Шпаргалки (1106703), страница 6
Текст из файла (страница 6)
(3)Докажем их. Имеем у = Ах = A ( ∑!], (] -] =∑!], (] A-] = {в силу 1} = ∑!], (] ∑$+, +] .+ =!∑$+, x∑], +] (] y.+ . Из единственности разложениявектора у по базису f => (3). •Пусть е и t = eC ‒ два базиса пр‒ва V с матрицейперехода С, а f и s = f D ‒ два базиса пр‒ва W сматрицей перехода D. Одному и тому же ЛОА ∈ ℒ (V, W) в паре базисов e и f соответствуетматрица Аf e , а в паре базисов t и s ‒ матрица Аs t.Т2.
Матрицы Аf e и Аs t ЛО А ∈ ℒ (V, W) в различных‒1парах базисов связаны : Аs t = D Аf e C (4)Док‒во. Для ∀ х ∈ V и его образа у = А х в силу (2) :) = u ( и ): = u:£ (£ . Т.к. С и D ‒ матрицыперехода, то хе = С хt, уf = D уs => ¤): = u ¥(£ =>¤u:£ (£ = u ¥(£ . Т.к. это соотношение верно для ∀ хt ,то ¤u:£ = u ¥. В силу невырожденности матрицыперехода => (4). •2 матрицы А, В называются эквивалентными (А ~ В),если Ǝ невырожденные матрицы P и Q : A = PBQ.Квадратные матрицы А, В называются подобными,если Ǝ невырожденная матрица Q: A = Q‒1BQ.Сл1.
Матрицы ЛО в различных парах базисовэквивалентны.Сл2.Ранг матрицы ЛО не зависит от выбора базисов.Т3. 2 матрицы А и В над полем Р одинаковогораз‒мера m×n эквивалентны они являютсяматрицами одного и того же ЛО А ∈ ℒ (V, W), где Vи W ‒ линей‒ные пр‒ва над полем Р размерностей п ит соот‒но.Док‒во. Необх‒сть. Пусть А, В ∈ P m × п и В = D ‒1АС.Рассмотрим ∀ линейные пр‒ва V и W над полем Р :dim V = п, dim W = m. Возьмем в пр‒ве V ∀ базис е, а впр‒ве W ‒ базис f.
В силу взаимно однозначногосоответствия между P m × п и ℒ (V, W) (теорема: Пустьdim V = п, dim W = m. Тогда Ǝ взаимно однозначноесоответствие между линейными операторами из ℒ(V, W) и матрицами из P т × п) Ǝ ! ЛО А ∈ ℒ (V, W),который в паре базисов e и f имеет матрицу А =>согласно (4) матрица В будет матрицей этого жеоператора в паре базисов t = eC и s = f D.Дост‒сть рассмотрена в Т2. •Если W = V, то при переходе от базиса е к f =eQматрица оператора А ∈ ℒ (V, V) изменяется по закону:Af = Q ‒1 Ae Q. Т.о., одному и тому же ЛО А ∈ ℒ (V, V)соответствует целый класс матриц, подобных другn×пдругу.
Из Т3 => две матрицы А, В ∈ Pподобны они являются матрицами одного и того же ЛО,действующего в n‒мерном пр‒ве над полем Р.15. Линейное пр‒во ЛО и матриц.Суммой линейных операторов А, В ∈ ℒ (V, W)называется отображение С : V → W по правилу ∀ х ∈ VС х = А х + В х, ∀ х ∈ V: (А + В) х = Ах + В х (1)Произведение линейного оператора А ∈ ℒ (V, W) начисло α ∈ Р ‒ это отображение С : V → W по правилуС х = αА х, ∀ х ∈ V: (αА) х = αА х, ∀ х ∈ V. (2)Т1.
Для ∀ операторов А, В ∈ ℒ (V, W) и числа α ∈ Р :А + В ∈ ℒ (V, W), αА ∈ ℒ (V, W)Док‒во. Для ∀ х, у ∈ V согласно (1) имеем(А + В)(х + у) = А(х + у) + В(х + у).В силу линейности А, В и аксиом линейного пр‒ва(А + В)(х + у) = (А х + А у) + (В х + В у) = (А х + В х)+ (А у + В у) = (А + В)х + (А + В)у. Ан‒но показать,что (А + В)(λх) = λ((А + В)х) для ∀ х ∈ V, λ ∈ Р =>А + В ∈ ℒ (V, W)Так же доказывается, что αА ∈ ℒ (V, W) •С 1. Сложение операторов и умножение операторана число являются внутренним и внешним законамикомпозиции на множестве ℒ (V, W).Аксиомы линейного пр-ва: ∀, , ∈ и , ∈ 1.
+ = + 2. + + = + + 3. ∃ ∈ : + = + = 4. для ∀ ∈ ∃ − ∈ : + − = − + = 5. 1 ∙ = 6. = 7. + = + 8. + = + Т2. Множество ℒ (V, W) ‒ линейное пр‒во над полемР относительно введенных выше операций.Док‒во. Проверить аксиомы линейного пр‒ва, 0‒ойэлемент ‒ 0‒ое отображение О ∈ ℒ (V, W) ,противоположный к А ‒отображение ‒А ∈ ℒ (V, W)по правилу (‒А)х = ‒Ах, ∀ х ∈ V. Ассоциативность.Для ∀ А, В, С ∈ ℒ (V, W) и ∀ х ∈ V: ((А + В)+ С) х ==(А + В)х + Сх = (Ах + Вх) + Сх = Ах + (Вх + Сх),(А + (В + С))х = Ах + (В + С)х = Ах + (Вх + Сх ) =>(А + В) + С = А + (В + С).
•Пусть е = (е1,...,еп) и f = (f1,...,fm) ‒ базисы пр‒тв V и W.Из Т (Пусть е1, …, еп ‒ базис пр‒ва V, а q1, …,qп ‒произвольные векторы пр‒ва W. Тогда Ǝ ! ЛОА ∈ ℒ (V, W), который переводит векторы е1, ..., еп ввекторы q1, …, qп соответственно) => ЛОА ∈ ℒ (V, W) однозначно определяется заданиемвекторов е1,...,А еп. Но векторы А еi , i = 1, bоднозначно определяются своими координатами в f:u- = . + D .D … + $ .$ ,u- = D . + DD .D … + $D .$ , a Dn…u-! = ! . + D! .D … + $! .$Матрица оператора А в паре базисов е и f : D … !D DD … D! (4)u = …$ $D … $!2 линейных пр‒ва V1 и V2 над общим полем Ризоморфны (VI ≅ V2), если Ǝ биективное отображениеφ: V1 → V2 , которое сохраняет законы композиции,т.е.
если для ∀ х, у ∈ V1 и ∀ числа ∈ 1) '( + ) = '( + ')2) '( = '(.Т3. Если dim V = п, dim W = m, то линейное пр‒воℒ (V, W) изоморфно пр‒ву матриц P m × п.Док‒во. Зафиксируем базисы e и f пр‒тв V и W.Построим отображение φ : ℒ (V, W)→ P m × п, положивφ(А) = Аf e. Это отображение биективно в силутеоремы (Пусть dim V = п, dim W = m. Тогда Ǝвзаимно однозначное соответствие между ЛО изℒ (V, W) и матрицами из P т х п). Покажем, что оносохраняет законы композиции, т.е.
что(А + B)f e = Аf e + Bf e , (αА)f e = α Аf e(5)Пусть Аfe = (aij), Bfe = (bij) => согласно (3),$Аеj = ∑$+, +] .+ , Bеj = ∑+, +] .+ =>(А + B) ej = А ej + B ej = ∑$+, +] + +] .+ .По определению (4) отсюда => 1‒е из (5). Ан‒нопроверяется 2‒е соотношение. •С2. dim ℒ (V, W) = dim V · dim W16. Произведение ЛО и его матрица.Пусть V, W, Z ‒ линейные пр‒ва над полем Р.Произведением ЛО А ∈ ℒ (V, W), B ∈ ℒ (W, Z)называется отображение С : V → Z по правилуС х = В (А х), ∀ х ∈ V: (ВА)х = В(А х), ∀ х ∈ V.Т1. Если А ∈ ℒ (V, W), B ∈ ℒ (W, Z) , то ВА ∈ ℒ (V, Z)Док‒во. Линейность ВА: для ∀ х,у ∈ V и α ∈ Р(ВА)(х+у) = В(А(х+у)) = В(А х+А у)= В(А х)+В(А у)== ВА х+ВА у,(ВА)(αх) = В(А(αх)) = В(α(Ах)) = αВ(Ах) = α(ВАх) = =(αВА)х.
•Произведение ЛО определено не для любой пары ЛО.Но если это произведение имеет смысл, то:1) (АВ)С = А(ВС ) (ассоциативность);2) α (АВ) = (αА)В = А(αВ);3) (А + В)С = АС + ВС, А(В + С) = АВ + АС(дистрибутивность).Пусть е = (е1,...,еп) и f = (f1,...,fm) ‒ базисы пр‒тв V и W.Из Т (Пусть е1,…, еп ‒ базис пр‒ва V, а q1, …, qп ‒произвольные векторы пр‒ва W. Тогда Ǝ ! ЛО А ∈ ℒ(V, W), который переводит векторы е1, ..., еп ввекторы q1, …, qп соответственно) => ЛОА ∈ ℒ (V, W) однозначно определяется заданиемвекторов А е1, ...,А еп. Но А еi , i = 1, b однозначноопределяются коэффициентами разложений в f :u- = . + D .D … + $ .$ ,u- = D . + DD .D … + $D .$ , a DA…u-! = ! . + D! .D … + $! .$Матрица оператора А в паре базисов е и f : D … !D DD … D! (2)u = …$ $D … $!Т2.
При умножении ЛО их матрицы умножаются,т.е. если е, f, g ‒ базисы пр‒тв V, W, Z, то(ВА)g е = Вg f Аf е . (3)Док‒во. Пусть Аfe = (aij), Bgf = (bij), (BA)ge = (cij),dim V = п, dim W = m, dim Z = k => в силу (1)BAеj = ∑0+, +] s+ (4)В то же время BAеj = B (Aеj) = B x∑$:, :] .: y =0$= ∑$:, :] (B.: = ∑:, :] ∑+, +: s+ ==;$:, ;0+, :] +: s+ = ;0+, ;$:, +: :] s+Сравнение этого разложения с (4) приводит кравенству +] = ∑$:, +: :] , которое означает (3).17. Ядро и образ ЛО.
Каноническая пара базисов.Образ А ∈ ℒ (V, W): im А ={у ∈W | Ǝ х ∈V:А х = у}ядро А : ker A = { х ∈ V | А х = θ }Пр. 1. В пр‒ве многочленов Мп для операторадифференцирования D: Мп → Мn: (Dp(t)= р '(t)):im D = Мп‒1, ker D = М0.2. V = L1 ⨁ L2 . ЛО проектирования пр‒ва V на L1параллельно L2 : Р : V → V по правилу Р х = х1 длях ∈ V с разложением х = х1 + x2, где х1 ∈ L1 , х2 ∈ L2 .ЛО отражения пр‒ва V относительно L1 параллельноL2 : R : V → V по правилу R х = х1 ‒ x2 .Для оператора проектирования: im P = L1, ker P = L2Для оператора отражения: im R = V, ker R = {θ}Т1. Если А ∈ ℒ (V, W), то ker A ‒ линейное подпространство пр‒ва V, im А ‒ линейное подпространство пр‒ва W.для док‒ва проверить условия Т (Непустое подмножество L пр‒ва V является линейным подпространством этого пр‒ва имеют место импликации:1) a,b ∈ L =>a+b ∈ L, 2) a ∈ L, α ∈ ℝ => αa ∈ L).Ранг ЛО ‒ размерность его образа, дефект ‒ размерность ядра: rg A = dim im A , def A = dim ker AТ2.
Если е1, …, еп ‒ базис пр‒ва V, тоim A = ℒ (A е1, …, A еп) (1)Док‒во. Для множеств (1) 2‒стороннее вложение:1)если у ∈ im A, то у = Ах для некоторого х ∈ V, т.е.у=А ∑!+, (+ -+ = ∑!+, (+ Аei ∈ ℒ (A е1,…,A еп)2)если у ∈ ℒ (A е1, …, A еп), то у = ∑!+, (+ Аei ==А ∑!+, (+ -+ = Ах , т.е. у ∈ im A. •Т3. Ранг ЛО равен рангу его матрицы впроизвольной паре базисов.Док‒во.
Из Т2 и из dim ℒ (a1, ..., ak) = rg (a1, ..., ak) =>rg A=dim im A =dim ℒ (A е1, …, A еп) =rg (A е1,…,A еп)Ранг системы векторов A е1, …, A еп = рангу системывекторов, составленных из координат этих векторов вбазисе f пр‒ва W, т.е. рангу системы столбцовматрицы Аf е •Т4 (о ранге и дефекте). Если А ∈ ℒ (V, W), тоrg A + def A = dim V. (2)Док‒во. Пусть е1, … ,еk ‒ базис ker A.
Дополним его добазиса е1, … ,еk, еk+1, … ,еn пр‒ва V. Согласно Т2imA=ℒ (A е1, …,A еk , A еk+1, …, A еп)=ℒ(A еk+1, …,A еп)Докажем, что A еk+1, …, A еп линейно независимы.Пусть это не так => для нетривиальной линейнойкомбинации этих векторов:αk+1A еk+1 +…+ αnA еп = θ => A (αk+1 еk+1 +…+ αn еп )=θ=> αk+1 еk+1 +…+ αn еп ∈ ker A => вектор αk+1 еk+1 +…+αn еп линейно выражается через е1, … ,еk, чтоневозможно в силу линейной независимости е1, … ,еk,еk+1, … ,еn. Т.о., dim im A = n ‒ k, dim ker A = k => (2). •Т5. Пусть А ∈ ℒ (V, W), rg A = r, dim V = п, dim W =m.Тогда Ǝ базисы е и f пр‒тв V и W, в которыхт×поператор А имеет матрицу Ir ∈ P, в которой всеэлементы равны 0, кроме первых r диагональныхэлементов, равных 1.Док‒во.
Возьмем ∀базисы t и s пр‒тв V и W. Пусть Аst‒ матрица оператора А в паре базисов t и s => по Т3rg Аst = r. В силу теоремы (Любая ненулевая матрицаранга r эквивалентна матрице Ir) => матрицы Аst и Irэквивалентны => по теореме (Две матрицы А и В надполем Р одинакового размера m×n эквивалентны они являются матрицами одного и того ЛОА ∈ ℒ (V, W), где V и W ‒ линейные пр‒ва над полем Рразмерностей п и т соответственно.) они являютсяматрицами одного ЛО => утверждение теоремы. •Базисы е и f, в которых оператор А имеет матрицу Ir,называют канонической парой базисов.18. Линейные функционалы. Сопряженное пр‒во.Линейные функционалы и гиперплоскости.Линейное отображение f : V → Р линейного пр‒ва Vнад полем Р в это поле называется линейнымфункционалом в пр‒ве V.Пр.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
