значение в каких‒то точках xmin и xmax.Они являются искомыми. •Т Куранта‒Фишера. Собственные значенияλ1 (А) > … > λn (А) эрмитовой матрицы А ∈ ℂ!×!связаны с отношением Рэлея Ф ( следующимобразом:¦0 u = maxmin Ф (= ,0 [∈,[ûmax Ф ( <min ,!µ0 [∈,[ûДок‒во. Пусть е1, …, еn ‒ ОНБ из собственныхвекторов матрицы А: Аei = λiei , 1 < i < п.Пусть Lk = ℒ(е1, …, еk) и ( = ∑0+, (+ -+ ∈ 30 , ( ≠ 0 =>¦ |( |D + ⋯ + ¦0 |(0 |DФ ( =≥ ¦0 ,|( |D + ⋯ + |( |D Ф -0 = ¦0 =>0min Ф ( = ¦0[∈Ú ,[ûРассмотрим подпространство Mk = ℒ(еk, …, еn)размерности п ‒ k + 1. Пусть ( = ∑!+,0 (+ -+ ∈ Â0 , ( ≠ 0¦0 |(0 |D + ⋯ + ¦! |(! |D=> Ф ( =≤ ¦0 ,|(0 |D + ⋯ + |(! |DФ -0 = ¦0 =>max Ф ( = ¦0[∈Ú ,[ûПусть L ‒ произвольное подпространство размерностиk.
Т.к. dim L + dim Mk = п+1, то Ǝ z ∈ L ∩ Mk , z ≠ θ. =>min Ф ( ≤ Ф ≤ max Ф ( = ¦0[∈,[û[∈Ú ,[û=> 1‒е из (4) доказано. Чтобы получить 2‒е, возьмем∀ подпр‒во L: dim L = п ‒ k + 1 => Ǝ z ∈ L ∩ Lk , z ≠ θ=> max Ф ( ≥ Ф ≥ min Ф ( = ¦0[∈,[û[∈Ú ,[û-------------------------------------------------------------------*(Вейерштрасса):Для ∀ вещественной функции f (х),непрерывной во всех точках компактного множестваS, Ǝ точки хmin , хmax ∈ S : f (хmin)< f (х)< f (хmax) для всехх∈S57.
Вариационные (экстремальные) свойствасингулярных чисел.Арифметические значения квадратных корней изсобственных значений матрицы А*А называютсясингулярными числами матрицы А.Т. Пусть А ∈ ℂ$×! имеет сингулярные числаσ1(A) ≥ …≥ σmin (m,n)(A). Тогда при всех 1 ≤ k ≤ min (m, n)‖u(‖D0 u = maxmin=‖(‖ ,0 [∈,[û‖u(‖D‖(‖DДок‒во. Заметим, что 0 u = U¦0 u∗ u. Очевидно=minDmax ,!µ0 [∈,[û‖u(‖D( ∗ u∗ u(=,‖(‖D( ∗((≠0=> все следует из вариационных свойств собственныхзначений эрмитовой матрицы А*А.
(см. ниже)•Для эрмитовой матрицы А ∈ ℂ!×! как функция отвекторов х ∈ ℂ! рассматривается отношение Рэлея( ∗ u(Ф ( = ∗ ,(≠0( (Л. В ∀ подпространстве L ⊂ ℂ! Ǝ векторы xmin (L) иxmax (L), принадлежащие L : Ф ($+! ≤ Ф ( ≤Ф ($à[ , ∀( ∈ 3, ( ≠ 0Док‒во. Функция Ф ( непрерывна на единичнойсфере ‖(‖D = 1 конечномерного пр‒ва L. По Т (*), онапринимает там наименьшее и наибольшее значение вкаких‒то точках xmin и xmax. Они искомые.
•Т Куранта‒Фишера. Собственные значения λ1 (А) >… > λn (А) эрмитовой матрицы А ∈ ℂ!×! связаны сотношением Рэлея Ф ( следующим образом:¦0 u = maxmin Ф (= ,0 [∈,[ûminmax Ф ( < ,!µ0 [∈,[ûДок‒во. Пусть е1, …, еn ‒ ОНБ из собственныхвекторов матрицы А: Аei = λiei , 1 < i < п.Пусть Lk = ℒ(е1, …, еk) и ( = ∑0+, (+ -+ ∈ 30 , ( ≠ 0 =>¦ |( |D + ⋯ + ¦0 |(0 |DФ ( =≥ ¦0 ,|( |D + ⋯ + |(0 |DФ -0 = ¦0 =>min Ф ( = ¦0[∈Ú ,[ûРассмотрим подпространство Mk = ℒ(еk, …, еn)размерности п ‒ k + 1.
Пусть ( = ∑!+,0 (+ -+ ∈ Â0 , ( ≠ 0¦0 |(0 |D + ⋯ + ¦! |(! |D=> Ф ( =≤ ¦0 ,|(0 |D + ⋯ + |(! |DФ -0 = ¦0 =>max Ф ( = ¦0[∈Ú ,[ûПусть L ‒ произвольное подпространство размерностиk. Т.к. dim L + dim Mk = п+1, то Ǝ z ∈ L ∩ Mk , z ≠ θ. =>max Ф ( = ¦0min Ф ( ≤ Ф ≤[∈,[û[∈Ú ,[û=> 1‒е из (4) доказано. Чтобы получить 2‒е, возьмем∀ подпр‒во L: dim L = п ‒ k + 1 => Ǝ z ∈ L ∩ Lk , z ≠ θ=> max Ф ( ≥ Ф ≥ min Ф ( = ¦0[∈,[û[∈Ú ,[û*(Вейерштрасса):Для ∀ вещественной функции f (х),непрерывной во всех точках компактного множестваS, Ǝ точки хmin , хmax ∈ S : f (хmin)< f (х)< f (хmax) для всехх∈S58.
Соотношения разделения собственныхзначений и сингулярных чисел матриц иподматриц.Эрмитова матрица А ∈ ℂ!×! описана в блочном видеÀ¾ ∈ ℂ!µ ×!µ , À ∈ ℂ!µ Au=½ ∗À !!=> подматрица В тоже эрмитова. Пусть µ1 ≥ … ≥ µn‒1 ‒ее собственные значение и Q ‒ унитарная матрицапорядка n ‒ 1, приводящая ее к диагональному видуÌ ∗À 0w => ± 0³ ½ ∗¾±³=∗ = v ⋱0 1 À !! 0 1Ì!µ Ì ä ä ⋱∗=Ì!µ ä!µ , v … w = À, ä! = ä! = !!ä!µ ä … ä!µ ä!Характеристический многочлен матрицы А:Ì − ¦ä ⋱ =detu − ¦ = Ì−¦ ä!µ =+, ä …!µ !µ ä!µ |ä |Dä! − ¦|ä!µ |D"Ì+ − ¦ !ä! − ¦ −−⋯−Ì − ¦Ì!µ − ¦=> если собственное значение λ матрицы А несовпадает ни с одним из собственных значений µ1 , …,µn‒1 подматрицы В, то оно удовлетворяет уравнению|ä |D|ä!µ |D¦ = #¦ ≡ ä! ++⋯+¦ − Ì ¦ − Ì!µ У.
Пусть эрмитова матрица А порядка п ссобствен‒ными значениями λ1 ≥ … ≥ λn имеетблочное разбие‒ние (1), в котором В ‒ ее эрмитоваподматрица порядка п ‒ 1 с собственнымизначениями µ1 ≥ … ≥ µn‒1. Тогда если µ1 > … > µn‒1 и si≠ 0, 1 ≤ i ≤ n ‒ 1, то имеют место соотношенияразделенияλ1 > µ1 > λ2 > µ2 > … > λn‒1 > µn‒1 > λn(2)Док‒во. Рассмотрим график функции у = F(λ) . F(λ) неопределено при λ = µk . Т.к. F(λ) → ∞ при λ → µk , F(λ)при λ = µk обращается в бесконечность. Изучимповедение F(λ) на каждом из п интерваловIn =(‒∞, µn‒1), In =(µn‒1, µn‒2), …, I2 =(µ2, µ1), I1 =(µ1, +∞).Пусть λ ∈ Ik , 2 ≤ k ≤ п ‒ 1 =>|ä0µ |D|ä0 |D+∞ при ¦ → Ì0 a+→_−∞ при ¦ → Ì0µ ¦ − Ì0 ¦ − Ì0µ а остальные слагаемые в F(λ) являются+∞ при ¦ → Ì0 aограниченными => #¦ → _−∞ при ¦ → Ì0µ Т.к.
F(λ) ‒ непрерывна, то прямая у = λ имеет приλ ∈ Ik точку пересечения с графиком функции у = F(λ).Случаи λ ∈ I1 и λ ∈ In рассматриваются ан‒но =>уравнение F(λ) = λ имеет п различных корней. Ниодин из них не совпадает ни с одним из чисел µk =>каждый из них является собственным значением А. •Т. Пусть эрмитова матрица А ∈ ℂ! × ! имеетсобственные значения λ1 ≥ … ≥ λn и ∈ ℂ!µ ×!µ ‒ее эрмитова подматрица в блочном разбиении вида(1), имеющая собственные значения µ1 ≥ … ≥ µn‒1 .Тогда имеют место соотношения разделенияλ1 ≥ µ1 ≥ λ2 ≥ µ2 ≥ … ≥ λn‒1 ≥ µn‒1 ≥ λnДок‒во. Пусть M ‒ подпространство векторовTх = [x1, ..., xn] , определяемое уравнением xn = 0. Пустьотображение V : ℂ! → ℂ!µ задается : V (x) = [x1, ..., xn‒1]=> если х ∈ М, то Ф ( = Ф$ Á (.Пусть 1 ≤ k ≤ п ‒ 1.
По Т Куранта‒ Фишера:¦0 = maxmin Ф ( ≥==≥ ,0 [∈,[ûmaxmin Ф ( = ,0, ⊂ [∈,[ûmaxmin Ф$ Á ( = ,0, ⊂ [∈,[ûmaxmin Ф$ ) = Ì0 ,0, ⊂ℂ%& \∈,\ûПусть теперь 2 ≤ k ≤ п . По Т Куранта‒ Фишера:¦0 =minmax Ф ( ===≤ ,!µ0 [∈,[ûminmax Ф ( = ,!µ0 , ⊂ [∈,[ûminmax Ф$ xÁ (y = ,!µ0 , ⊂ [∈,[ûminmax Ф ) ,!µ µ0µ , \∈,\û $⊂ℂ%&$×!$×!µ = Ì0µ ∎Т. Пусть А ∈ ℂиВ∈ℂ‒ подматрица,состоящая из первых п ‒ 1 столбцов матрицы А.Тогда для сингулярных чисел А и В имеют местосоотношения разделенияσ1(A) ≥ σ1(B) ≥ σ2(A) ≥ … ≥ σn‒1(B) ≥ σn(A)Док‒во. А имеет вид А =[B, v], где v ‒ ее последний∗ ∗ Á³∗столбец => u∗ u = ± ∗ ³ Á = ± ∗ÁÁ Á∗ÁИскомые неравенства получаются из соотношенийразделения для эрмитовой матрицы А*А порядка п иее ведущей подматрицы В*В порядка п ‒ 1.----------------------------------------------------------------*: Т Куранта‒Фишера.
Собственные значенияλ1 (А) > … > λn (А) эрмитовой матрицы А ∈ ℂ!×!связаны с отношением Рэлея Ф ( :¦0 u = maxmin Ф ( ==min ,0 [∈,[ûmax Ф ( , где Ф ( = ,!µ0 [∈,[û(≠0( ∗ u(,(∗ (.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
