Шпаргалки (1106703), страница 17
Текст из файла (страница 17)
КФ А (х, x) с Ае = (aij) имеет в этомбазисе вид (7). Пусть g (х1, ..., хn) = ∑!+,], +] (+ (] . Переход к базису f = еQ преобразованию координат : х е = Qxf , |Q| ≠ 0. Пусть Ае ≠ О, ∆k ‒ ее ,…,0угловые миноры k‒го порядка : ∆k = ,…,0, " = 1, b, и ∆0 = 1.I. (метод Лагранжа) Если ∆k ≠ 0, " = 1, b − 1, приведение кканоническому виду за из п ‒ 1 шагов.1‒й шаг : ∆1 ≠ 0, т.е. а11 ≠ 0. Соберем все члены КФ g (х1, ..., хn),содержа‒щие х1, и выделим полный квадрат: А (х, x) = g (х1, ..., хn) = ( D + 2 ∑!0,D 0 ( (0 + ∑!+,0,D +0 (+ (0 = ß( + ∑!0,D ß∑!0,DàÚà(0 áD+ ∑!+,0,D +0 (+ (0 Перейдем к : ( P = ( + ∑!0,DàÚààÚà(0 á −D(0 и (]P = (] при ` ≠ 1,выполнив при этом преобразование координат с матрицей D !… −1 −°̄ ¬ = ¬ 01…0¯¬¯…«00…1®=> КФА (х, x) в новых координатах : А (х, x) = ( PD + ℎ(DP, … , (!P , гдеТℎ(DP, … , (!P ‒ КФ от (DP, … , (!P => А1 = Q 1 Ае Q1 в новом базисе : 0 … 0PP0 DD… D!u = …PP0 !D… !!∀ строка (столбец) А1, начиная со 2‒й, получена из соответ‒щей строки(столбца) Ае вычитанием из нее 1‒й строки (столбца) Ае , умноженной нанекоторое число => угловые миноры А1 совпадают с ∆1, ..., ∆n => ∆1 = а 11,∆1 = а11 а'22 и а'22 = ∆2 / ∆1 ≠ 0(10)2‒й шаг : ∆2 ≠ 0, т.е.
а22 ≠ 0, применяются действия 1‒го шага к КФℎ(DP, … , (!P : выделяется полный квадрат среди членов, содержащих х2,выполняется невырожденное преобразование координат!PD0(DPP = (DP + ; P (0P и (]PP = (]P при ` ≠ 2DD0,´Pи КФ А (х, x) : А (х, x) = ( PPD + DD(DPPD + Á( ṔP, … , (!PP, где Á( ṔP, … , (!PP ‒ КФ от переменных ( ṔP, … , (!PP , а ее матрица ‒ к виду 00 … 00P0 … 0 °̄DD¬PPPPuD = ¬ 00´´… ´!¯…¬¯PPPP«0®0 !´… !!PPУгловые миноры А2 совпадают с ∆1, ..., ∆n => ´´ = ∆3 / ∆2 ≠ 0 (11)Повторяя процесс, за (n ‒ 1) шагов придем к базису, в котором матрицаКФ А (х, x) имеет форму: Аn‒1 = diag (λ1, ..., λn), где с учетом (10), (11) и ∆0= 1: λi = ∆i / ∆i ‒1 2 = 1, b(12)II. (Модификация метода Лагранжа) Пусть теперь среди ∆1, ..., ∆n‒1 встречаютсяся 0-е и после (i ‒ 1)‒го шага матрица КФ А (х, x): ²++ ⋯ +!⋱⋱⋮ wu+µ = , где ¥ = v ⋮+µ ,+µ !+ ⋯ !!²¥Пусть С ≠ О (С = О => канонический базис уже построен).1.
Если aii ≠ 0, то выполним i‒й шаг метода Лагранжа.2. Пусть aii = 0.а) Если среди диагональных элементов С Ǝ ajj ≠ 0, j > i, топерену‒меруем: х'i = хj, х'j = хi и х'k = хk при k ≠ i, j => в Аi‒1 поменяютсяместами строки (столбцы) с номерами i и j => в позиции (i, i ) окажетсяa'ii = ajj ≠ 0 => выполним i‒й шаг метода Лагранжа.б) Пусть все диагональные элементы =0 => в ней Ǝ ak j ≠ 0, k, j ≥ i, k ≠ i22=> в КФ от x1, ..., хп нет квадратов xi , ..., хп , но есть член вида 2akj xk xj .Перейдем к новым координатам: хk = х'k + х'j, xj = х'k ‒ х'j и х's = хs при22s ≠ k, j => КФ будет иметь квадраты х'k , х'j => переход к "а". •Т8.
Если в матрице КФ А (х, x) ранга r первые r угловых миноровотличны от 0: ∆k ≠ 0, " = 1, , то Ǝ базис е, в котором матрица КФимеет диагональный вид Ае = diag (λ1, ..., λr , 0,..., 0), гдеλk = ∆k / ∆k‒1 , " = 1, (формулы Якоби) (13)Док‒во. Для КФ А (х, x) выполнимы 1‒ые r шагов метода Лагранжа.После r‒го шага матрица Аr КФ :¦ ²⋱u = ¦²¥где, согласно (12), λk = ∆k / ∆k ‒1 " = 1, , а С ‒ некоторая матрица. Т.к.rg Аr = r и λk ≠ 0, " = 1, , то rg С = 0 и С = О => Аr имеет искомый вид. •43. Закон инерции квадратичных форм.Пусть V ‒ линейное пр‒во над полем Р.
ОтображениеА : V × V → Р называется билинейной формой впр‒ве V, если для ∀ х, у, z ∈ V, α ∈ Р:1) А (х + у, z) = А (х, z) +А (у, г);2) А (αх, у) = α А (х, у);3) А (х, у + z) = А (х, у) + А (х, z);(1)4) А (х, αу) = αА (х, у).БФ симметрична, если А (х, у) = А (y, x), ∀ х, у ∈ V.Пусть А (х, у) ‒ симметричная БФ в пространстве Vнад полем Р. Квадратичной формой называетсяотображение А : V → Р, которое каждому векторух ∈ V ставит в соответствие число А (х, x). БФ А (х, у)при этом называется полярной БФ к КФ А (х).
Базисе = (е1, ..., en ) называется каноническим базисом КФА (х, x), если ее матрица в этом базисе диагональна:Ае = diag (λ1, ..., λn). В каноническом базисе КФ А (х,x) имеет канонический видА (х, x) = λ1x12 + ...+ λn xn2, ∀( = ∑!+, (+ -+ (2)числа λ1, ..., λn ‒ ее канонические коэффициенты.Число ненулевых квадратов = рангу А (х, x). Число πположительных квадратов в (2) и число ν = r ‒ πназываются положительным и отрицательныминдексами инерции КФ А (х, x), их разность σ= π ‒ νназывается сигнатурой А (х, x).Т1 (закон инерции). Положительный иотрицательный индексы инерции вещественной КФне зависят от выбора канонического базиса.Док‒во. Пусть e и f ‒ канонические базисы КФА (х, x) ранга r и для ( = ∑!+, (+ -+ = ∑!+, )+ .+ :А (х, x) = a1 x12 + ...+ a p xp2 ‒ a p+1 x2p+1 ‒ …‒ ar xr2, (3)А (х, x) = b1 y12 + ...+ b q yq2 ‒ b q+1 y2q+1 ‒ …‒ br yr2,где ai , bi > 0, 2 = 1, .
Докажем, что р ≤ q. Пустьр > q. Рассмотрим подпространства L1= ℒ (е1,..., eр),L2 = ℒ (fq+1, ..., fn ). Согласно (*),dim L1 ∩ L2 = p ‒ (n ‒ q) ‒ dim (L1 + L2).Т.к. dim (L1 + L2) < п, р >q, то dim L1 ∩ L2 > 0 =>Ǝ х0 ∈ L1 ∩ L2, х0 ≠ θ. Пустьх0 = α1 e1+ … + αр ер = βq+1 f q+1+ … + βn f n => из (3)А(х0, х0)=a1 α12 +...+ a p αp2 = ‒ b q+1 β2q+1 ‒ …‒ br β r2 (4)Т.к. х0 ≠ θ, то a1 α12 + ...+ a p αp2 > 0,‒ b q+1 β2q+1 ‒ …‒ br β r2 < 0 . Это противоречит (4) =>р < q.
Ан‒но показывается, что q < р => р = q. •Пусть Р(∆0, ..., ∆k) и V(∆0, ..., ∆k) ‒ число совпадений иперемен знаков в последовательности ∆0, ...,∆k .Т2 (сигнатурное правило Якоби). Пусть ∆k ‒угловой минор k‒го порядка матрицы КФ А (х, x)ранга r и ∆k ≠ 0, " = 1, . Тогда π = Р(∆0, ..., ∆r),ν = V(∆0, ..., ∆r).Утверждение теоремы вытекает из формул Якоби (5)(**), т.к. λi > 0, если sgn ∆i = sgn ∆i ‒1 , и λi < 0, еслиsgn ∆i ≠ sgn ∆i ‒1 •*: Для ∀ линейных подпространств L1 и L2 линейногопр‒ва V: dim (L1+L2) = dim L1+dim L2 ‒ dim L1∩L2**: Если в матрице КФ А (х, x) ранга r 1‒е r угловыхминоров отличны от 0: ∆k ≠ 0, " = 1, , то Ǝ базис е,в котором матрица КФ имеет диагональный видАе=diag (λ1, ..., λr , 0,..., 0), где λk = ∆k / ∆k‒1 , " = 1, (5)44.
Привидение квадратичной формы к главнымосям.Пусть V ‒ линейное пр‒во над полем Р. ОтображениеА : V × V → Р называется билинейной формой впр‒ве V, если для ∀ х, у, z ∈ V, α ∈ Р:1) А (х + у, z) = А (х, z) +А (у, г);2) А (αх, у) = α А (х, у);3) А (х, у + z) = А (х, у) + А (х, z);(1)4) А (х, αу) = αА (х, у).БФ симметричная, если А (х, у) = А (y, x), ∀ х, у ∈ V.Пусть А (х, у) ‒ симметричная БФ в пр‒ве V над полемР. Квадратичной формой называется отображениеА : V → Р, которое каждому вектору х ∈ V ставит всоответствие число А (х, x).
БФ А (х, у) ‒ полярнаяБФ к КФ А (х). Базис е = (е1, ..., en ) ‒ каноническийбазисом КФ А (х, x), если ее матрица в этом базиседиагональна: Ае = diag (λ1, ..., λn). В каноническомбазисе КФ А (х, x) имеет канонический видА (х, x) = λ1x12 + ...+ λn xn2, ∀( = ∑!+, (+ -+ (2)числа λ1, ..., λn ‒ ее канонические коэффициенты.Число ненулевых квадратов = рангу А (х, x).Т1. Для ∀ КФ А (х, x) в евклидовом пр‒ве Е Ǝ !симметрический оператор Н ∈ ℒ(Е, Е):А (х, x) = (Н x, х), ∀ х ∈ Е. (3)Док‒во. Существование. Пусть е = (е1, ..., en) ‒ ОНБпр‒ва Е и Ае ‒ матрица КФ А (х, x) в этом базисе.
Всилу симметричности матрицы Ае иортонормир‒ованности базиса е Ǝ симметрическийоператорН ∈ ℒ(Е, Е), который в базисе е имеет матрицу Ае, такчто Hе = Ае => для ∀ ( = ∑!+, (+ -+ , координаты вектораН х находятся согласно (*): (Н х)e = He xe = Ае хе => вTсилу (**) (Н x, х) = хe Ае хе => с учетом записи КФ вTкомпактном виде (А (х, x) = хе Ае xе ) получаем (3).Единственность. Если Н1, Н2 ‒ симметрическиеоператоры удовлетворяют (3), то (Н1 x, х) = (Н2 x, х),∀ х ∈ Е => ((Н1 ‒ Н2) x, х) = 0, ∀ х ∈ Е. (4) => Н1 = Н2(Оператор Н1 ‒ Н2 симметричен, для него Ǝ ОНБ изсобственных векторов, а все собственные значения всилу (4) = 0) •Т2.
Для любой КФ в евклидовом пр‒ве Е существуетОНБ, в котором она имеет канонический вид.Док‒во. Пусть Н ‒ симметрический оператор, длякоторого А (х, x) = (Н x, х), ∀ х ∈ Е. Если е1, ..., en ‒ОНБ из собственных векторов Н, то для∀( = ∑!+, (+ -+ согласно (3) и (**):!!!(, ( = i; (+ ¦+ -+ , ; (+ -+ l = ; ¦+ (+D+, +, +, где λ1, ..., λn ‒ собственные значения оператора Н,отвечающие собственным векторам е1, ..., en. •Операция построения ОНБ, в котором КФ имеетканонический вид, называется приведениемквадратичной формы к главным осям. Из Т2 => ∀КФ приводится к главным осям.З.
При док‒ве Т2, попутно показано, чтоканоничес‒кий базис КФ А (х, x) совпадает с ОНБ изсобственных векторов соответствующегосимметрического оператора Н, а каноническиекоэффициенты ‒ с отвечающими им собственнымизначениями. Собственные значения оператора Н ‒ этокорни уравнения | Ае ‒ λ I| = 0, которые не зависят отН и инвариантно связаны только с самой КФ. Т.о.,при приведении КФ к главным осям каноническиекоэффициенты определены однозначно. Этопозволяет находить канонический вид КФ безвычисления канонического базиса.----------------------------------------------------------------*: Если у = А х , то ) = u (**: В евклидовом (унитарном) пр‒ве скалярноепроизведение векторов ( = ∑!+, (+ -+ , ) = ∑!+, )+ -+ ,заданных своими координатами в базисе е,вычисляется по правилу (, ) = ∑!+, (+ )+ е ‒ ОНБ45. Одновременное привидение к каноническомувиду пары квадратичных форм.Пусть V ‒ линейное пр‒во над полем Р.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
