Шпаргалки (1106703)

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла

1. Линейное пространство над произвольнымполем. Ранг и база системы векторов.Пусть дано поле Р. Непустое мн‒во V называетсялинейным или векторным пространством надполем Р, если на этом мн‒ве определены внутреннийV × V →V (сложение) и внешний Р × V →V(умножение на число из Р) законы композиции,удовлетворяющие аксиомам: ∀, , ∈ и , ∈ 1.

+ = + 2. + + = + + 3. ∃ ∈ : + = + = 4. для ∀ ∈ ∃ − ∈ : + − = − + = 5. 1 ∙ = 6. = 7. + = + 8. + = + Линейное пр‒во над полем ℝ ‒ вещественноелинейное пр‒во, над полем ℂ ‒ комплексное.Рассмотрим конечные системы  , … , ! векторов.Линейно независимая подсистема системы векторов,через которую линейно выражается ∀ вектор системы,называется базой этой системы векторов.Т1.

Подсистема системы векторов является базойсистемы векторов образует максимальнуюлинейно независимую подсистему.Док‒во. Необх‒сть. Пусть в системе векторова1,…,аr,… аn подсистема а1,…,аr образует базу =>∀ большая подсистема будет линейно зависимой поТ (*), т.к. ∀ ее вектор линейно выражается через базуа1,…,аr => база образует максимальную линейнонезависимую подсистему.Дост‒сть. Пусть а1,…,аr ‒ максимальная линейно независимая подсистема системы а1,…,аr,… аn => для∀ аi ,i=1, ", подсистема а1,…,аr, аi ‒ линейно зависима(если i < r, то как подсистема, содержащая 2одинаковых вектора; если i > r, то как подсистема изr+1 > r векторов).

По Т (**) аi ‒ линейно выражаетсячерез а1,…,аr => а1,…,аr ‒ база. •С1. Все базы одной системы векторов состоят изодинакового числа векторов, равного максимальномучислу линейно независимых векторов системы.Число векторов базы называется рангом системывекторов: rg (а1,…,аn) = максимальному числулинейно независимых векторов системы.2 системы векторов линейного пр‒ва называютсяэквивалентными, если каждая из этих системвыражается через другую => база системы векторовэквивалентна самой системе.Т2. Если система а1,…,аk линейно выражается черезb1,...,bт , то rg (а1,…,аk) < rg (b1,...,bт).Док‒во. Пусть а1,…,аr и b1,...,bs, ‒ базы. Из условиятеоремы и транзитивности свойства "линейнойвыражаемости" => база а1,…,аr 1‒й системы линейновыражается через базу b1,...,bs 2‒й => r < s, т.к.

иначе,если r > s, система а1,…,аr была бы линейно зависимойпо Т (*). •С2. Ранги эквивалентных систем совпадают.С3. Эквивалентные линейно независимые системывекторов состоят из одинакового числа векторов.Система векторов е1,..., еп линейного пр‒ва Vпорож‒дает пр‒во V, если ∀ х ∈ V является линейнойкомби‒нацией е1,..., еп . Упорядоченная системавекторов е1,...,еп линейного пр‒ва V называетсябазисом V, если она линейно независима и порождаетV.Т1. ∀ 2 базиса линейного пр‒ва состоят изодинакового числа векторов.

(=> из эквивалентностидвух базисов линейного пр‒ва и C2).Число векторов базиса не зависит от самого базиса иоднозначно определяется самим пр‒вом (Т *).Число векторов базиса линейного пр‒ва V ‒размерность пространства V : dim V. Размерность0‒го пр‒ва по определению = 0. Из Т*** => dim V =максимальному числу линейно независимых векторовэтого пр‒ва. Линейное пр‒во размерности п, п ∈ ℕ,называется п‒мерным. 0‒е пространство и n‒мерныепр‒ва называются конечномерными. Линейное пр‒воназывается бесконечномерным, если для ∀k ∈ ℕ впр‒ве Ǝ k линейно независимых векторов.

Пример:пр‒во М∞ многочленов всех степеней.Т2 (о неполном базисе). В п‒мерном пр‒ве ∀ линейнонезависимую систему из k, где k < n, векторов можнодополнить до базиса.Док‒во. е1 ..., еп ‒ линейно независимая системавекторов пр‒ва V. Т.к. k < п => в силу T*** системае1, ..., еk не является базисом V => не порождает всегопр‒ва V. Пусть вектор еk+1 ∈ V не является линейнойкомбинацией е1, ..., еk => система векторов е1,...,еk, еk+1линейно независима (в силу Т**). Если k+1= п , то этасистема векторов образует базис V, если же k+1 < п, тоан‒но построим линейно независимую систему изk + 2 векторов.

За n ‒ k таких шагов мы построимискомый базис е1 ...,еk,…,еn. •Коэффициенты разложения вектора по базисуназываются координатами вектора в этом базисе.Пусть е = (е1, ...,еn) и f = (f1,…, fn) ‒ 2 базиса n‒мерногопр‒ва V. Векторы 2‒го базиса, как векторы пр‒ва V,разлагаются по базису е: f1 = c11e1 + . . . + cn1en….fn = c1n e1 + . .

. + cnn enКоэффициенты сij этих разложений образуют матрицуС = (сij) ∈ ℝ$×! перехода от базиса е к базису f.1°. Разложение вектора по базису единственно.2°. Координаты вектора обладают линейностью.3°. При переходе от базиса е к базису f = eCкоординаты вектора х изменяются : хе = C хf--------------------------------------------------------------------*: Если в линейном пр‒ве большая система векторовлинейно выражается через меньшую, то большаясистема линейно зависима**: Если система а1,…, аn линейно независима, асистема а1,…, аn ,b линейно зависима, то вектор bлинейно выражается через векторы а1,…, аn***: Система векторов е1,...,еп линейного пр‒ваявляется его базисом она образует максимальнуюлинейно независимую систему векторов этого пр‒ва2.

Изоморфизм линейных пространствСистема векторов е1,..., еп линейного пр‒ва Vпорож‒дает пр‒во V, если ∀ х ∈ V является линейнойкомби‒нацией е1,..., еп . Упорядоченная системавекторов е1,...,еп линейного пр‒ва V называетсябазисом V, если она линейно независима и порождаетV.Т1. ∀ 2 базиса линейного пр‒ва состоят изодинако‒вого числа векторов. (=> из эквивалентностидвух базисов линейного пр‒ва и следствия (Рангиэквивалентных систем совпадают)).Число векторов базиса не зависит от самого базиса иоднозначно определяется самим пр‒вом (Т *).Число векторов базиса линейного пр‒ва V ‒размерность пространства V : dim V.

Размерность0‒го пр‒ва по определению = 0. Из Т* => размерностьлинейного пр‒ва = максимальному числу линейнонезависимых векторов этого пр‒ва. Линейное пр‒воразмерности п, п ∈ ℕ, называется п‒мерным. 0‒епространство и n‒мерные пр‒ва называютсяконечномерными. Линейное пр‒во называетсябесконечномерным, если для ∀k ∈ ℕ в пр‒ве Ǝ kлинейно независимых векторов.

Пример: пр‒во М∞многочленов всех степеней.Т2 (о неполном базисе). В п‒мерном пр‒ве ∀ линейнонезависимую систему из k, где k < n, векторов можнодополнить до базиса.Док‒во. е1 ..., еп ‒ линейно независимая системавекторов пр‒ва V. Т.к. k < п => в силу T* система е1,..., еk не является базисом V => не порождает всегопр‒ва V. Пусть вектор еk+1 ∈ V не является линейнойкомбинацией е1, ..., еk => система векторов е1,...,еk, еk+1линейно независима (в силу Т**). Если k+1= п , то этасистема векторов образует базис V, если же k+1 < п, тоан‒но построим линейно независимую систему изk + 2 векторов.

За n ‒ k таких шагов мы построимискомый базис е1 ...,еk,…,еn. •Коэффициенты разложения вектора по базисуназываются координатами вектора в этом базисе.Пусть е = (е1, ...,еn) и f = (f1,…, fn) ‒ 2 базиса n‒мерногопр‒ва V. Векторы 2‒го базиса, как векторы пр‒ва V,разлагаются по базису е: f1 = c11e1 + . . . + cn1en….fn = c1n e1 + . .

. + cnn enКоэффициенты сij этих разложений образуют матрицуС = (сij) ∈ ℝ$×! перехода от базиса е к базису f.1°. Разложение вектора по базису единственно.2°. Координаты вектора обладают свойствомлинейности.3°. При переходе от базиса е к базису f = eCкоординаты вектора х изменяются : хе = C хf2 линейных пр‒ва V1 и V2 над общим полем Р называются изоморфными (VI ≅ V2), если Ǝ биективноеотображение φ: V1 → V2 , которое сохраняет законыкомпозиции, т.е.

если для ∀ х, у ∈ V1 и ∀ числа ∈ 1) '( + ) = '( + ')2) '( = '(.Само отображение φ называется изоморфизмомлинейных пространств. Св‒ва изоморфных пр‒тв:1°. Отношение изоморфизма ‒ отношениеэквива‒лентности на мн‒ве всех линейных пр‒тв надР.2°. В изоморфных пр‒ваха) образ (и прообраз) линейной комбинации векторовесть линейная комбинация образов (прообразов) стеми же коэффициентами;б) образ (и прообраз) 0‒го вектора есть 0‒й вектор;в) образ (и прообраз) линейно независимой системывекторов образует линейно независимую систему;г) образ (и прообраз) базиса есть базис.Док‒ва этих свойств опираются на определение иэлементарные св‒ва объектов.Т(критерий изоморфизма).

Характеристики

Тип файла PDF

PDF-формат наиболее широко используется для просмотра любого типа файлов на любом устройстве. В него можно сохранить документ, таблицы, презентацию, текст, чертежи, вычисления, графики и всё остальное, что можно показать на экране любого устройства. Именно его лучше всего использовать для печати.

Например, если Вам нужно распечатать чертёж из автокада, Вы сохраните чертёж на флешку, но будет ли автокад в пункте печати? А если будет, то нужная версия с нужными библиотеками? Именно для этого и нужен формат PDF - в нём точно будет показано верно вне зависимости от того, в какой программе создали PDF-файл и есть ли нужная программа для его просмотра.

Список файлов ответов (шпаргалок)