Шпаргалки (1106703), страница 8

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 8)

ЛО, действующий в комплексном пр‒ве, имеетпростую структуру для каждого собственногозначения этого оператора геометрическая кратностьсовпадает с алгебраической.Док‒во. Пусть λ1, ..., λр, где λi ≠ λj при i ≠ j, ‒ все различныесобственные значения ЛО А ∈ ℒ (V, V) и пусть mk и sk ,k = 1, § ‒ алгебраические и геометрические кратности λk.Т.к.

V ‒ комплексное пр‒во, то dim V = m1 +…+ тр.Но 0 < dim WλK = sk ≤ mk , k = 1, § => (6) возможно sk =mk , k = 1, § •Ненулевой вектор‒столбец х ∈ Р n называется собственn×nным вектором матрицы А ∈ Р , если Ǝ λ ∈ Р: Ах = λх.Число λ называется собственным значением матрицы А,соответствующим собственному вектору х. Если е = (е1,...,еп) ‒ ∀ базис пр‒ва V, то для А ∈ ℒ (V, V): А х = λ х Aexe = λxe (7) => собственные значения ЛО А и егоматрицы в ∀ базисе е = (е1,... ,еп) совпадают, асобствен‒ные векторы матрицы Ае являютсякоординатными столбцами собственных векторовоператора А в этом базисе.

Характеристическиемногочлены оператора и его матрицы совпадают поопределению.nхnКвадратная матрица А ∈ Рназывается матрицейпростой структуры, если она имеет п линейнонезависимых собственных векторов. Из (7) => ЛОявляется оператором простой структуры его матрица в∀ базисе имеет простую структуру.Т5. Квадратная матрица является матрицей простойструктуры она подобна диагональной.Док‒во. Пусть А ∈ Р n х n ‒ заданная матрица.

Рассмотрим∀ линейное пр‒во V над Р размерности п. Зафиксируем впр‒ве V ∀ базис f. Пусть А ∈ ℒ (V, V) ‒ ЛО, матрицакоторого в базисе f совпадает с А, так что А = Аf (такойоператор Ǝ по Т (Пусть dim V = п, dim W = m. Тогда Ǝвзаимно однозначное соответствие между ЛО из ℒ (V, W)и матрицами из P т х п)).

Матрица А = Аf имеет простуюструктуру А ‒ оператор простой структуры по Т2 Ǝбазис е, в котором оператор А имеет диагональнуюматрицу (4) => А имеет простую структуру она идиагональная матрица (4) являются матрицами одного ЛО.При переходе от базиса е к базису f = eQ матрица‒1оператора изменяется по закону Аf =Q Аe Q . Эторавносильно их подобию.

•21. Характеристический многочлен ЛО. Условиесуществования собственных значений.Характеристическим многочленом матрицы А∈ P n × пназывается функция f (λ) = det (A ‒ λ I), λ ∈ P (1)Т1. Характеристический многочлен (1) матрицыА ∈ P n х п является многочленом п‒й степени от переменной λ над полем Р.n×пДок‒во. Пусть А = (aij) ∈ P=> − ¦D …!DDD − ¦ …D!¨.¦ = ¨¨…¨!!D … !! − ¦∀ элемент матрицы A ‒ λ I ‒ это многочлен от λстепени ≤ 1 => ∀ член det (A ‒ λ I) ‒ это многочлен отλ степени ≤ п => f (λ) ‒ многочлен от λ, степенькоторого ≤ п.

Покажем, что степень f (λ) в точности =п. Все члены det (A ‒ λ I) отличные от (a11 ‒ λ)( a22 ‒ λ). . . (an n ‒ λ), имеют степень, ≤ п ‒ 2, => в f (λ)n‒1nслагаемые, содержащие λ и λ , определяются толькочленом (a11 ‒ λ)( a22 ‒ λ) . . . (an n ‒ λ), который поформулам Виета имеет вид :(‒λ)n + (a11 + a22 + ... + an n) (‒λ)n‒1 + gn‒2(λ), где gn‒2(λ) ‒многочлен от λ степени не выше п ‒ 2. Т.о.,f (λ) = а0 + а1(‒λ) + а2(‒λ)2 + … + аn‒1(‒λ)n‒1 + (‒λ)n (2)является многочленом п‒й степени от λ над полем Р.

•З1. аn‒1 = a11 + a22 + ... + an n , а0 = f (0) = det А => в (2)а0 = det А, аn‒1 = tr A. (3)Т2. Характеристические многочлены подобныхматриц совпадают.Док‒во. Если матрицы A и B подобны, т.е. Ǝ‒1невырожденная матрица Q: A = Q BQ, то‒1‒1‒1| A ‒ λ I| = | Q BQ ‒ λ I | = | Q BQ ‒ Q λ I Q | =‒1= | Q (B ‒ λ I) Q | = | B ‒ λ I | •Сл. Все матрицы одного и того же ЛО имеютодинаковые характеристические многочлены.Характеристическим многочленом оператораназывается функция f (λ) = det (A ‒ λ I), λ ∈ PТ.к. все матрицы одного и того же ЛО имеютодинаковый определитель, равный определителюматрицы ЛО в произвольном базисе (det A = det Ae),то характеристический многочлен оператора совпадает с характеристическим многочленом матрицыэтого оператора в ∀ базисе.

Из следствия и 2‒горавенства (3) => след матрицы Ае ЛО А не зависит отвыбора базиса е => след оператора : tr А = tr АеЛинейное подпространство L пр‒ва V называетсяинвариантным подпространством относительнооператора А, если для ∀ х ∈ L : А х ∈ L. . Пусть L ‒подпространство, инвариантное относительноопе‒ратора А ∈ ℒ (V, V). Отображение А | L : L → L,определенное равенством (А | L )х = А х, ∀ х ∈ L,называется индуцированным оператором,порожденным оператором А или сужениемоператора А на L.Т3. Характеристический многочлен индуцированногооператора является делителемхарактеристи‒ческого многочлена порождающегооператора.=> из теорем (*) и (**) •Т4. Если V = L1 ⨁ ... ⨁ Lk ‒ прямая суммаподпро‒странств L1, …, Lk , инвариантныхотносительно оператора А ∈ ℒ (V, V ), тохарактеристический многочлен f (λ) оператора Аравен произведению характеристических многочленовf1(λ), ..., fk(λ) индуцированных операторов А | L1 ,...

, А| Lk:f (λ) = f1 (λ) ... fk (λ)(4)=> из теоремы (**) •Т5. Пусть V ‒ линейное пр‒во над Р. Число λ ∈ Рявляется собственным значением ЛО А ∈ ℒ (V, V) λ ‒ корень его характеристического многочлена.Док‒во. По определению число λ является собственным значением оператора А Ǝ вектор х:œ − ¦ℐ( = ,œ( = ¦(,am ( ≠ , a <=> m( ≠ ,¦∈¦∈ вырожденность оператора A ‒ λI при некоторомλ ∈ Р или det (A ‒ λI ) = 0 при некотором λ ∈ Р =>число λ является собственным значением оператора A оно является корнем характеристическогомногочлена оператора A, λ ∈ Р. •det (A ‒ λI ) = 0 ‒ характеристическое уравнениедля оператора А.Не во всяком поле многочлены имеют корни. Но валгебраически замкнутом поле ℂ комплексных чисел∀ многочлен степени n ≥ 1 с учетом кратности имеет пкорней => в соответствии с Т5 =>Т6.

Произвольный ЛО, действующий в п‒мерномкомплексном пространстве, имеет:1) п собственных значений, если каждое собственноезначение считать столько раз, какова его кратностькак корня характеристического многочлена;2) хотя бы 1 собственный вектор;3) на ∀ своем инвариантном подпространстве хотябы 1 собственный вектор (=> из того, чтоиндуци‒рованный оператор, как и ∀оператор,действующий в комплексном пр‒ве, имеетсобственный вектор, явля‒ющийся собственнымвектором основного оператора.З2. Т6 справедлива в вещественном пр‒ве для техоператоров, чьи характеристические многочленыимеют только вещественные корни.-------------------------------------------------------------* Пусть А ∈ ℒ (V, V) и L ‒ инвариантноеподпро‒странство относительно А.

Тогда Ǝ базиспр‒ва V, в котором матрица оператора А имеетквазитреугольную форму.** Если пр‒во V является прямой суммойподпро‒странств L1, ..., Lk , инвариантныхотносительно оператора А ∈ ℒ (V, V), то в пр‒ве V Ǝбазис, в котором матрица оператора А имеетu0uD , гдеквазидиагональную форму už = Ÿ…0u0матрицы А1, ...,Аk являются матрицамииндуцированных операторов А1 | L, ... , Аk | L вбазисах инвариантных подпространств L1, ..., Lk22. Собственное подпространство. Геометрическаяи алгебраическая кратности собств. значений.Пусть V ‒ линейное пр‒во над полем Р. Линейноеподпространство L пр‒ва V называется инвариантным подпространством относительно оператораА, если для ∀ х ∈ L : А х ∈ L. . Пусть L ‒подпространство, инвариантное относительнооператора А ∈ ℒ (V, V).

Отображение А | L : L → L,определенное равенством (А | L )х = А х, ∀ х ∈ L,называется индуцированным оператором,порожденным оператором А или сужениемоператора А на L. Ненулевой х ∈ V называетсясобственным вектором оператора А ∈ ℒ (V, V),если Ǝ λ ∈ Р: А х = λ х. (1)Число λ называется собственным значениемоператора А, соответствующим собственномувектору х. Множество всех собственных значенийоператора А называется спектром этого оператора.Пусть λ0 ‒ собственное значение оператора А.Множество Wλ0 = {х ∈ V | А х = λ0 х} (2)называется собственным подпространствомопе‒ратора А, отвечающим собственному значениюλ0.Wλ0 = ker (A ‒ λ0 I ) => собственное подпространствоявляется линейным подпространством пр‒ва V.

Из (2)=> собственное подпространство Wλ0 состоит из 0‒говектора θ и всех собственных векторов, отвечающихλ0 . Cобственное подпространство инвариантноотносительно оператора А . Размерность собственногоподпространства Wλ0 называется геометрическойкратностью собственного значения λ0, а кратностьλ0 как корня характеристического многочленаназывается его алгебраической кратностью.Т1.

Характеристики

Список файлов ответов (шпаргалок)