Шпаргалки (1106703), страница 20

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 20)

•Посл‒сть векторов {( 0 } в нормированном пр‒ве Vназывается сходящейся по норме к вектору а ∈ V,если lim0→ñ ÷( 0 − ÷ = 0, вектор a ‒ предел посл‒сти{( 0 } по норме || • ||: lim0→ñ ( 0 = У2. Сходящаяся по норме последовательность имеетединственный предел. Док‒во из аксиомы треугольника:‖ − ‖ = ÷ − ( 0 + ( 0 − ÷ ≤ ÷( 0 − ÷ +÷( 0 − ÷, где а и b ‒ 2 предела ( 0 . •Пусть х0 ∈ V и r > 0. S (х0, r) = {х ∈ V | ‖( − (û ‖ = Ž} ‒сфера радиуса r с центром х0 по норме || • ||, множествоВ (х0, r) = {х ∈ V | ‖( − (û ‖ ≤ Ž} ‒ замкнутый шаррадиуса r с центром х0 по норме || • ||. Сферы и шары поевклидовой норме : SE (х0, r), ВE (х0, r).У3. Из ∀ посл‒сти векторов ( 0 ∈ ВE (х0, r) (или SE (х0, r))можно выделить подпоследовательность, сходящуюся понорме ||∙||ö к вектору а ∈ ВE (х0, r) (SE (х0, r)).Док‒во.

Пусть х0 = θ => сфера SE (r) = {х ∈ V | ‖(‖ö = Ž}.0Пусть е1, ..., en ‒ ОНБ пр‒ва V и ( 0 = ∑!+, (+ -+ ∈ ãö Ž!0=> ÷( 0 ÷ö = øi;ù(+ ù l = ŽD+,=> ограниченность координат векторов ( 0 посл‒сти. Потеореме Больцано‒Вейерштрасса из этой посл‒сти можновыделить сходящуюся (покоординатно) подпосл‒сть0 0 {( 0O}. Пусть ( 0O имеет координаты ( O , … , (! O ,сходящиеся соответственно к а1, ...,ап и = ∑!+, + -+ =>!÷( 0O − ÷ö = øi;ù(+0O − + ù l → 0D+,=> {( 0O}→ a по евклидовой норме.Покажем, что а ∈ SE (r). В |‖(‖ − ‖)‖| ≤ ‖(‖ − ‖)‖положим ( = ( 0O , y = a =>ü÷( 0O ÷ö − ‖‖ö ü ≤ ÷( 0O − ÷ö => ÷( 0O ÷ö −−÷( 0O − ÷ ≤ ‖‖ö ≤ ÷( 0O ÷ + ÷( 0O − ÷öööили, т.к.

÷( 0O − ÷ö → 0:÷( 0O ÷ö − ý ≤ ‖‖ö ≤ ÷( 0O ÷ö + ý, ∀ ý > 0если т достаточно велико => ‖‖ö = Ž и а ∈ SE (r). •2 нормы ||∙|| и ||∙||D в линейном пр‒ве V называютсяэквивалентными, если Ǝ такие числа с1 > 0, с2 > 0, чтодля ∀ х ∈ V : ‖(‖ ≤  ‖(‖D , ‖(‖D ≤ D ‖(‖Т. В конечномерном пр‒ве ∀ 2 нормы эквивалентны.Док‒во. Выберем в V ∀ базис е = (е1, ..., en) и введемскалярное произведение (, ) = ∑!+, (+ )+ => V ‒евкли‒дово и в нем можно рассматривать евклидовунорму (1).

Т.к. е ‒ ОНБ, то‖(‖ö = |(| = U|( |D + ⋯ + |(! |D. Пока‒жем, что ∀ || • || вV эквивалентна евклидовой норме ||(||ö1. Докажем: Ǝ с1 > 0 : для ∀ х ∈ V ‖(‖ ≤  ‖(‖ö (2)Пусть х ∈ V и ( = ∑!+, (+ -+ . Тогда ‖(‖ ≤ ∑!+,|(+ |‖-+ ‖ и2из неравенства Коши‒Буняковского ( |(х, у)| ≤ (х, x) (y, y) )!!‖(‖ ≤ i;|(+ |D ;‖-+ ‖D l+,+,!⁄Dгде  = i;‖-+ ‖D l+,=  ‖(‖ö ,⁄D>02. Докажем: Ǝ с2 > 0 : для ∀ х ∈ V ‖(‖ö ≤ D ‖(‖ (3)а) Пусть мн‒во координат всех векторов сферы S ={х ∈ V |‖(‖ = 1} не ограничено => для ∀ т ∈ ℕ Ǝ ( $ :÷( $ ÷ = 1 и ù(0$ ù > Q для некоторого k ∈ {1, …, n}!=> ÷( $ ÷ö = i;ù(++,ù l$ D⁄D≥ ù(0 ù > Q$<Рассмотрим посл‒сть ) $ = ( $ /÷( $ ÷öÅ÷) $ ÷ö = 1 => ) $ ∈ SE (1).

По У3 из {) $ } выделитьподпосл‒сть {) $¼ }, сходящуюся по || • ||E к а ∈ SE (1), т.е.Ýú) x$¼y − ú → 0 È ‖‖ö = 1öИз (6) с учетом (2) => ú) x$¼y − ú → 0Ô=> {) $¼ } сходится к вектору a по норме || • ||.С другой стороны, в силу (5), (4) с учетом ú( x$¼y ú = 1 :ú) x$¼y ú = ú( x$¼ y ú / ú( x$¼ y ú < 1/Q] => ú) x$¼y ú → 0.öОтсюда и из (8) в силу единственности предела => а = θ,что противоречит (7). Т.о., Ǝ М : для ∀ ( = ∑!+, (+ -+ ∈ ãвыполняется неравенство |(+ | ≤ Â, 2 = 1, bÕб) Пусть ( = ∑!+, (+ -+ ‒ ∀ вектор пр‒ва V, тогда вектор|[þ |[∈ ã и для его координат выполняется (9) => ‖[‖ ≤ Â,‖[‖|(+ | ≤ Â‖(‖, 2 = 1, b и ‖(‖ö == U|( |D + ⋯ + |(! |D ≤≤ Â√b‖(‖ = D ‖(‖ , где D = Â√b > 0. •Сл.

В конечномерном пр‒ве из сходимости по однойнорме следует сходимость по ∀ другой норме, т.к.÷( 0 − ÷ ≤  ÷( 0 − ÷D52. Задача о наилучшем приближении вконечномерном нормированном пространстве.V ‒ линейное пр‒во, вещественное или комплексное.Норма в V ‒ отображение || • || : V→ ℝ, ставящее всоответствие ∀ вектору х ∈ V число ‖(‖ ∈ ℝ иудовлетворяющее аксиомам: ∀ х, у ∈ V и ∀ α ∈ ℝℂ1) ‖(‖ ≥ 0, ‖(‖ = 0 х =θ 2) ‖(‖ = ||‖(‖;3) ‖( + )‖ ≤ ‖(‖ + ‖)‖ (неравенство треугольника).Мн‒во М называется метрическим пр‒вом, если за-дано отображение ρ : M × M→ ℝ, которое каждойупорядоченной паре элементов х, у ∈ М ставит в соответствие число ρ(х, у) ∈ ℝ :1) ρ(х, у) ≥ 0, ∀ х, у ∈ М;ρ(х, у) = 0 х = у;2) ρ(х, у) = ρ(y, x), ∀ х, у ∈ М3) ρ(х, z) ≤ ρ(х, у) + ρ(y, z) ∀ х, у ∈ М.Посл‒сть векторов {( 0 } в нормированном пр‒ве Vназывается сходящейся по норме к вектору а ∈ V,если lim0→ñ ÷( 0 − ÷ = 0, вектор a ‒ предел {( 0 }по норме || • || : lim0→ñ ( 0 = или ( 0 → .Пусть х0 ∈ V и r > 0.

S (х0, r) = {х ∈ V | ‖( − (û ‖ = Ž}‒ сфера радиуса r с центром х0 по норме || • ||,В (х0, r) = {х ∈ V | ‖( − (û ‖ ≤ Ž} ‒ замкнутый шаррадиуса r с центром х0 по норме || • ||Мн‒во S ограниченно, если оно целиком содержится внекотором шаре. Мн‒во S замкнуто, если оносодер‒жит все свои предельные точки. Мн‒во Sкомпактно, если из ∀ посл‒сти точек ( 0 ∈ S можновыделить подпоследовательность, сходящуюся кнекоторой точке х ∈ S. Компактное множествообязано быть замкнутым. Обратное не верно:метрическое пр‒во М всегда является замкнутыммножеством, но может и не быть компактным.

∀компактное множество S является ограниченным(подпоследовательность неограниченной послед‒стине может быть сходящейся, т.к. не может бытьограниченной).Вещественная функция f (x), определенная для точекх метрического пр‒ва М, называется непрерывной в х∈ М, если для ∀ {( 0 } → (, посл‒сть f (( 0 )→ f (х).Т (Вейерштрасса). Для ∀ вещественной f (х),непре‒рывной во всех точках компактногомножества S,Ǝ точки хmin , хmax ∈ S : f (хmin)< f (х)< f (хmax) для ∀ х ∈ SДок‒во. Пусть f (( 0 ) > k для некоторой {( 0 } ∈ S =>если ( 0þ → (, то т.к. f (х) непрерывна, f (( 0þ ) → f (х), ноf (( 0þ ) не может сходиться, т.к.

не ограниченна =>противоречие => f (х) ограничена сверху. Пусть сmax ‒ТВГ { f (х), х ∈ S } => для ∀ k Ǝ точка ( 0 ∈ S :сmax ‒ 1/k ≤ f (( 0 ) ≤ сmax . Выберем сходящуюсяподпоследовательность ( 0þ → ( и перейдем впоследних неравенствах к пределу => f (х) = сmax .Ограниченность снизу и существование точкиминимума доказывается переходом к g(x) = ‒ f (х). •Л1. Для произвольной нормы || • || в пр‒ве ℂ! функция.( = ‖(‖ непрерывна относительно 2‒нормы .Док‒во.

Пусть ( 0 = ‘(0 , … , (!0 ’ → ( = ‘( , … , (! ’.Используя неравенство треугольника для норм:|.( 0 − .(| = |‖( 0 ‖ − ‖(‖| ≤ ‖( 0 − (‖ ≤≤ ;ô+ô!ù(+0− (+ ù ‖-+ ‖где еi = [0, …, 1, …, 0] . Правая часть → 0 при ( 0 → (T‖( 0− (‖ =!i;ù(+0+,− (+ ù lD⁄D→0 ∎Пусть х ∈ V и L ‒ непустое множество векторов из V.Расстояние между х и L ‒ величина8 = inf ‖( − Œ‖Вектор z0 ∈ L называется элементом наилучшегоприближения для х на L, если 8 = ‖( − Œû ‖.Л2 (о наилучшем приближении).

Пусть Lконечномерное подпространство в нормированномпр‒ве V. Тогда для ∀ х ∈ V Ǝ вектор z0 ∈ L :‖( − Œû ‖ ≤ ‖( − Œ‖ ∀z ∈ L .Док‒во. Фиксируем ε > 0 и рассмотрим ∀z такой, что‖( − Œ‖ ≤ 8 + ý => ‖Œ‖ ≤  ≡ 8 + ý + ‖(‖ =>8 = inf∈, ‖‖ô ‖( − Œ‖. По Л1 .( = ‖( − Œ‖непрерывна на замкнутом шаре ‖Œ‖ ≤ конечномерного пр‒ва L. По теореме Вейерштрасса,8 = ‖( − Œû ‖ для некоторого z0 ∈ L (). •∈53.

ЛО в нормированных пр‒вах. Непрерывность иограниченность. Норма ЛО.Пусть V и W ‒ линейные пр‒ва над общим полем Р.Отображение A: V→W называется ЛО,действующим из пр‒ва V в пр‒во W, если для ∀ х, у ∈V, α ∈ Р : 1) A (x +y) = A x + A y 2) А (αх) = αА х .Норма в V ‒ отображение || • || : V→ ℝ, ставящее всоответствие ∀ вектору х ∈ V число ‖(‖ ∈ ℝ иудовлетворяющее аксиомам: ∀ х, у ∈ V и ∀ α ∈ ℝℂ1) ‖(‖ ≥ 0, ‖(‖ = 0 х =θ 2) ‖(‖ = ||‖(‖;3) ‖( + )‖ ≤ ‖(‖ + ‖)‖ (неравенство треугольника).V и W ‒ линейные нормированные пр‒ва (оба вещественные или комплексные).

Норма ЛО в пр‒веℒ (V, W) согласованна с векторными нормами‖ ∙ ‖ , ‖ ∙ ‖ пр‒ств V и W, если для ∀ А ∈ ℒ (V, W ):‖œ(‖ ≤ ‖œ‖ ∙ ‖(‖ , ∀( ∈ Т1. Собственное значение ЛО А ∈ ℒ (V, W ) непревосходит по модулю ∀ его согласованную норму.Док‒во. А х = λх => для ∀ согласованной нормы:‖œ(‖ = |¦| ∙ ‖(‖ и ‖œ(‖ ≤ ‖œ‖ ∙ ‖(‖ => |¦| ≤ ‖œ‖ •ЛО А ∈ ℒ (V, W ) непрерывен в точкех ∈ V, если для∀ {хk} ∈ V : хk → x при k → ∞, послед‒сть образовА хk → А х: ‖(0 − (‖ → 0 => ‖œ(0 − œ(‖ → 0Оператор называется непрерывным на V, если оннепрерывен при ∀ х ∈ V.

Оператор называетсяограни‒ченным, если единичную сферу в V онпереводит в ограниченное по норме пр‒ва Wмножество, т.е. если Ǝc >0 : для ∀ х ∈ V ( ‖(‖ = 1)выполняется ‖œ(‖ ≤ , или, если Ǝ с > 0 : ‖œ(‖ ≤‖(‖ ∀х ∈ V.Т2. В конечномерных нормированных пр‒вах V и W∀ ЛО А ∈ ℒ (V, W ) ограничен.Док‒во. Пусть е1, … ,еn ‒ базис пр‒ва V и ( = ∑!+, (+ -+=> согласно аксиомам нормы и неравенствуКоши‒Буняковского ( |(х, у)|2 ≤ (х, x) (y, y) )!≤!‖œ(‖ ≤ ;|(+ | ∙ ‖œ-+ ‖ ≤i;‖œ-+ ‖D l+,+,⁄D!i;|(++,!⁄D|D lD lгде  = i;‖œ-+ ‖+,= Â‖(‖ö ,⁄DТ.к. в конечномерном пр‒ве ∀ 2 нормы эквивалентны,то Ǝ с2 > 0 : для ∀ х ∈ V: ‖(‖ö ≤ D ‖(‖ =>‖œ(‖ ≤ ‖(‖ , где с = Мс2 > 0.

•Т3. Для непрерывности ЛО необходима и достаточнаего ограниченность.Док‒во. Дост‒сть из неравенства‖œ(0 − œ(‖ = ‖œ(0 − (‖ ≤ ‖(0 − (‖ .Необх‒сть. Пусть множество значений нормы ‖œ(‖на единичной сфере S = {x: ‖(‖ = 1} не ограничено=> Ǝ {хk} ∈ S : ‖œ(0 ‖ → ∞. Пусть )0 = (0 /‖œ(0 ‖=> ‖)0 ‖ = 1⁄‖œ(0 ‖ → 0 => ‖œ)0 ‖ → 0. Этоневозможно, т.к.

‖œ)0 ‖ = 1 для ∀ k => Ǝ с > 0 :‖œ(‖ ≤ ∀( ∈ ã => ‖œ(‖ ≤ ‖(‖ ∀( ∈ ã ∎Пусть V, W ‒ конечномерные пр‒ва и А ∈ ℒ (V, W ) .Из Т2 => ограниченность А => Ǝ с > 0 : ‖œ(‖ ≤≤ ‖(‖ ∀( ∈ ‖œ(‖ /‖(‖ ≤ ∀( ≠ =>‖œ[‖числовое a ‖[‖ ü ∀( ≠ ограничено сверху => для‖œ(‖A‖(‖Т4. Отображение µ(А ) ‒ норма в пр‒ве ℒ (V, W ) .Док‒во. µ(А) ≥ 0 для ∀А ∈ ℒ (V, W ), и равенствоµ(А) = 0 означает: ‖œ(‖ = 0 ∀( ∈ , т.е.

А х = θ,или А = O. Аксиомы 2 и 3 вытекают из свойств ТВГ. •Норма µ(А ) называется нормой оператора А,подчиненной векторным нормам пространств V и W:‖œ(‖‖œ‖ = sup= sup ‖œ(‖‖(‖него Ǝ ТВГ. Положим̜ = sup[[‖[‖ ,Свойства подчиненной нормы.1. Согласованность: ‖œ(‖ ≤ ‖œ‖ ∙ ‖(‖ ∀( ∈ ,т.к., согласно (1), ‖œ(‖ /‖(‖ ≤ ̜ = ‖œ‖2. Она ‒ наименьшая из всех согласованных норм.3. Мультипликативность, т.е. ‖œℬ‖ ≤ ‖œ‖ ∙ ‖ℬ‖, т.к.‖œℬ‖ = sup ‖œℬ(‖ ≤ sup ‖œ‖ ∙ ‖ℬ(‖ =‖[‖,‖[‖,= ‖œ‖ sup ‖ℬ(‖ = ‖œ‖ ∙ ‖ℬ‖‖[‖,Пусть V, W ‒ евклидовы (унитарные) пр‒ва.

Характеристики

Список файлов ответов (шпаргалок)