Шпаргалки (1106703), страница 19
Текст из файла (страница 19)
Приведем КФ А (х, x) к главным осям, т.е. найдемОНБ f, в котором КФ А (х, x) имеет каноническийвид: А (х, x) = λ1 x12 + ...+ λn xn2.Канонические коэффициенты λ1, ..., λn будут приэтом определены однозначно. Можно считать, чтоλk ≠ 0 при k ≤ r (где r = rg А (х, x)) и λk = 0 при k > r.При переходе от е к базису f = еQ (2) ортогональнымпреобразованием координат (Т*) преобразуется в!; ¦0 (0PD + 2 ; 0P (0P + = 0 <0, 0, 2.
Пусть а ∈ Е. Отображение φ : Е → Е, определенноеравенством φ (х) = х + а, ∀ х ∈ Е, называетсяпара‒ллельным переносом пр‒ва Е на вектор а. im φ= Е.Если в (4) λk ≠ 0 для некоторого k, то ¦0 (0PD + 20P (0P == ¦0 (0P + 0P ⁄¦0 D − 0PD ⁄¦0 . Пусть (0PP = (0P + 0P ⁄¦0 ,=> исчезает переменная (0PP в 1‒й степени.Выполнение таких преобразований для всех " = 1, параллельному переносу на вектор с координатами P⁄¦ , … , P ⁄¦ , 0, … ,0 => из (4) получим:!; ¦0 (0PPD + 2 ; 0P (0PP + P = 0,0, где = P0, − ; 0PD ⁄¦00, Å3.
В (5) возможны 2 случая:а) b'r+1 = ... = b'п=0; б) Ǝ b'k ≠ 0, k > r.В "а" (5) имеет вид ¦ ( PPD + ⋯ + ¦ (PPD + P = 0В "б" выполним еще одно ортогональноепреобра‒зование координат. Матрица S этогопреобразования строится так. Рассмотримn‒rарифметический вектор (b'r+1, ..., b'п) ∈ ℝ . Поусловию он не 0‒ой и его можно нормировать: если = ∑!0, 0PD ⁄D , то вектор s1 = (b'r+1 /α, ..., b'п /α) ‒ортонормированная система из 1 вектора.
Дополнимэтот вектор до ОНБs1 , …, sn ‒ r пр‒ва ℝ n ‒ r. Обозначая si = (si,r+1, …, si n),2 = 1, b − , искомая матрица S :1°̄⋱²¬1¯ã=¬ä , … ä ! ¯¬…¬ ²¯ä!µ, … ä!µ,! ®«Матрица S ортогональна (т.к. ее строкиортонорми‒рованы) => преобразование базиса спомощью S приводит к новому ОНБ. Преобразованиекоординат : (0PPP = (0PP при " = 1, !PPP( = µ ; 0P (0PP!0, (0PPP = ; ä0+ (+PP при " = + 2, b+, PPPприводит (5) к ¦ ( PPPD + ⋯ + ¦ (PPPD + 2( + P = 0В нем можно освободиться от с', если выполнитьпараллельный перенос на вектор, у которого все координаты, кроме (r + 1)‒й (равной с' / (2α)), равны 0.Итак, с помощью параллельного переноса и переходак новому ОНБ общее уравнение (2) приводится к 1 из2 типов приведенных уравнений гиперповерхности:22λ1x1 + ...+ λr xr + а0 = 0, λ1...λr ≠ 0,λ1x12 + ...+ λr xr2 + b0 xr+1 = 0, λ1...λr b0 ≠ 0*: Матрица ортогональна (унитарна) онаявляется матрицей перехода от одного ОНБ кдругому ОНБ евклидова (унитарного) пр‒ва49.
Нормированное пр‒во. Нормы Гёльдера.V ‒ линейное пр‒во, вещественное или комплексное.Норма в V ‒ отображение || • || : V→ ℝ, ставящее всоответствие ∀ х ∈ V число ‖(‖ ∈ ℝ иудовлетворяющее аксиомам: ∀ х, у ∈ V и ∀ α ∈ ℝℂ1) ‖(‖ ≥ 0, ‖(‖ = 0 х =θ2) ‖(‖ = ||‖(‖;3) ‖( + )‖ ≤ ‖(‖ + ‖)‖ (неравенство треугольника).Линейное пр‒во V с заданной на нем нормой || • ||называется линейным нормированным пр‒вом.Число ‖(‖ называется нормой вектора х.Вещественная ф‒я f (х) выпукла на интервалеI = (a, b), если для ∀ х, у ∈ I и ∀ числа 0 ≤ t ≤ 1 :f (tx + (1 ‒ t) y) ≤ t f (х) + (1 ‒ t) f (y) (1)g (х) вогнута на I, если f (х) ≡ ‒ g (х) выпукла на I.Т.
Пусть f (х) дважды дифференцируема на I и f "(х)‒ ее 2‒я производная. Если f "(х) > 0 при всех х ∈ I, тоf (х) выпукла на I.Док‒во. При х = у (1) ‒ равенство. При t = 0 или t = 1равенство получается при ∀ х, у. Пусть а < х < у < bи 0 < t < 1. Тогда для z = tx + (1 ‒ t) y имеем x < z < у.По Т Лагранжа, Ǝ точки ξ и η :. − .(= . P å,( < å < ,−(.) − .= . P æ,(<æ<)−По Т Лагранжа для некоторой точки ζ получаем.) − . . − .(−= . PP çæ − å ≥ 0,)−−(å <ç<æОстается учесть, что t = (у ‒ z) / (у ‒ х) и заметить, чтолевая часть имеет вид.() − + .) − ( − .) − (=) − − (è.( + 1 − è.) − .=) − () − − (Сл.
Функция ln х является вогнутой.2Док‒во. (ln x)" = ‒1/х < 0.Лемма (неравенство Юнга). Пусть положительные числа р, q таковы, что é + ¹ = 1. Тогдаé ¹+ ,∀, ≥ 0§9Док‒во. В силу вогнутости логарифма,ln é ln ¹é ¹ln ≤+≤ ln ë + ì§9§9Неравенства Гельдера. В условиях леммы для ∀комплексных чисел x1, ..., хп и у1, …, уп справедливо : ≤!!í; (+ )+ í ≤ i;|(+ |é l+, Док‒во. Пусть+, ! = i;|(+ |é l+, ⁄é ⁄é!i;|)+ |¹ l+, ⁄¹ ⁄¹!, = i;|)+ |¹ l+, При а = 0 или b = 0 неравенство очевидно. Если а ≠ 0и b ≠ 0, то, используем лемму для |(+ |/, |)+ |/ :|( |é é |)+ |¹ ¹|(+ |/|)+ |/ ≤ ++,2 = 1, … , b§9Складывая эти неравенства, получаем!1 1i;|(+ )+ |l / ≤ + = 1§ 9+, Неравенство Минковского. Пусть р ≥ 1, x1, ..., хп иу1, …, уп ‒ произвольные комплексные числа. Тогда!i;|(+ +)+ |é l+, ⁄é!≤ i;|(+ |é l+, ⁄é!+ i;|)+ |é l+, ⁄éДок‒во. При р = 1 неравенство проверяетсяочевидным образом.
В случае р > 1имеем!!;|(+ +)+ |é ≤ ;|(+ +)+ |éµ |(+ +)+ | ≤+, !+, !≤ ;|(+ ||(+ +)+ |éµ + ;|)+ ||(+ +)+ |éµ +, +, Для каждой суммы справа применим неравенство Гельдера, взяв q = р/(р ‒ 1) =>é + ¹ = 1:!!;|(+ +)+ |é ≤ ci;|(+ |é l+, +, ! ⁄é!+ i;|)+ |é l+, /¹ ⁄é× i;|(+ +)+ |éµ ¹ l+, d×Остается заметить, что (р ‒ 1)q = р и 1 ‒ 1/q = 1/p. •Пусть х = [x1, ..., хп ]T ∈ ℂn. При р ≥ 1 положим!‖(‖é = i;|(+ |é l+, ⁄éПри фиксированном хlim ‖(‖é = max |(+ | => ‖(‖ñ = max |(+ |é→ñ ô+ô! ô+ô!‖(‖é ‒ р‒нормы или нормы Гельдера.Неравенства Гелъдера и Минковского сохраняютсилу при р = ∞ (в этом случае q = 1). Для док‒вадостаточно перейти к пределу при р → ∞.Т. При любом р ≥ 1, включая р = ∞, величина ‖(‖éявляется нормой на ℂ! .Док‒во.
Свойства (1) и (2) нормы очевидны.Неравен‒ства треугольника ‒ это неравенствоМинковского.50. Длина вектора. Тождество параллелограмма.Отображение ( , ) : V × V→ Р называется скалярнымпроизведением, если оно удовлетворяет аксиомам: для ∀х, у, z ∈ V и ∀ α ∈ Р1) (x, x) ≥ 0 для ∀ х ∈ V, (x, x) = 0 х = θ2) (x, y) = ), (, (в вещественном случае без черты)3) (αx, y) = α(x, y) 4) (x+y, z) = (x, z) + (y, z)Вещественное линейное пр‒во со скалярнымпроиз‒ведением ‒ евклидово, комплексное ‒ унитарное.V ‒ линейное пр‒во, вещественное или комплексное.Норма в V ‒ отображение || • || : V→ ℝ, ставящее всоответствие ∀ вектору х ∈ V число ‖(‖ ∈ ℝ иудовлетворяющее аксиомам: ∀ х, у ∈ V и ∀ α ∈ ℝℂ1) ‖(‖ ≥ 0, ‖(‖ = 0 х =θ 2) ‖(‖ = ||‖(‖;3) ‖( + )‖ ≤ ‖(‖ + ‖)‖ (неравенство треугольника).Линейное пр‒во V с заданной на нем нормой || • || ‒линейное нормированное пр‒во. Число ‖(‖ ‒ нормавектора х. В евклидовом (унитарном) пр‒ве норма ‒длина: ‖(‖ = |(| Это евклидова норма : ||(||ö = U(, (Справедливость аксиом нормы вытекает из свойств длины:из аксиом скалярного произведения =>1°.
∀ вектор х евклидова (унитарного) пр‒ва имеет длину,при этом |х| ≥ 0 , ∀х ∈ Е (U) и |х| = 0 х = θ.2°. |αх| = |α||х|, ∀х ∈ Е (U), ∀ ∈ ℝℂ.3°. Неравенство Коши‒Буняковского (|(х, у)|2 ≤ (х, x) (y, y))в новой терминологии: |(х, y)| ≤ |x| · |y|. Тогда |( + )|D =|(|D + |)|D + (, ) + ), ( ≤ |(|D + |)|D + 2|(||)| =|(| + |)|DТождество параллелограмма:‖( + )‖D + ‖( − )‖D = 2‖(‖D + ‖)‖D ∀(, ) ∈ Т. Норма является евклидовой для ∀ f и g из нормывыполняется тождество параллелограмма.Док‒во. 1). Пусть V ‒ пр‒во со скалярным произведением.Пусть (x, y) = a +ib, где а, b ∈ ℝ . Тогда если ‖(‖ = |(|, то‖( + )‖D = (, ( + (, ) + ), ( + ), ) == ‖(‖D + ‖)‖D + 2‖( + õ)‖D = (, ( + õ(, ) − õ), ( + ), ) == ‖(‖D + ‖õ)‖D + 2=> a = f (x, y) и b = g (x, y), где1.(, ) = ‖( + )‖D − ‖(‖D − ‖)‖D ,21s(, ) = ‖( + õ)‖D − ‖(‖D − ‖õ)‖D 22) Пусть V ‒ нормированное пр‒во.
Если нормапорожда‒ется скалярным произведением, то оно обязаноиметь вид (x, y) = f (x, y) + ig (x, y) (1)Пусть (1) ‒ определение функции (x, y), докажем, что онаобладает всеми св‒вами скалярного произведения.(, ( = ‖(‖D => 1‒я аксиома очевидна. Равенствоf (x, y) = f (y, x) очевидно, g (x, y) = ‒ g (y, x) получается спомощью тождества параллелограмма => (x, y) = ), (.Пусть норма удовлетворяет тождеству параллелограмма,докажем, что функция (x, y) линейна по 1‒му аргументу(3‒я и 4‒я аксиомы).
Достаточно доказать линейностьf (x, y) по 1‒му аргументу (линейность g (x, y) по 1‒муаргументу ‒ очевидное следствие). Докажем, чтоf (x + y, z) = f (x, z) + f (y, z). Из определения f итождества параллелограмма :1.(, = ‖( + ‖D − ‖( − ‖D ,41.), = ‖) + ‖D − ‖) − ‖D 4Запишем ( + = À + Á, ) + = À − Á => À = D ( + ) + 2, Á = D ( − ) . В силу тождествапараллелограмма для векторов и и v,11‖( + ‖D + ‖) + ‖D = ‖( + ) + + ‖D + ‖( − )‖D2211‖( − ‖D + ‖) − ‖D = ‖( + ) − − ‖D + ‖( − )‖D22Из тождества параллелограмма для x + y + z и z11‖( + ) + + ‖D = ‖( + ) + ‖D + ‖‖D − ‖( + )‖D2211‖( + ) − − ‖D = ‖( + ) − ‖D + ‖‖D − ‖( + )‖D221D=> .(, + .), = ‖( + ) + ‖ − ‖( + ) − ‖D =4= .( + ), $Докажем, что f (αx, y) = α f (x, y) для ∀ α ∈ ℝ.
Пусть =!‒ рациональное число =>11b. ë (, )ì = . ëb ë (ì , )ì = .(, ) =>bb11. ë (, )ì = .(, ) =>bbQ11Q. ß (, )á = . ëQ ë (ì , )ì = Q. ë (, )ì = .(, )bbbbПроизвольное вещественное α представим как пределпоследовательности рациональных αk → α. Функцияf (x, y) непрерывна по х. Поэтому в f (αk x, y) = αk f (x, y)можно перейти к пределу при k → ∞. Т.о., мы доказалиравенство (αx, y) = α (x, y) для вещественных α. Оно будетверно для любых комплексных α, если мы установим, что(ix, y) = i(x, y).
Это вытекает из определения (1), видафункций f (x, y) и g (x, y) и тождества параллелограмма. •51. Эквивалентность норм в конечномерном пр‒ве.V ‒ линейное пр‒во, вещественное или комплексное.Норма в V ‒ отображение || • || : V→ ℝ, ставящее всоответствие ∀ вектору х ∈ V число ‖(‖ ∈ ℝ иудовлетворяющее аксиомам: ∀ х, у ∈ V и ∀ α ∈ ℝℂ1) ‖(‖ ≥ 0, ‖(‖ = 0 х =θ 2) ‖(‖ = ||‖(‖;3) ‖( + )‖ ≤ ‖(‖ + ‖)‖ (неравенство треугольника).В евклидовом (унитарном) пр‒ве норма ‒ длина:‖(‖ = |(| Это евклидова норма : ||(||ö = U(, ((1)Справедливость аксиом нормы вытекает из свойствдлины: из аксиом скалярного произведения =>1°.
∀ вектор х евклидова (унитарного) пр‒ва имеет длину,при этом |х| ≥ 0 , ∀х ∈ Е (U) и |х| = 0 х = θ.2°. |αх| = |α||х|, ∀х ∈ Е (U), ∀ ∈ ℝℂ.3°. Неравенство Коши‒Буняковского (|(х, у)|2 ≤ (х, x) (y, y))в новой терминологии: |(х, y)| ≤ |x| · |y|.Тогда |( + )|D = |(|D + |)|D + (, ) + ), ( ≤ |(|D +|)|D + 2|(||)| = |(| + |)|DМн‒во М называется метрическим пр‒вом, если заданоотображение ρ : M × M → ℝ, которое каждойупорядо‒ченной паре х, у ∈ М ставит в соответствие ρ(х,у) ∈ ℝ :1) ρ(х, у) ≥ 0, ∀ х, у ∈ М;ρ(х, у) = 0 х = у;2) ρ(х, у) = ρ(y, x), ∀ х, у ∈ М3) ρ(х, z) ≤ ρ(х, у) + ρ(y, z) ∀ х, у ∈ М.ρ(х, у) ‒ расстояние между х и у; отобр‒е ρ ‒ метрикаУ1. В нормированном пр‒ве V отображение ρ: V × V → ℝ,определенное ρ(х, у) = || х ‒ y ||, ∀ х, у ∈ V ‒ метрика.Аксиомы метрики вытекают из аксиом нормы.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
