Шпаргалки (1106703), страница 14
Текст из файла (страница 14)
В унитарном пр‒ве утверждениеозначает, что все собственные значения эрмитоваоператора вещественны, и вытекает из А х = λх иА х = λх с учетом Т (Собственный векторнормаль‒ного оператора, отвечающий собственномузначению λ, является собственным векторомсопряженного оператора, отвечающим собственному значению λ). Докажем для евклидова пр‒ва Е.Пусть е ‒ ОНБ Е, тогда Ае ‒ самосопряженная(вещественная) матрица. Рассмотрим ∀ унитарноепр‒во U (dim U = dim E), и в нем ∀ ОНБ f. Тогдаматрице Ае отвечает самосопря‒женный оператор В ∈ℒ(U, U ), для которого Ае явля‒ется матрицей в базисеf : Ае = Вf => характеристи‒ческие многочлены А и Всовпадают и по доказанно‒му выше (применительно кВ ) все корни характери‒стического многочленаоператора А вещественны.Дост‒сть.
Пусть А ‒ нормальный оператор и всекорни его характеристического многочленавещественны => в евклидовом пр‒ве Ǝ ОНБ е1,..., еп изсобственных векторов оператора А. Если ( = ∑!+, (+ -+‒ ∀ вектор пр‒ва, то ( = ∑!+, (+ ¦+ -+ и ∗ ( = ∑!+, (+ ¦+ -+ = ∑!+, (+ ¦+ -+ т.к. ¦+ ∈ ℝ =>А х = А*х, ∀х ∈ V => А = А*.
•Подобные вещественные матрицы А и В = Q‒1 АQортогонально подобны, если матрица преобразованияподобия Q ортогональна: Q QT = QT Q = I.Соотношение подобия: В = QT А Q.Из T1 => оператор, действующий в евклидовом пр‒ве,является симметрическим Ǝ ОНБ, в котором егоматрица имеет вещественную диагональную форму,или : квадратная вещественная матрица являетсясимметрической она унитарно подобнавещественной диагональной матрице.ЛО А ∈ ℒ(V, V) в евклидовом пр‒ве Vкососимме‒трический, если А* = ‒А. Квадратнаявеществен.
матрица кососимметрическая, если АТ =‒А .Из определения => оператор А кососимметричен его матрица в ∀ ОНБ пр‒ва кососимметрична.Т2(эрмитово разложение ЛО). ЛО А в евклидовомпр‒ве можно представить, и притом единственнымобразом, в виде суммы симметрического оператора Ви кососимметрического оператора С : А = В + С (1)Док‒во.
Положим B = ½ (А + А*), C = ½ (А ‒ А*) (2)=> В * = В, С * = ‒С и А = В + С . Единственностьтакой пары операторов следует из того, что для ∀другой пары операторов В1 и С1 таких, что В1* = В1 ,С1* = С1 и А = В1 + С1 имеем А* = В1 ‒ С1 или½ (А + А*)= В1 , ½ (А ‒ А*) = С1 т.е. в силу (2)В1 = В , С1 = С •Т3.
ЛО А ∈ ℒ(V, V) в евклидовом пр‒ве нормаленоператоры В и С в эрмитовом разложении (1)этого оператора перестановочны.Док‒во. Если А = В + С, то А* = В ‒ С иАА* = В 2 ‒ ВС + СВ ‒ С 2, А*А = В 2 ‒ СВ + ВС ‒ С 2,т.е. АА* ‒ А*А = 2 (СВ ‒ ВС ) =>АА* = А*А СВ = ВС.37.
Унитарные операторы и унитарные матрицы.ЛО U, действующий в унитарном (евклидовом) пр‒ве,‒ унитарный (ортогональный), если U*U =U U *=I.Из определения =>1°. Оператор U унитарен (ортогонален) в ∀ ОНБ онимеет унитарную (ортогональную) матрицу:U U H = U H U = I (U U Т = U Т U = I )2°. Для унитарного (ортогонального) U : | det U | = 13°.
Унитарный (ортогональный) оператор нормален,т.к. U*U = U U *Т1 (критерии унитарности). В унитарном(евклидо‒вом) пр‒ве V следующие утвержденияравносильны:1) оператор U унитарен (ортогонален);2) U*U = I3) U U * = I4) оператор U сохраняет скалярное произведение :(U x, U y) = (x, y) ∀(, ) ∈ 5) оператор U сохраняет длину : | U x| = |x|, ∀( ∈ 6) оператор U переводит ∀ ОНБ V в ОНБ;7) оператор U переводит хотя бы 1 ОНБ V в ОНБ.Док‒во. 1 <=> 2 <=> 3.
Из U*U = I или U U * = I =>невырожденность U и существование U ‒1 .Умножение этих равенств на U ‒1 (справа или слева)‒1приводит к U * = U => 2 => 1, 3 => 1. Переход1 => 2, 1 => 3 из определения.1 => 4. U*U = I => (U x, U y) = (x, U*U y) = (x, y)∀(, ) ∈ 4 => 1. (x, U*U y) = (U x, U y) = (х, у), ∀(, ) ∈ =>U*U = I на основании Т (Если А, В ‒ ЛО из ℒ(V, W)и (А х, у) = (В х, у), ∀х ∈ V, у ∈ W, то А = В).4 => 5. | U x| = UÎ (, Î ( = U(, ( = |x| ∀( ∈ 5 => 4. Это следует из соотношений:(х, у) = (|х + у|2 ‒ | x |2 ‒ | y |2)/2 в евклидовом пр‒ве и(х, у) = (|х + у|2 ‒ |х ‒ у|2 + i |х + i y|2 ‒ i |х ‒ i y|2)/4 вунитарном пр‒ве.4 => 6.
Очевидно, т.к. (U ei , U ej ) = (ei , ej) = δi j6 => 4. Если e1, ..., en ‒ ОНБ V и ( = ∑!+, (+ -+ ,) = ∑!+, )+ -+ , то Î( = ∑!+, (+ Î-+ , Î) = ∑!+, )+ Î-+ ит.к. U e1, ..., U en ‒ ОНБ, то, согласно (**),(U x, U y) = ∑!+, (+ )+ = (x, y) ∀(, ) ∈ 6 => 7. Очевидно.7 => 6. Этот переход доказан в п. 6 => 4. •С. Унитарный (ортогональный) оператор на ∀инва‒риантном подпространстве индуцируетунитарный (ортогональный) оператор, т.к. сохраняетскалярное произведение ∀ пары векторов этогоподпр‒ва.Т2 (спектральная характеристика унитарногооператора).
Нормальный оператор в унитарномпр‒ве унитарен все его собственные значения помодулю равны 1.Док‒во. Необх‒сть справедлива в унитарном иевклидовом пр‒ве и означает, что все собственныезначения унитарного (и ортогонального) оператора Uпо модулю равны 1. Докажем это. Пусть х ‒собствен‒ный вектор оператора U и λ ‒ отвечающееему соб‒ственное значение => (U x, U x) = (λ x, λ y) = |λ |2 (x, x) Но (U x, U x) = (x, U*U x) = (x, x) => | λ | = 1.Дост‒сть. Если U ‒ нормальный оператор, то покритерию нормальности (Оператор, действующий вунитарном пр‒ве, нормален Ǝ ОНБ из собственныхвекторов этого оператора) в пр‒ве V Ǝ ОНБ е1, ..., епиз собственных векторов оператора U => для∀( = ∑!+, (+ -+ ∈ : Î( = ∑!+, (+ ¦+ -+ , | λi | = 1, i = 1, b.В силу ортонормированности базиса е согласно (**)=> (х, х) = ∑!+, |(+ |D и (U x, U x) = ∑!+, |¦+ |D |(+ |D == ∑!+, |(+ |D => |U x | = |х|, ∀( ∈ , и U ‒ унитарныйоператор (из T1: 5 =>1).
•Т3. Если подпространство L инвариантно отн‒ноунитарного (ортогонального) оператора U, то егоортогональное дополнение 3} также инвариантноотносительно U.Док‒во. Пусть у ∈ 3} . Покажем, что U у ∈ 3} , т.е.(х, U у) = 0, ∀( ∈ 3. Оператор U индуцирует наподпространстве L унитарный (ортогональный)оператор U |L=> оператор U |L обратим и его образсовпадает со всем подпространством L , т.е.im U |L = L (Т*) => для ∀( ∈ 3 Ǝ ( ∈ 3 : х = U х1 =>(x, U y) = (U х1, U y) = (х1, y) = 0, т.к. ( ∈ 3, у ∈ 3} .
•Из того что унитарный оператор нормален и все егособственные значения по модулю = 1 => в пр‒ве V ƎОНБ е, в котором матрица унитарного оператора Uимеет диагональную форму¦ 0¦D , где | λi | = 1, i = 1, b = …0¦!или: квадратная комплексная матрица унитарна когда она унитарно подобна диагональной матрице, укоторой все диагональные элементы по модулю = 1.*: В конечномерном пр‒ве V следующие утвержденияравносильны: для А ∈ ℒ (V, V)‒11) А А = I5) det А ≠ 02) А ‒1А = I6) А обратим;3) А не вырожден7) А биективен.4) im А = V**: В евклидовом (унитарном) пр‒ве скалярноепроизведение векторов ( = ∑!+, (+ -+ , ) = ∑!+, )+ -+ ,заданных своими координатами в базисе е,вычисляется по правилу (, ) = ∑!+, (+ )+ е ‒ ОНБ38. Блочно ‒диагональная форма ортогонал.
матрицы.ЛО Q, действующий в евклидовом пр‒ве, называетсяортогональным, если Q*Q = Q Q * = I. Из определения:1°. Оператор Q ортогонален в ∀ ОНБ он имеетТТортогональную матрицу: QQ = Q Q = I2°. Для ортогонального оператора Q | det Q | = 1 (1)3°. Ортогональный оператор нормален, т.к.
Q*Q = Q Q*Пусть Q ‒ ортогональный оператор, действующий вевклидовом пр‒ве Е. По Т (Нормальный оператор вунитарном пр‒ве унитарен все его собственныезначения по модулю равны 1 ) и равенству (1) для егособственных значений λ и определителя (т.к. λ ∈ ℝ,det Q ∈ ℝ) имеем: λ = ±1, det Q = ±1 (2)В ∀ ОНБ е оператор Q имеет ортогональную матрицу Qe‒1T=> Qe = Qe(3)1. В 1‒мерном пр‒ве матрица ортогонального оператора Qимеет вид: Qe = [±1](4) => Qe = I либо Qe = ‒I.2. В 2‒мерном пространстве матрица ортогонального ¾,оператора Q имеет вид: Qe =½8 Ï 8 µ ¾ = ± Ï ³ , и, с учетом (2) ипричем в силу (3) ½8 Ï µ = |Ð| Ñ, где Ñ ‒ присоединенная матрица имеем 8Ï −¾ = ± Ï ³ (5)±½−8 8Ï −¾ = ± Ï ³ =>а) Если det Q = 1, то (5) означает ½−8 DD¾, + = 1Qe =½− Положив α = cos φ, β = ‒ sin φ, получимcos φ − sin φ¾Qe =½(6)sin φ cos φ 8−Ï ¾ = ± Ï ³ =>6)Если det Q = ‒1, то (5) означает ½8 − DD¾ , + = 1; при этом f (λ) = det (Qe ‒ λ I ) =Qe =½− =λ2 ‒ 1 => оператор Q в 2‒мерном пространстве имеет 2различных собственных значения: λ1 = 1, λ2 = ‒ 1, и длянего Ǝ ОНБ f , в котором его матрица имеет вид1 0³Qf = ±(7)0 −1Т1.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
