Шпаргалки (1106703), страница 16
Текст из файла (страница 16)
Разложение (2)называется полярным разложением оператора А.З. Для ∀ А имеет место разложение вида A = VC , гдеV ‒ унитарный оператор, С ≥ О. Его можно получитьиз полярного разложения сопряженного оператораА* = ВU переходом к оператору А : А = U*В , гдеU*‒ унитарный оператор.Т2. Оператор А нормален в любом его полярномразложении операторы В и U перестановочны.Док‒во.
Пусть A = BU ‒ полярное разложение A .Тогда АА* = В 2, А*А = U* В 2U.Дост‒сть. Если BU = UB , то А*А = U* В 2U ==U* В (В U ) = U* В (U В ) = U* (В U )В ==U* (U В )В = U* U В 2 = В 2 = АА*Необх‒сть. Если е1 ,… , еп ‒ ОНБ из собственных2векторов А* А, то А*A еk = ρk ek , k = 1, b (8)222С др. стороны, А*А = U* В U => U* В U еk = ρk ek,22т.е.
В U еk = ρk U ek , k = 1, b (9)Т.к. U унитарен, то векторы U е1, …, U еп образуютОНБ => из (9) получим В U еk = ρk U ek , k = 1, b (10)2С другой стороны, А*А = АА* = В , и согласно (8)В 2еk = ρk2 ek или В еk = ρk ek, откуда умножением на Uслева получим, что U В еk = ρk U ek , k = 1, b (11)Из (10) и (11) => BU = UB .41. Ортогональные дополнения ядра и образа ЛО.Теорема и альтернатива Фредгольма.Пусть L ‒ линейное подпространство евклидова(унитарного) пр‒ва Е (U ). Вектор х называетсяортогональным к подпространству L (x ⊥ L), еслион ортогонален ∀у ∈ L .
х ⊥ ℒ (a1,..., ak) х ⊥ ai ,2 = 1, ". Совокупность всех векторов х ∈ Е (U ),ортогональных подпространству L, называетсяортогональным дополнением 3} к L . Образ ЛОА ∈ ℒ (V, W) ‒ im А = {у ∈ W | Ǝ х ∈ V :А х = у},ядро ЛО А ‒ ker A = { х ∈ V |А х = θ}Пусть А ∈ ℒ(V, W). Отображение А* : W → Vназывается сопряженным оператором к операторуА, если (А х, у) = (х, А*у), ∀х ∈ V, у ∈ WТ1. Для ∀ оператора А ∈ ℒ(V, V ):ker А = im} А*, ker А* = im} А(1)Док‒во. Для ∀ векторов х ∈ ker А, у ∈ im А* имеемА x = θ, у = А*у1 => (х, у) = (х, А*у1) = = (А х, у1) = 0.=> ker А ⊂ im} А*. По теореме о ранге и дефектеrg А + def А = dim V и т.к. rg А* = rg А, то dim ker А== dim V ‒ dim im А = dim V ‒ dim im А* = dim im} А*.Тогда ker А = im} А* по Т о монотонностиразмер‒ности (Размерность линейногоподпространства не превосходит размерности пр‒ва.Подпространство той же размерности, что и всепр‒во, совпадает с пр‒вом) .
2‒е доказывается ан‒но.•Т1 (формулировка от Тырт‒ва). Пусть А ∈ ℂ$×! .Тогда ℂ! и ℂ$ представляются ортогональнымисуммами: ℂ! = ker A ⨁ im A*, ℂ$ = ker A* ⨁ im A.(Док‒во то же самое)Т2. Если подпространство L инвариантно отн‒нооператора А, то его ортогональное дополнение 3}инвариантно отн‒но сопряженного оператора А*.Док‒во. Если х ∈ L, у ∈ 3} и т.к. L инвариантно отн‒но А , т.е. А x ∈ L , то (А х, у) = 0. С другойстороны, (А х, у) =(х, А*у) => (х, А*у)=0, ∀ х ∈ L=>А*у ∈ 3} . •Пусть V, W ‒ евклидовы (унитарные) пр‒ва,А ∈ ℒ(V, W), и ∈ W . Уравнение А z = u(2)называется линейным операторным уравнением,вектор u ‒ правой частью, вектор z ‒ решением. Вматричной записи операторное уравнениепревращается в систему линейных алгебраическихуравнений => все свойства систем уравнений можнопереносить на операторные уравнения и наоборот.Сопряженным к уравнению (2) называетсяоднородное уравнение А* w = θ(3)Т3 (альтернатива Фредгольма).
Либо основноеуравнение (2) имеет решение при ∀ правой частии ∈ W , либо сопряженное к нему уравнение имеетнетривиальное решение.Док‒во. Пусть r = rg А, п = dim W. 2 случая.1) r = п im А = W, => уравнение (2) имеет решениепри ∀ и ∈ W .
Тт.к. rg А* = rg А, то ker А* = {θ} иуравнение (3) не имеет ненулевого решения.2) r < п def А * > 0, Ǝ w ∈ ker А*, w ≠θ , т.е. Ǝненулевое решение (3). При этом im А ≠ W иуравнение (2) имеет решение не для ∀ и ∈ W. •З1. Альтернатива Фредгольма для оператора А, действующего в одном пр‒ве V, означает, что либоосновное уравнение имеет единственное решение при∀ и ∈ V, либо сопряженное к нему уравнение имеетнетривиальное решение.Т4 (теорема Фредгольма).
Операторное уравнение(2) имеет решение его правая часть ортогональнавсем решениям сопряженного уравнения.Док‒во. Уравнение (2) имеет решение и ∈ im А или,с учетом (2), когда и ∈ ker } А* вектор иортогонален всем векторам ker } А*, т.е. решениямуравнения (3).42. Билинейные и квадратичные формы.Пусть V ‒ линейное пр‒во над полем Р. Отображение А : V × V → Р ‒билинейная форма (БФ) в пр‒ве V, если для ∀ х, у, z ∈ V, α ∈ Р:1) А (х + у, z) = А (х, z) +А (у, г); 3) А (х, у + z) = А (х, у) + А (х, z);2) А (αх, у) = α А (х, у);4) А (х, αу) = αА (х, у).(1)БФ называется симметричной, если А (х, у) = А (y, x), ∀ х, у ∈ V.Пр. 1) в n‒мерном пр‒ве V с базисом е1, …, еп отображение А : V × V→ Р:!G(, ) = ; +] (+ )]+,], ∀ ( = ∑!+, (+ -+ , ) = ∑!+, )+ -+ , aij (i, j = 1, b) ‒ фиксированные числа Т1.Пусть V ‒ линейное пр‒во над полем Р и е1, …, еп ‒ базис V .
Для ∀aij ∈ Р,i, j = 1, b, Ǝ! БФ А (х, у) в пр‒ве V: А (ei , ej ) = aij , i, j = 1, b.Док‒во. е1, …, еп ‒ базис пр‒ва V и aij , i, j = 1, b, ‒ заданные числа. (2) ‒БФ в V, причем А (ei , ej ) = aij , i, j = 1, b. ∀ БФ B (х, у) в V: В (ei , ej ) = aij ,i, j = 1, b, совпадает с А (х, у), т.к. для ∀ ( = ∑!+, (+ -+ , ) = ∑!+, )+ -+ из (1) :B (х, у) = B (∑!+, (+ -+ , ∑!+, )+ -+ ) = ∑!+, ∑!], (+ )] В (ei , ej ) = ∑!+,], +] (+ )] =>B (х, у) = А (х, у), ∀ х, у ∈ V.
•nхn(2) ‒ общий вид БФ в базисе е. Ае = (aij) ∈ Р , где aij = А (ei , ej ),i, j =1, b, ‒ матрица БФ А (х, у) в базисе е. Общий вид (2) в компактнойTТТформе: А (х, у) = хе Ае уе , А (х, у) = уе Ае хе.(3)n×nТ2. ∀ матрица А = (aij) ∈ Рявляется матрицей единственной БФ взаданном базисе пр‒ва.nхnДок‒во. Пусть е1, ..., еп ‒ заданный базис V. Матрица А = (aij) ∈ Рявляется матрицей БФ (2). Из Т1 => единственность этой БФ. •ТТ3. Матрицы БФ А (х, у) в базисах е и f = еQ связаны: Аf = Q Ае Q.TT TДок‒во.
Согласно (3) А (х, у) = х е Ае уе = {хе = Qxf ,уе = Qyf } = xf Q Ае QТTyf. И А (х, у) = хf Аf уf => т.к. х, у ‒ ∀ => Аf = Q Ае Q •С. rg Ае = rg Аf.=> Все матрицы одной БФ имеют одинаковый ранг.Т4. БФ симметрична ее матрица в ∀ базисе симметрична.TДок‒во. Необх‒ть проверяется непосредственно. Дост‒сть: если Ае = АеТТТто, согласно (3), А (х, у) = уе Ае хе = уе Ае хе = А (y, x) •Ранг БФ ‒ ранг ее матрицы в ∀ базисе. БФ А (х, у) вырожденна, еслиrg А (х, у) < dim V, и невырожденна, если rg А (х, у) = dim V.Т5.
А (х, у) вырождена Ǝ вектор х ≠ θ : А (х, у) = 0, ∀ у ∈ V. (4)Док‒во. Пусть е1, ..., еп ‒ базис V и Ае = (aij) ‒ матрица БФ А (х, у) в этомбазисе. Соотношение (4) системе А (x, ej ) = 0, i, j = 1, b, (т.к( = ∑!+, (+ -+ ) системе ∑!+, (+ -+ , -] = 0, i, j = 1, b т.е. ( + ⋯ + ! (! = 0a Å………m ! ( + ⋯ + !! (! = 0=> БФ А (х, у) вырождена однородная система (5) имеетнетривиальное решение, т.е. когда rg Ае < п.
•Пусть А (х, у) ‒ симметричная БФ в V над полем Р. Квадратичнойформой (КФ) ‒ отображение А : V → Р, которое ∀ х ∈ V ставит всоответствие число А (х, x). БФ А (х, у) ‒ полярная БФ к КФ А (х).Т6. Полярная БФ для ∀ КФ определена однозначно.Вытекает из того, что если А (х, y) ‒ полярная БФ для КФ А (х, x), то для∀ x, у ∈ V А (х, у) = ½ ( А (х + y, x + у) ‒ А (х, x) ‒ А (y, y)). •Матрица КФ А (х, x) в базисе е ‒ матрица полярной БФА (х, у) в е.2 квадратные матрицы А и В конгруэнтны, если Ǝ невырожденная Q : ВТ= Q А Q.
2 квадратные комплексные матрицы А и В эрмитовоконгруэнтны, если Ǝ невырожденная Q : В = Q*А Q. Свойства КФ:1°. Матрица КФ симметрична. 2°. ∀ симметрическая матрица являетсяматрицей единственной КФ в заданном базисе.Т3°. Матрицы КФ в базисах е и f = еQ связаны : Аf = Q Ае Q. (6)Т.е. 2 матрицы КФ А (х, x) в различных базисах конгруэнтны.4°. В базисе е КФ А (х, x) с матрицей Ае = (aij): ∀( = ∑!+, (+ -+!(, ( = ; +] (+ (] ,+,], T+] = ]+ТÝили, в компактной форме А (х, x) = хе Ае xе ,Ае =Ае (8)(7) или (8) ‒ общий вид КФ А (х, x) в базисе е.5°.
Ранг КФ ранг ее матрицы в ∀ базисе. rg А (х, x) = rg А (х, у). КФ А (х,x) вырожденная, если rg А (х, x)< dim V и невырожденной, если rg А (х,x) = dim V. Базис е = (е1, ..., en ) ‒канонический базис КФ А (х, x), если еематрица в е диагональна: Ае = diag (λ1, ..., λn).Канонический вид КФ (λi ‒ канонические коэффициенты)А (х, x) = λ1x12 + ...+ λn xn2= λ1 x12 + ...+ λr xr2, ∀( = ∑!+, (+ -+ (9)Число ненулевых квадратов r = рангу А (х, x)Т7. Для ∀ КФ Ǝ канонический базис.Док‒во. Пусть е = (е1, ..., en ) ‒ базис V.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
