Шпаргалки (1106703), страница 7
Текст из файла (страница 7)
1. Простейший линейный функционал в пр‒ве V ‒отображение f : V → Р : f (x) = 0, где 0 ∈ Р.2. Отображение f : ℝ! → ℝ по правилу: если(х1, ..., хn) ∈ ℝ! , то f (x) = х1.3. В пр‒ве Мп вещественных многочленов степени ≤ плинейным функционалом является отображениеf : Мп →R по правилу: если р(t) ∈ Мп, то f (р) = р(1).Если е1, ..., еп ‒ базис пр‒ва V, то линейныйфункционал f ∈ ℒ (V, P), однозначно определяетсячислами α1 = f (e1), …, αn = f (en). Для ∀ х =∑!+, (+ -+ всилу линейности f : f (x) = α1 x1 + … + αn xn (1)(1) ‒ общий вид линейного функционала f в базисее1, ..., еп.
Числа α1,..., αn ‒ коэффициенты линейногофункционала f в базисе е1,..., еп .Мн‒во ℒ (V, P) всех линейных функционалов влинейном пр‒ве V образует линейное пр‒воотносительно операций сложения и умножения начисло: (f1 + f2) (x)= f1 (x) + f2 (x), (α f)(x) = α f (x)Линейное пр‒во всех линейных функционалов напр‒ве V называется сопряженным пр‒вом V* к пр‒вуV.Т1. dim V* = dim V .=> из Т (Если dim V = п, dim W = m, то линейноепр‒во ℒ (V, W) изоморфно пр‒ву матриц P m х п) и ееследствия (dim ℒ (V, W) = dim V · dim W), т.к. dim P= 1Сл. Всякое конечномерное линейное пр‒во изоморфносвоему сопряженному.=> из Т (2 линейных пр‒ва над общим полемизоморфны их размерности совпадают).Т2. Для ∀ линейного функционала f в евклидовом(унитарном) пр‒ве V Ǝ ! вектор h ∈ V:f (x)=(x, h), ∀х ∈ V.Док‒во.
Пусть е1,..., еп ‒ ОНБ пр-ва V и α1,..., αn ‒коэффициенты f в этом базисе => вектор h = ∑!+, + -+будет искомым в силу (1) и (В евклидовом(унитарном) пр‒ве скалярное произведение векторов( = ∑!+, (+ -+ , ) = ∑!+, )+ -+ , заданных своимикоординатами в базисе е, вычисляется по правилу(, ) = ∑!+, (+ )+ е ‒ ОНБ). Пусть еще вектор h1удовлетворяет требованиям теоремы => (х, h1) = (x, h),∀ х ∈ V, т.е. (х, h1 ‒ h) = 0, ∀ х ∈ V.
Т.к. h1 ‒ h ∈ V =>h1 ‒ h = θ => h ‒ единственный •Пусть L = ker f. Если L = V, то f ≡ 0 (0‒й илитривиальный).Пусть L ≠ V. Тогда Ǝ вектор x0 : f (x0) ≠ 0. Для ∀х ∈ Vнаходим: f (x ‒ αx0) = 0 при α = f (x) / f (x0) =>x = z + αx0, z ∈ L. α однозначно определяетсяусловием z ∈ L => V = L ⨁ L(х0) => dim 3} = 1.Рассмотрим Мс = {х ∈ V : f (х) = с}. Если f (х0) = с, то,Мс = х0 + L. Т.о., Мс ‒ линейное многообразие снаправляющим пр‒вом L, у которого дополнительноепр‒во имеет размерность 1. В таких случаях линейноемногообразие называется гиперплоскостью.Отображение f (х) →М (f) = {х ∈ V : f (х) = 1} являетсявзаимно‒однозначным соответствием междулинейными функционалами и гиперплоскостями.Пусть dim V = п и е1, …, еп ‒ базис в V => ∀ линейныйфункционал имеет вид:f (х1е1 + ...
+ хnеn) = с1х1 + ... +сп хп, где сi = f (еi).Т.о., ∀ гиперплоскость в n‒мерном пр‒ве имеет видс1 х1 + ... +сп хп = c, где х1, …, хп ‒ координатыразложения вектора по выбранному базису.19. Обратный оператор и критерий обратимости.Отображение f : X →Y называется:‒ инъективным, если из x1 ≠ x2 => f (x1) ≠ f (x2);‒ сюръективним, если im f = Y;‒ биективным, если оно инъективно + сюръективно,т.е. f (x) = y при ∀ y ∈ Y имеет единственное решение.Пусть А ∈ ℒ (V, V).
Отображение А ‒1 : V → Vназывает обратным оператором к оператору А, еслиА А ‒1 = А ‒1А = I, (1)тождественный ЛО I : V → V , ∀ х ∈ V переводит в хТ1. ЛО А ∈ ℒ (V, V) обратим он биективен.Док‒во. 1)Необх‒сть. Пусть А обратим, докажем егобиективность. Если он не инъективен, то Ǝ x1, x2 ∈ V :x1 ≠ x2 и А х1 = А х2 => х1 = I х1 = А ‒1А (х1) == А ‒1 (А х1) = А ‒1 (А х2) = А ‒1А (х2) = I х2 = х2.‒1‒1Пусть ∀ х ∈ V => х = I х = А А (х) = А (А х) == А y, y ∈ V => А ‒ сюръективен => он биективен.2)Дост‒сть. Пусть А ‒ биективен, тогда для ∀ y ∈ VƎ ! прообраз х ∈ V (А х = y). Построим отображениеА ‒1: V → V, положив А ‒1y = x => для ∀ y ∈ V имеем:А А ‒1 (y) = А (А ‒1 y) = А x = y => А А ‒1 = I. А для‒1‒1‒1∀ х ∈ V имеем: А А (x) = А (А x) = А y = x =>А ‒1А = I => (1) => А обратим.Т2. Обратный оператор единствен.Док‒во.
Пусть А1‒1 и А2‒1 ‒ 2 обратных оператора к А‒1‒1‒1‒1‒1‒1‒1‒1=>А1 =А1 I =А1 (А А2 ) =(А1 А) А2 =I А2 =А2Т3. Обратный оператор линеен.Док‒во. Пусть А ∈ ℒ (V, V). Покажем, что обратныйоператор А ‒1, если он Ǝ, является ЛО, действующимв пр‒ве V. А обратим => он биективен и сюръективен=> для ∀ y1, y2 ∈ V Ǝ х1, х2 ∈ V : у1 = Ах1, у2 = Ах2.Т.к. х1 = А ‒1у1, х2 = А ‒1у2 => А ‒1(y1 + y2) = А ‒1(Ах1 +Ах2) = А ‒1А(х1 + х2) = х1 + х2 = А ‒1у1 + А ‒1у2.‒1‒1‒1Ан‒но, А (αу1) = А (αАх1) = А А(αх1) = αх1 == α А ‒1у1, ∀ α ∈ Р •Т4. Матрица обратного оператора А ‒1 впроизвольном базисе является обратной к матрицеоператора А в этом же базисе.Док‒во.
Пусть е ‒ ∀ базис пр‒ва V и для оператораА ∈ ℒ (V, V) Ǝ обратный оператор А ‒1. Перейдем вравенствах (1) к матрицам операторов в базисе е. ПоТ (При умножении ЛО их матрицы умножаются,т.е. если е, f, g ‒ базисы пр‒тв V, W, Z, то(ВА)gе = Вgf Аfе (2) ) получим, что Ае(А ‒1)е = (А ‒1)еАе = I. Эти равенства совпадают с определениемобратной матрицы для Аe. Т.о., (Аe)‒1 = (А‒1)e •Оператор А ∈ ℒ (V, V) невырожденным, если его ядросостоит только из 0‒го вектора: ker А ={ θ }, ивырожденный в противном случае.Т5. В конечномерном пр‒ве V следующиеутверждения равносильны: для А ∈ ℒ (V, V)1) А А ‒1 = I5) det А ≠ 02) А ‒1А = I6) А обратим;3) А не вырожден7) А биективен.4) im А = VДок‒во.
1 2 5 6 7. Пусть е = (e1,... ,еn) ‒ ∀базис пр‒ва V. В силу (2) У1 Ае (А ‒1)е = I сучетом теоремы о единственности обратной матрицыАе (Ае)‒1 = (Ае)‒1 Ае = I, эквивалентным (в силу (2))равенствам (1) и (по Т (Матрица обратима она невырождена)) условию det Ае ≠ 0. Это доказывает1 5, 1 2, 1 6 и, согласно Т1, 1 7.1 3 4. У1 в силу det Ае ≠ 0 rg А = n => в силу(rg A+def A=dim V) def А = 0. rg А = n => dim im А =dim V => im А = V по Т о монотонности размерности(Размерность линейного подпространства непревосходит размерности пр‒ва. Подпространствотой же размерности, что и все пр‒во, совпадает спр‒ом.).
Это доказывает 1 4. def А = 0 =>dim ker А = 0. Это доказывает 1 3. •Т6. Произведение обратимых операторов обратимо,при этом (AB )‒1 = B ‒1A ‒1.Док‒во. Докажем, что произведение обратимыхоператоров биективно. Пусть А, В ∈ ℒ (V, V) ‒обратимы => они инъективны и сюръективны. Изинъективности => для ∀x1, x2 ∈ V : x1 ≠ x2 =>А х1 ≠А х2=> B (А х1) ≠ B (А х2) => (B А ) х1 ≠ (B А ) х2. Изсюръективности => для ∀ z ∈ V Ǝ y ∈ V: z = B y, нодля этого y Ǝ x ∈ V: y = А x => ∀ z ∈ V Ǝ x ∈ V:z = BА x => оператор BА биективен => обратим.(AB ) (B ‒1A ‒1) = A (B B ‒1 ) A ‒1 = A A ‒1 = I.(B ‒1A ‒1) (AB ) = B ‒1(A ‒1 A )B =B ‒1 B = I.
•С1. Умножение ЛО является алгебраическойоперацией на множестве всех обратимыхоператоров, действующих в пр‒ве V .20. Собственные значения и векторы. Операторыпростой структуры и диагонализуемые матрицы.Пусть V ‒ линейное пр‒во над полем Р. Ненулевой векторх ∈ V называется собственным вектором оператораА ∈ ℒ (V, V), если Ǝ λ ∈ Р: А х = λ х. (1)Число λ ‒ собственное значение оператора А, соответствующее собственному вектору х.
Множество всехсобственных значений оператора А ‒ спектр оператора.Из определения => если х ‒ собственный вектор оператораА, отвечающий собственному значению λ, то ∀ αх, гдеα ≠ 0, также будет собственным вектором оператора А,отвечающим тому же собственному значению λ => ∀ собственный вектор порождает 1‒мерное подпространствособственных векторов, из которого исключен вектор θ.Т1. Собственные векторы х1, …, xk оператора,отвечающие различным собственным значениям λ1, ..., λk ,линейно независимы.Док‒во.
Индукция по k. Для k = 1 верно, т. к. собственныйвектор ненулевой по определению. Пусть верно для ∀системы из k ‒ 1 векторов. Докажем для k векторов х1, …,xk . Пусть α1 х1 + . . . + αk хk = θ (2)Под действием А : α1 λ1 х1 + . . . + αk λk хk = θ (3).(3)‒ λk ·(2) : α1 (λ1 ‒ λk ) х1 + . .
. + αk‒1 (λk‒1 ‒ λk ) хk‒1 = θИз индуктивного предположения => α1 = . . . = αk‒1 = 0 =>αk хk = θ. Т.к. хk ≠ θ, то αk = 0 => в (2) все αi = 0 => х1, …, xkлинейно независимы. •С1. ЛО, действующий в п‒мерном пр‒ве, не может иметьболее чем п различных собственных значений.ЛО А ∈ ℒ (V, V) называется оператором простойструктуры, если в пр‒ве V Ǝ базис из собственныхвекторов оператора А.Т2.
ЛО А ∈ ℒ (V, V) имеет простую структуру в пр‒веV Ǝ базис, в котором он имеет диагональную матрицу.Док‒во. Пусть dim V = n. Из определения => оператор Аимеет простую структуру он имеет n линейнонезависимых собственных векторов е1, ..., еп Ǝ базисе1,..., еп, в котором матрица оп‒ра А имеет вид¦ 0¦D <u = …0¦!где λ1, ..., λn ‒ собственные значения, соответствующиесобственным векторам е1, …,еп. •С2. В п‒мерном пр‒ве ЛО, имеющий п различныхсобственных значений, является оператором простойструктуры.В соответствии с (4) оператор простой структурыназывают диагонализуемым оператором.Пусть λ0 ‒ собственное значение оператора А. МножествоWλ0 = {х ∈ V | А х = λ0 х} называется собственнымподпространством оператора А, отвечающимсобственному значению λ0 .Размерность собственного подпространства Wλ0 ‒геометрическая кратность собственного значения λ0,а кратность λ0 как корня характеристического многочлена‒ его алгебраическая кратность.Т3.
ЛО А ∈ ℒ (V, V) имеет простую структуру все егособственные подпространства в прямой сумме дают всепр‒во V: Wλ1 ⨁ ... ⨁ WλP = V (5)Док‒во. Необх‒ть. Пусть А имеет простую структуру =>в пр‒ве V Ǝ базис е1, ..., еп, состоящий из собственныхвекторов оператора А. Каждый вектор этого базисапринадлежит некоторому собственному пространству WλK=> Wλ1 + ...
+ WλP = V. Но эта сумма является прямой в силутеоремы (Сумма собственных подпространств оператора, отвечающих различным собственным значениям,является прямой суммой.).Дост‒ть вытекает из критерия прямой суммы :совокупность базисов собственных подпространствWλ1 , ..., WλP образует базис V => пр‒во V имеет базис изсобственных векторов оператора А. •З1. На основании критерия прямой суммы условие (5) dim Wλ1 + ... + dim WλP = dim V (6)Т4.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
