Шпаргалки (1106703), страница 15
Текст из файла (страница 15)
Для ∀ ортогонального оператора Q в евклидовомпр‒ве Ǝ ОНБ е, в котором его матрица имеетквазидиагональную форму с клетками вида (4) и (6) наглавной диагонали.Док‒во. Индукция по размерности п пр‒ва V. Для п = 1, 2Т1 вытекает из (4), (6), (7). Пусть п ≥ 3 и Т1 верна дляортогональных операторов в пр‒вах dim = k < (п ‒ 1).Докажем Т1 для dim = п. По Т(У всякого ЛО в вещественном пр‒ве Ǝ 1‒мерное или 2‒мерное инвариантноеподпространство) для оператора Q Ǝ 1‒мерное либо2‒мерное инвариантное подпространство L. Если dim L =1, то Q |L ‒ ортогональный оператор (ортогональныйоператор на ∀ инвариантном подпространствеиндуцирует ортогональный оператор, т.к.
сохраняетскалярное произведение) в 1‒мерном пр‒ве и в ОНБ e1пр‒ва L его матрица имеет вид (4). Если же dim L = 2, то Q|L ‒ ортогональный оператор в 2‒мерном пр‒ве и в ОНБ e1,e2 пр‒ва L его матрица имеет вид (6) или (7). По Т(Еслиподпространство L инвариантно отн‒но ортогональногооператора Q, то его ортогональное дополнение 3} такжеинвариантно относительно Q ) ортогональноедопол‒нение 3} инвариантно отн‒но оператора Q .
Поиндуктив‒ному предположению в пр‒ве 3} Ǝ ОНБ е2, ...,еn(или е3,...,еn ), в котором матрица оператора Q |3} имееттребуемый вид. Тогда в базисе e1, …, еп матрица оператораQ также будет иметь требуемый вид. •После перестановки векторов построенного базиса матрица ортогонального оператора Q будет иметь ви䬬¬¬ = ¬¬¬¬¬«1⋱1−1²²°̄¯¯¯¯− sin φ ¯cos φ ¯⋱¯cos φ0 − sin φ0 ¯sin φ0cos φ0 ®⋱−1cos φ sin φ ÔМатрица (8) ‒ каноническая формай матрицы ортогонального оператора.
Простое вращение ‒ оператор вевклидовом пр‒ве, имеющий в некотором ОНБ матрицу: ବ¬¬¬¬¬«1⋱1cos φ sin φ ²− sin φ cos φ 1⋱²1°̄¯¯¯¯¯¯®ÕПростое отражение ‒ оператор в евклидовом пр‒ве,который в некотором ОНБ имеет матрицу вида1²°̄⋱¬1¬¯−1¬¯ AÖ1¬¯¬⋱ ¯«²1®Из определения => простое вращение и простое отражение‒ ортогональные операторы, т.к. их матрицы (9) и (10) вОНБ ортогональны. Простое вращение ‒ это поворот внекоторой 2‒мерной плоскости, оставляет неизменным(п ‒ 2)‒мерное подпространство, ортогональное этойплоскости.
Простое отражение меняет направление всехвекторов некоторого 1-мерного подпространства и неизменяет его (п ‒ 1)‒мерное ортогональное дополнение.Т2. Всякий ортогональный оператор можно представитькак произведение некоторого числа простых вращений ипростых отражений.=> из того, что матрицу вида (8) можно представить в видепроизведения некоторого числа матриц вида (9), (10). •39. Знакоопределенные операторы и матрицы.Квадратный корень из оператора.Т1. Если в унитарном пр‒ве V для ∀ х выполняетсяравенство (х, В х) = 0, то В = О.Док‒во.
Для ∀ у, z ∈ V имеем (В (у + z), у + z) = 0 и(В (iу + z), iу + z) = 0, т.е. (В у, у) + (В z, у) + (В у, z) ++ (В z, z) = 0, (В у, у) ‒ i(В z, у) + i(В у, z) + (В z, z)= 0или, с учетом условия теоремы, (В z, у) + (В у, z) = 0,‒ i(В z, у) + i(В у, z) = 0. Прибавим к 1‒му равенству2‒е, умноженное на i : (В у, z) = 0 ∀ у, z ∈ V => В = О(Т (Если А, В ‒ ЛО из ℒ(V, W) и (А х, у) = (В х, у), ∀х ∈V, у ∈ W, то А = В)).
•ЛО А, действующий в унитарном (евклидовом) пр‒ве,называется самосопряженным, если А = А*. Самосопряженный оператор в унитарном пр‒ве ‒ эрмитовТ2. ЛО А в унитарном пр‒ве V эрмитов (A x, x) ∈ ℝ, ∀( ∈ (1)Док‒во. Необх‒сть. Если А ‒ эрмитов оператор, то(А х, х) = (х, А*х) = (х, А х), ∀( ∈ =>(, ( = (, ( и (A x, x) ∈ ℝ, ∀( ∈ .Дост‒сть. Пусть (A x, x) ∈ ℝ => (А х, х) = (х, А х) и(А х, х) = (х, А*х) => (х, (А ‒ А*) х) = 0 ∀( ∈ =>по Т1 А = А*.
•Самосопряженный оператор в унитарном(евкли‒довом) пр‒ве называется положительноопределенным, если (A x, x) > 0 ∀ х ≠ θ,неотрицательно определенным (отрицательноопределенным или неположительно определенным),если (A x, x) ≥ 0∀ х ≠ θ (соответственно (A x, x) < 0 или (A x, x) ≤ 0):A >О , A ≥О, A <О, A ≤О .Т3. Самосопряженный оператор А в унитарном (иевклидовом) пр‒ве положительно определен (A ≥О,A <О, A ≤О ) все его собственные значения λ > 0(λ ≥ 0, λ < 0, λ ≤ 0).Док‒во. (для A >О). Необх‒сть.
Если A >О, то(A x, x) > 0 ∀ х ≠ θ => это верно и для собственноговектора х => (A x, x) = (λх, х) = λ(х, х) > 0, где(х, х) > 0 => λ > 0.Дост‒сть. Если А ‒ самосопряженный, то Ǝ ОНБ изсобственных векторов е1 , … , еn оператора А. Приэтом соответствующие собственные значения λi > 0,i = 1, b =>для ∀( = ∑!+, (+ -+ ≠ имеем!!!(, ( = i; (+ ¦+ -+ , ; (+ -+ l = ; ¦+ |(+ |D > 0 •+, +, +, С. Если A >О (или A <О ), то А обратим, так какdet А = λ1·…· λn.Т4.
Оператор, обратный к положительно(отрицательно) определенному оператору,положительно (отрицательно) определен.Док‒во. Если А ‒ самосопряженный оп‒р, то А ‒1 ‒тоже самосопряженный оп‒р, т.к. согласно свойствамсопряжения (А ‒1)* = (А*)‒1= А ‒1. Если A >О(A <О), то все собственные значения оператора А ‒1положительны (отрицательны), т.к. они обратнысоб‒ственным значениям А.
Из Т3 => А ‒1>О (А‒1<О ). •Т5. Для ∀ неотрицательно (положительно)опреде‒ленного оператора А Ǝ ! неотрицательно(положи‒тельно) определенный оператор В такой,что B 2 = AДок‒во. Существование. Пусть е1 ,… , еп ‒ ОНБ изсобственных векторов оператора А и А еi = λi еi ,i = 1, b. По условию λi ≥ 0 (λi > 0), i = 1, b. ПоложимB еi = U¦+ еi , i = 1, b (3)Из (3) => B ≥О (В > О) , т.к. В ‒ нормальный (ибо ƎОНБ е1 , . . .
, еп из собственных векторов В ), при этомон самосопряжен (ибо его собственные значенияU¦+ ∈ ℝ) и, кроме того, U¦+ ≥ 0 (U¦+ > 0). Оператор В‒ искомый, т.к. в силу (3) B 2 еi = λi еi = А еi , i = 1, b.Единственность. Пусть Ǝ другой оператор С ≥ О(C > О): С2 = А. Тогда Ǝ ОНБ f1, …, fn из собственныхвекторов оператора С.
Если C fi = µi fi , i = 1, b, тоA fi =C 2 fi = µi2 fi , i = 1, b => µi2 являютсясобственны‒ми значениями А => совпадают счислами λi . Покажем, что C еi = U¦+ еi , i = 1, b (4)этим в силу (3) будет доказано, что С = В. Разложимвектор еi по базису f : -+ = ∑!0, 0 .0 (5)В этом равенстве участвуют собственные векторыеi , f1, …, fn оператора А, отвечающие собственнымзначениям λi , µ12 , …, µn2. Из линейной независимостисобственных векторов, отвечающих различнымсобственным значениям => в разложении (5)отлич‒ными от 0 будут коэффициенты αk лишь притех fk, которые отвечают собственному значению µk2 =λi =>!!!Ø-+ = ; 0 Ø.0 = ; 0 U¦+ .0 = U¦+ ; 0 .00, 0, 0, = U¦+ -+ , т.
е. 4Оператор В называется квадратным корнем изоператора А.40.Сингулярные числа и сингулярные векторы.Полярное разложение оператора.Т1. ∀ оператор А в унитарном (евклидовом) пр‒веможно представить в виде произведениянеотрица‒тельного оператора В и унитарногооператора U :A = BU(1)При этом оператор В определен однозначно, а если Аобратим, то и оператор U определен однозначно.Док‒во. 1. Рассмотрим оператор А*А.а) А*А ‒ самосопряженный, т.к.
(А*А)* = А*А.б) А*А > О, т.к. (А*А х, х) = (А х, А х) > 0, ∀ х ≠ θ.в) Ǝ ОНБ пр‒ва из собственных векторов е1 ,… , епоператора А*А. При этом можно считать, чтовекторы е1 ,… , еr отвечают ненулевым собственным22значениям ρ1 , …, ρr , а остальные ‒ нулевым, так чтоρk > 0 при k ≤ r и ρk = 0 при k > r . (2)r = rg А*А (3)2. im A = ℒ (A е1, …, A еп) . Для векторов A е1, …, A еп D , 2 = `ax-+ , -] y = x ∗ -+ , -] y = x +D -+ , -] y = _ +0, 2 ≠ `=> A еr+1 = … A еп = θ (в силу (3)), а A е1, …, A еr ‒ненулевые попарно ортогональные векторы, причем |A еk | = ρk , k = 1, => s0 = Ù -0 , " = 1, <Úобразуют ОНБ im A => получено r = rg А (5)(т.к.
dim ℒ (a1, ..., ak) = rg (a1, ..., ak))Дополним g1, ...,gr до ОНБ g1, ...,gr , gr+1, ...,gn всегопр‒ва => из (4) и (2) : A еk = ρk gk , k = 1, b(6)3. Построим операторы В и U из (1). ПоложимU еk = gk , B gk = ρk gk , k = 1, b (7)Тогда U ‒ унитарный оператор, т.к. переводит ОНБ е вОНБ g; В ≥ О как нормальный оператор (ибо ОНБ gсостоит из его собственных векторов), собственныезначения которого ρk ≥ 0, k = 1, b.При этом A = BU, т.к., согласно (6) и (7),(BU )еk = B (U )еk = B gk = ρk gk = A еk , k = 1, b4. Докажем единственность.
Пусть A = BU ‒2разложение (1) для А. Тогда А* = U*В и АА* = В=> В ‒ квадратный корень из АА*, который Ǝ иопределен однозначно по Т ( Для ∀ неотрицательно(положительно) определенного оператора А Ǝ !неотрицательно (положительно) определенныйоператор В : B 2 = A ). Если А обратим, то из (3) и (5)=> обратим А*А, при этом ρk ≠ 0, k = 1, b, => согласно(7) обратим В . В силу (1) отсюда => U = В ‒1А. •Попутно доказаны следующие факты:а) rg А = rg А*А = rg АА* (из (3), (5) и АА* = В 2)б) оператор U переводит ОНБ из собственныхвекторов оператора А*А в ОНБ из собственныхвекторов оператора АА* (из (7));в) операторы А*А и АА* имеют одинаковыесобственные значения (из АА* = В 2 ).Арифметические значения квадратных корней изсобственных значений оператора А*А называютсясингулярными числами оператора А.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
