Д.В. Сивухин - Общий курс физики, Т2. Термодинамика и молекулярная физика (1106322), страница 76
Текст из файла (страница 76)
7. Найдем еще выражение для энтропии идеального паза через функцию распределения в классической статистике. С этой целью разделим фазовое пространство молекулы на ячейки с равными фазовыми объемами га12. Среднее число частиц в 1-й ячейке будет М; = %2'1е,) 2122.
Подставляя в !г82.7) и принимая во внимание, что !п 2122 есть величина постоянная, получим ,8 = — lсДг ~~ )'(вг) !гг !(в;) 2112+ сопя!, или, заменяя сумму ингегралом, !82.! 4) В = — йгх' 2"!в) !п !!в) д22+ сонэ!. 8. Заметим. наконец. что формула (82.1!) применима для статистического описания не только отдельных молекул, но и макроскопических систем. Возьмем болыпую изолированную макроскопическую систему Х, которую можно мысленно разделить на одинаковые малые, но макроскопичегкие подсистемы гг, слабо взаимодействующие можду собой. Ьлагодаря такому взаимодействию подсистемы могут обмениваться энергией и находиться в различных квантовых состояниях с энергиями вг. !( подсистемам применихгы все рассуждения, приведенные вьппе для отдельных молекул. Среднее число подсистем, находящихся в 1-м квантовом состоянии, будет по-прежнему определяться формулой (82.11).
Но равновесное состояние подсистемы не зависит от того, какой средой она окружена, а зависит только от температуры этой среды. Поэтому можно изменить постановку вопроса. Пусть и — произвольная макроскопическая система, окруженная любой протяженной средой. томпература которой поддерживается постоянной. Такую среду яазывают термостагггом, а о и говорят как о «системе в термостате». Форлгула !82.1!) ггрименима и к этому случаю. Число гу; определяет относительную вероятность того.
что система и при термодинамическом равновесии находится в 1-м квантовом состоянии. Понимаемая в таком смысле формула !82.1!) называется нлггоиичесьчгм рлсггредеяепиг и! иббсв, Это распределение представляет наиболее общую и удобную основу для построения статистической механики. В частности, на основе распределения Гиббса можно получить и формулу (81.1б) для среднего квадрата флуктуации энергии подсистемы !нозависихго от того, является ли энергия непрерывной.
или может принимать только дискретные значения). Действительно, и в этом случае полностью сохраняют силу все рассуждения, приведенные ) Гл. 'я'1 Стапсссстссчсснссе распределен>ля в з о1, п. б. Надо только в этих рассуждениях все интегралы заменить суммами. Но это — чисто формысьный момент, не затрагивающий существа вопроса. Б 83. Статистики Ферми — Дирака и Бозе — Эйнштейна 1. Согласно современной квантовой теории все элементарные и сложныо частицы разделяются на два класса. К первому классу относятся электроны, протоны, нейтроны и все частицы с так называемым полрцглым спинам, Эти частицы подчяняются сопсппитике ФсумиДоралссс.
Они называются фс>мссонссмсс. Ко второму классу относятся фотоны, к- и К-ыезоньс и все частицы с целим свином. Эти састицы называются бозоналси. Никаких других возможностей кнантовая теория не допускает. Статистика Больцмана, изложенная в предыдущем параграфе, является приближенныл| предельным случаем, в который переходят прн определенных условиях статистики Ферми-Дирака н Бозе — Эйясптейна. В настоящем томе нам почти ссе придется применять зти квантовые статистики.
Но, учитывая их важность в самых различных разделах современной физики, необходимо уже здесь, насколько это возмо>кно, изложить их физические 1точнее, статистические) основы. 2. Во всех трех статистиках допустимые микросостояния принимаются равновероятнымн. Но статистики отличаются друг от друга тем, как они определяют микросостояния и статистические веса макросостояний. Статистика Больцмана стоит на точке зрения принциписльной р>злсс тмотпи частив„даже когда частицы абсолютно тождественны. Если частица Л находится в квантовом состоянии 1, а частица  — в квантовом состоянии и, то получится новое микросостояняе, когда эти частицы поменяются месталси, т.
е, частица Л перейдет в состояние и, а частица В в состояние 1. Квантовые статистики Ферлш-Дирака и Бозе "Эйнштейна, наоборог, принимают, что прн такой перестановке никаких изменений не произоссдет — получится в точности то же мнкросостояние. Обе эти статистики стоят на точке зрения ссриссципиольной нсуазличимослаи тозюдсствсипых чассссссц.
Различие между статистиками Ферми — Дирака и Бозе-Эйнпггейна состоит в следуюисем. В стаптсспикс Ферми-Дираксс ссрипичаессюл, что в казн.дом квасстоволс сосгаояиии лсозютп иаходсппься, не более одной чатэтцы. Отсгтисспика Воза-ЭйсстсссеХлна подобных, озраничений нс накладьсваст. Она допйсксссссс, чпсо в каждом л;ванпсовом состоянии мозюесп находится любое число частиц. Столь разли юное поведение базанов и фсрмионов обосновывается в квантовой механико теории поля.
Здесь об этом говорить прежденременно. Для пояснения рассмотрим две тождественнью частицы Л и В, которые требуется распределить по трем квантовым состояниям. Состояния будем изображать клетками. Все равновозлюжные случаи, допускаемьн, статистикой Больцмана, представлены на рис. 70, слева. ( Гл.
'»'! Стапнлетнчеение Гиепредеаеннл следующая. Имеется 7 квартир, требуется определить число способов заселения их Х людьми. При этом предполагается, что люди «обезличены», так что ие имеет значения, какой именно человек поселится в той или иной квартире. Решим эту задачу сначала для фермионов. В этом случае должно быть Я ) Х, так как нри >У ) еб фермионы разместить ио квантовым состояниям нельзя, поскольку в каждом квантовом состоянии может находиться не более одного фермиона. Изобразим все»2 квантовых состояний клетками (рис. 71). В заполненной клетка поставим темный кружок, в свободной— Рис.
71 светлый. Произведем затем всевозможные перестановки между У элементами: !у тсмнымн и (Г>' — >у) светлычи кружками. В резульгате получатся всевозможные распределения точек ио клеткам. Число таких распределений будет е'!. Однако это число надо уменынить в !у. 'раз. так как перестановки между телшыми кружками не приводят к новым распределениям. Кроме того, его надо уменьшить еще в (еб — >у)! раз, поскольку перестановки между светлыл>и кружками также не приводят к новым распре![слепням.
В резулыате для числа «расселений» Х фермионов но " квантовым состояниям получаем 2! !у!(я — х)! Допустим теперь, что частицами являются бозоны. В этом случае соотношение между шслами еб и Д! может быть каким угодно. Снова изобразим кваитовыс состояния Е клетками, разделенными друг от друга Л вЂ” 1 перегородками (рис. 72). Концы крайних клеток оставим свободными. Разл~естим в этих клетках совершенно произвольно все частиРие. 72 цы — точки. Получим l -Г % — 1 элементов; >У частиц и У. — 1 перегородок.
Произведем всевозможные оерестановкн между этими элементами. Получим всевозможные распределения >У частиц по»' клеткам. Однако это число надо уменьшить в !У! раз„так как перестановки между частицами не приводят к новым распределениям. Кроме того, его надо уменыиить еще в (У вЂ” Ц! раз, поскольку перестановки между перегородками также не приводят к новым распределениям. В результате для числа распределений Л' бозонов но Е квантовым состояниям получим выражение (У, »-Х- 1)! 1У!(»2 — 1)! (83.2) 4. Перейдем теперь к выводу распределений Ферл>и-Дирака и Бозе — Эйнштейна.
Мы имеем в виду идеальный газ, состоящий из фермионов или бозонов, иомеи1енный в сосуде неизменного объема с твердыми, непроницаемыми адиабатическими стенками. Прежде всего з 83) Стаптггвани Ферма-е2нрака и Бове-Эйнштейна зоз Я;1 (У, т Ж; — 1)! "-'- ~й(Х, Х,)! """ ° — %8(УО 1)! для фермионов и базанов соответственно. Перемножая все С;, найдем статистический вес рассматриваемого макросостояния всего газа. Та- ким образом, для фермионов (83.3) а для бозонов 1- (3;-~ Ю; х х а',1(3, (83.4) Задача состоит в том, чтобы найти наиболее вероятные распределения, обращающие в максимум выражения (83.3) и (83.4) прн дополнительных условиях (82.2) и (82.3).
Предполагая, что велики не только Еь но и все ~У;. поступаем так же, как и в статистике Больпмана. Применяя формулу Стирлинга, находим энтропию газа из фермионов и базанов: Бф = — й ~~ (Л';1п Х; + (Л; — М;) 1п(ем — ~М,)) + сопв1, (835) Яа = Й ~ ~((Л, + Х; — 1) 1п(У, + %, — 1) — Ж,1п %,] + сопза (83.6) Из условия максимума с учетом (82.2) получаем ~1п,, пХ; = О (для фермионов), Е Х, 1п, ' дХ, = О (для базанов). надо решить,как характеризовать макросостоянне газа. С этой целью разделим все квантовые состояния частицы на узкие энергетические слои. Каждый слой состоит из квантовых состояний с одияаковыл|н или очень близкими значениями энергии частицы.
Энергии квантовых состояний в 1-м слое заключены в интернале (е;, е; + бее). Нет необходимости точно фиксироватыпирины слоев деь Достаточно потребовать, чтобы выполнялось условие бе; «е,. Кроме того, число квантовых состояний У; в энергетическом слое должно быть очень велико. Макросостояние газа характеризуется заданием чисел частиц %; в каждом энгргетичоском слое. Понятно, что любая перестановка частиц в слое не меняет ни микро-, ни макросостояние.
Определим теперь число мнкросостояний, с помощью которых может быть осуществлено рассматриваемое макросогтояние газа с фиксированными числами Хь т.е. статистический вес С этого макросостояния. Число способов, которыми можно распределить Ж, частиц по Ее квантовым сосгояниям е';го слоя. будет (Гл. У! Статпстпчсснпс распределения 310 Эти соотношения отличаются от первого соотношения (82.8) только 5У, Х; тем. что вместо !п у, в них стоят !и, и !и,, 1!озтому 5ат5У, — 1' ио аналогии с (82.9) можно сразу написать 5н — Х; = Ае " * (для фермионов), (83.7) Х; = Лс '* (для бозонов), (8:5.8) причем в последней формуле мы пренебрегли единицей ио сравнению с 2, + 1у,, 1!остоянная о находится из тех же термодинамических соображоний, квк и в статистике Вольцмана. Она оказывается равной прежнему выражению (82.10).
Среднее число частиц и„приходящееся на одно квантовое состояние, равно %,(У;,т.е. 1 и; = — — — — — — (для фермионов), Е~ схр,, 1- 1 (83.9) 1 П,; = — — — — — (для бозонов). (83. ! О) с,— р схр —,,— — 1 й'1' Здесь введен новый параметр р, связанный с А соотношением А = —. ехр(р/йТ). Это и есть распределения Ферми-Дирака и Бозе-Эйнппейна. б.
Если и; « 1, то в знаменателях формул (83.9) и (8,'5.10) можно пренебречь единицами, тогда эти формулы перехо~1ят в р — с, 7 с и, = схр = соне!, схр( — —,), (83.1!) т.е, в формулу распределения Больцмана. Значит, распределением Больцмана лсооюно иольооватьсл лишь епоеди, когда малы счисло заполнения» квантовых лчсск., т. с.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
