Шпаргалки (1106703), страница 21
Текст из файла (страница 21)
Норма ЛОА ∈ ℒ (V, W ), порожденная евклидовыми нормамивектора, называется спектральной нормой :‖‖D = sup ‖(‖ö = sup U(, (‖[‖ , [,[, Сингулярные числа оператора А ‒ квадратные корнииз собственных значений оператора А*А.Т5. Спектральная норма оператора равнамаксимальному сингулярному числу этого оператора.Док‒во. Пусть е1, … ,еn ‒ ОНБ из собственныхвекторов оператора А* А, а ρ1, ..., ρn ‒ сингулярныечисла А , ( = ∑!+, (+ -+ , ρ0 = max ô+ô! ρ+ =>‖(‖Dö = (, ( = ∗ (, ( =!!!!= i; +D (+ -+ , ; (+ -+ l = ; +D |(+ |D ≤ 0D ;|(+ |D+, +, +, +, => ‖(‖ö ≤ ρ0 , если ‖(‖ö = 1, и ‖(‖ö = ρ0 ,если x = ek ( ‖-0 ‖ö = 1) =>ρ0 = max ‖(‖ö = sup ‖(‖ö = ‖‖D ∎‖[‖ , ‖[‖ , С1.
Спектральная норма нормального оператораравна абсолютному значению максимального помодулю собственного значения этого оператора.Т6. Сингулярные числа ЛО в евклидовом (унитарном)пр‒ве не изменяются при умножении оператора наортогональный (унитарный) оператор.Док‒во. Пусть B = U A V, где U*U = I, V*V = I =>B *B = V*А*А V => матрицы операторов B *B иА*А подобны и их собственные значения совпадают.С2. Спектральная норма ЛО не изменяется приумножении оператора на ортогональный(унитарный) оператор.54. Матричные нормы.
Унитарно инвариантные н‒ы.Норма в V ‒ отображение || • || : V→ ℝ, ставящее всоответствие ∀ вектору х ∈ V число ‖(‖ ∈ ℝ иудовлетворяющее аксиомам: ∀ х, у ∈ V и ∀ α ∈ ℝℂ1) ‖(‖ ≥ 0, ‖(‖ = 0 х =θ 2) ‖(‖ = ||‖(‖;3) ‖( + )‖ ≤ ‖(‖ + ‖)‖ (неравенство треугольника).Норма ‖‖ называется нормой оператора А,подчиненной векторным нормам пространств V и W:‖(‖‖‖ = sup= sup ‖(‖‖[‖ , [ ‖(‖Пусть каждой комплексной матрице А поставлено всоответствие число f (A) ≥ 0 такое, что:1) f (A) является нормой на ℂ$×! для всех m, n;2) f (AB) ≤ f (A) f (B) для ∀ матриц А и В, допускающихумножение.
Тогда f (A) называется матричной нормой.У1. Пусть для ∀ п задана векторная норма на ℂ! , и пустьдля ∀ т, п и ∀матрицы А ∈ ℂ$×! норма ‖u‖ определенакак операторная норма, порожденная даннымивектор‒ными нормами. Тогда ‖u‖ является матричнойнормой.Док‒во. Пусть ‖(‖∗ ‒ векторная норма для х ∈ ℂ! при ∀ п.Для ∀ матриц А и В, допускающих умножение, Ǝ х0единичной нормы такой : ‖u‖ = ‖u(û ‖∗ ≤≤ ‖u‖ ∙ ‖(û ‖∗ ≤ ‖u‖ ∙ ‖‖ ∙ ‖(û ‖∗ = ‖u‖ ∙ ‖‖ ∎Пусть е = (е1 , … , еп) и f = (f1 , … , fm) ‒ базисы пр‒тв V и W.Введем в V и W векторную норму ‖ ∙ ‖é как нормуГёльдера одинакового типа:!‖(‖é = i;|(+ |é l+, ⁄é, где § = 1,2, ∞ AПусть ‖‖é ‒ норма, подчиненная векторным нормам‖ ∙ ‖é , А = (aij) ‒ матрица оператора А в базисах e и f.Т1.
Для ∀ ЛО А ∈ ℒ (V, W )$‖‖ = max ;ù+] ù ô]ô!+, Док‒во. Пусть ( = ∑!+, (+ -+ =>!$!$!( = ; (] -] = ; (] ; +] .+ = ; c; +] (] d .+], $Согласно (1)+, ], !+, $!], ‖(‖ = ; ; +] (] ≤ ; ;ù+] ùù(] ù =+, ], !+, ], $= ;ù(] ù ;ù+] ù G$], +, $Пусть у k‒й столбца A максимальная столбцовая сумма:;|+0 | = max ;ù+] ù+, ô]ô!!+, $$из 2 => ‖(‖ ≤ ;ù(] ù ;|+0 | = ‖(‖ ;|+0 |=>rp], $+, ‖(‖ ≤ ;|+0 | , ∀(: ‖(‖ = 1+, +, a =>$qp‖(‖ = ;|+0 |, ( = -0 ‖-0 ‖ = 1o+, $;|+0 | = sup ‖(‖ ∎=>‖[‖ , +, Т2.
Для ∀ ЛО А ∈ ℒ (V, W )!‖‖ñ = max ;ù+] ù ô+ô$], Док‒во ан‒но Т1.Евклидовой нормой (или нормой Фробениуса) матрицыА =(aij) размера m×n называется число$!‖u‖ = c; ;ù+] ù dD+, ], ⁄DУ2. Норма Фробениуса является матричной нормой.Док‒во. Для ∀ m, n норма Фробениуса является нормой налинейном пр‒ве ℂ$×! (как 2‒норма на пр‒ве ℂ$!изомор‒фном ℂ$×! ). Пусть a1, …, an ‒ столбцы A, а b1T, …,bnT ‒ строки В => AB = a1 b1T + …+ an bnT. Из неравенстватреугольника, равенства ‖+ + ‖ = ‖+ ‖ ‖+ ‖ инеравенства Коши‒Буняковского( |(х, у)|2 ≤ (х, x) (y, y) ):!!‖u‖ ≤ ;‖+ + ‖ = ;‖+ ‖ ‖+ ‖!+, ≤ i;‖+ ‖D l+, ⁄D+, !i;‖+ ‖D l+, ⁄D= ‖u‖ ‖‖ ∎Ограниченный ЛО А : V → V со св‒вом ‖(‖ = ‖(‖∀( ∈ называется изометрическим или сохраняющимнорму.
Пусть в ℂ! задана какая‒то норма, а матрицаА ∈ ℂ!×! (как ЛО из ℂ! в ℂ! ) ее сохраняет. Такая матрицаназывается изометрической относительно данной нормы.У3. Множество всех комплексных п × п‒матриц,изометрических относительно гельдеровской 2‒нормы,совпадает с множеством унитарных матриц порядка п.Док‒во. 2‒норма порождается естественным скалярнымпроизведением в ℂ! . Из исследований, связанных стождеством параллелограмма => сохранение длин влечетза собой сохранение скалярных произведений:(Ах, Ау) = (х, у) у*(А*А)х = y*х ∀(, ) ∈ ℂ! =>у*(А*А ‒ I )х = 0 для ∀(, ) ∈ ℂ! . Если x и y ‒ векторыстандартного базиса => все элементы матрицы А*А ‒ Iравны 0 => сохранение 2‒нормы условию А*А = I,определяющем унитарную матрицу. •Матричная норма || • || унитарно инвариантна, если‖u‖ = ‖u‖ для ∀ матрицы А и ∀ унитарных матриц Р иQ, допускающих умножение.У4. Норма Фробениуса является унитарно инвариантной.Док‒во.
Q ‒ унитарная матрица и А= [a1, …, an] => из У3:÷] ÷ = ÷] ÷ , ` = 1, b =>!DD!‖u‖D = ;÷] ÷ = ;÷] ÷ = ‖u‖D ∎], DD], DDСпектральная норма матрицы ‒ матричная норма,подчиненная гельдеровской 2‒норме:‖u‖D = sup ‖u(‖D‖[‖M , У5. Спектральн. норма матрицы унитарно инвариантна.Док‒во. Q ‒ унитарная матрица и А= [a1, …, an]. По опр.‖u‖D = sup ‖u(‖D = sup ‖u(‖D = ‖u‖D‖[‖M , ‖[‖M , ‖u‖D = sup ‖u(‖D =‖[‖M , sup ‖u ∗ (‖D =‖Ð∗ [‖M , = sup ‖u(‖D = ‖u‖D ∎‖[‖M , 55.
Сингулярное разложение матрицы иобобщенное решение.Пусть А ∈ ℂ$×! . Тогда А*А ∈ ℂ!×! ‒ эрмитованеотрицательно определенная матрица:(А*А)* = А*(А*)* = А*А,хА*Ах = (Ах, Ах) = |Ах|2 ≥ 0 ∀( ∈ ℂ! .=> все ее собственные значения ≥ 0. Неотрицательныеквадратные корни из собственных значений матрицыА*А называются сингулярными числами матрицы А.Сингулярные числа σi = σi (А) нумеруют поневозрастанию: σ1 ≥ σ2 ≥ … ≥ σr > σr+1 =…= σn = 0.Пусть A имеет r ненулевых сингулярных чисел.Пусть и1, …, иn ‒ ОНБ из собственных векторов D À , 1 ≤ 2 ≤ aматрицы А*А : u∗ uÀ+ = _ + +0, + 1 ≤ 2 ≤ bПоложим Á+ = uÀ+ /+ , 1 ≤ 2 ≤ => Á+ , Á] = 0 приi ≠ j и Á+ , Á+ = 1.
Дополним систему v1, …, vrвекто‒рами vr , …, vm до ОНБ в ℂ$ . Заметим : при j ≥ r+1∗u∗ uÀ] = 0 => À]∗ u∗ uÀ] = 0 => xuÀ] y xuÀ] y = 0=> ùuÀ] ù = 0 => uÀ] = 0В итоге: uÀ , … , À! = Á , … , Á$ v ⋱ w => u = Σгде = À , … , À! и = Á , … , Á$ ‒ унитарныематрицы, а Σ ‒ диагональная прямоугольная матрицатех же размеров, что и А.
Столбцы матриц U и Vобразуют сингулярные базисы матрицы А. Столбцы U‒ правые сингулярные векторы матрицы А, столбцы V‒ левые. Связь между сингулярными векторами иненулевыми сингулярными числами :uÀ+ = + Á+ , u∗ Á+ = + À+ , 1 ≤ 2 ≤ И uÀ+ = 0, + 1 ≤ 2 ≤ b, u∗ Á+ = 0, + 1 ≤ 2 ≤ Q=> для ∀ матрицы А ∈ ℂ$×! имеет место равенствоu = Σ (1) для некоторых унитарных матрицU ∈ ℂ!×! , V ∈ ℂ$×$ и диагональной прямоугольнойматрицы размеров т × п с числами + ≥ 0 при i = j.Сингулярное разложение матрицы: u = Σ ∗(2).Если получено разложение (2) с унитарными U и V, тоА*А = U(Σ*Σ)U* => если Σ ‒ диагональнаяпрямоу‒гольная матрица с неотрицательнымиэлементами, то ее ненулевые элементы определеныоднозначно.Если т = п, то (2) : А= (VΣV*)(VU*) = НQ, гдеH = VΣV* неотрицательно определенная (=> такжеэрмитова) матрица, а Q = VU* унитарная матрица (какпроизведение унитарных матриц).
Представление А ввиде А = НQ с неотрицательно определенной Н иунитарной Q называется ее полярным разложением.Выводы из сингулярного разложения:1) Число ненулевых сингулярных чисел r = рангу А.2) Сингулярное разложение сопряженной матрицы:u∗ = Σ ∗ .3) im A = ℒ (Á , … , Á ), ker А = ℒ (иr+1, …, ип).4) im A* = ℒ (À , … , À ), ker А* = ℒ (vr+1, …, vm).Следствие : ℂ! = ker u⨁ im u∗ , ℂ$ = ker u∗ ⨁ im u5 u = ; 0 Á0 À0∗ ,0, u∗ = ; 0 À0 Á0∗!0, !6) Если т = и = r (матрица A невырожденная), тоu = ; 0 Á0 À0∗ ,u∗ = ; 0 À0 Á0∗0, 0, 7) Пусть σ1 ≥ … ≥ σn ‒ сингулярные числа‒1‒1невырож‒денной А => σ1 ≥ … ≥ σn ‒сингулярные‒1числа А .D8) ‖u‖D = , ‖u‖ = U + ⋯ + !DСпектральная и фробениусова нормы унитарноинвариантны => ‖u‖D = ‖Σ‖D , ‖u‖ = ‖Σ‖ .Очевидно, ‖Σ(‖D ≤ ‖(‖D , равенство достигается,если х имеет 1 в 1‒й позиции и 0 в остальных.
Ясно,что ‖Σ‖ = U D + ⋯ + !D •У1. Решение системы Ах = b с невырожденной.матрицей А имеет вид!0( = ; À0 ,00, где 0 = Á0∗ = Á0 , ‒ коэффициенты разложениявектора b по сингулярным векторам Á , … , Á! .Док‒во. Выражение для х получается из св‒ва 6. Если = Á + ⋯ ! Á!, то , Á0 = 0 Á0 , Á0 = 0(вследствие ортонормированности системы Á , … , Á! ) •Если система Ах = b несовместна, то Аx = b невыпол‒няется ни для одного вектора х =>интересуются такими х, при которых вектор b ‒ Ах(невязка для х) имеет минимально возможную длину.Вектор х называется псевдорешением системы Ах =b, если‖ − u(‖D = min ‖ − u‖DВ методе определения "обобщенного решения" ввещественном случае речь идет о наименьшемзначении суммы квадратов$‖ − u‖DD = ;+ − + ( − ⋯ − +! ( D+, У2.
Пусть А ‒ матрица размеров т × п и ранга r.Множество псевдорешений системы Ах = b естьлинейное многообразие размерности n ‒ rДок‒во. Пусть h ‒ перпендикуляр, опущенный извектора b на подпространство im А, у ∈ im А‒соответствующая ортогональная проекция =>система Аz = у совместна, и если z ‒ ее произвольноерешение, то | h | = |b ‒ Az| < |b ‒ Ax| для ∀ х: Ах ≠ у =>множество псевдорешений совпадает с множествомрешений совместной системы Аz = у. •Среди всех псевдорешений выделяется псевдорешениех минимальной длины, т.е. нормальноепсевдоре‒шение. Геометрически х ‒ перпендикуляр,опущенный на ker А из ∀ частного решения zсовместной системы Аz = у (вектор у ‒ ортогональнаяпроекция вектора b на im A) => Ǝ ! нормальноепсевдорешение.
Из сингулярного разложения => явныйвид нормального псевдорешения:Á0∗ ( = ;À0 00, Для док‒ва проверить, что − u( ⊥ im u и ( ⊥ ker u.56. Вариационные (экстремальные) свойствасобственных значений самосопряженногооператора (матрицы).Пусть А ‒ самосопряженный оператор в евклидовом(унитарном) пр‒ве V.
Построим в V ОНБ е1, …, еn (1)из собственных векторов оператора А, отвечающихсобственным значениям λ1 > λ2 > … > λn .Норма ‒ евклидова || • ||E => если ( = ∑!+, (+ -+ , то!‖(‖ö = U(, ( = i; (+D l+, ⁄DТ1. Для самосопряженного оператора А¦ = max (, (, ¦! = min (, (‖[‖, ‖[‖, Док‒во. Для ∀( = ∑!+, (+ -+ ∈ : ( = ∑!+, (+ ¦+ -+ ∈ => т.к (1) ‒ ОНБ, то (, ( = ∑!+, ¦+ |(+ |D.Т.к. λ1 > … > λn , то λ1 > (А х, х) > λn , если ‖(‖ = 1 ;причем (А е1, е1) = λ1 , (А еn, еn) = λn и |‖- ‖ = 1,‖-! ‖ = 1 => λ1 и λn ‒ наибольшее и наименьшеезначения (А х, х) на единичной евклидовой сфере. •З.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
