Д.В. Сивухин - Общий курс физики, Т2. Термодинамика и молекулярная физика (1106322), страница 71
Текст из файла (страница 71)
при которой она рассеиваотся в окружающее пространство за время т. Возраст Земли 4 10 лот 4 10э 3.156 10' с. Проводом расчет для т = 10' лет и т— =- 10" лет. Для Земли р = 5,517 г,1смо. Подставляя это значение в формулу (79.18) и логарифмируя, приходим к уравнению 0,4345хо — -- 14,19 +!8 хо -~- ~8(хо -~- 1), (79.20) в котором 0,4343 есть модуль перехода от натуральных логарифмов к деся- тичным. Корень уравнения (79.20) легко находятся методом послодоватоль- ных приближений. Нулсвос приближение.
В правой части уравнения отбрасываем оба слагаомыс, содержащие логарифмы. Получаем х,', = 32,68, Первое приближение. В правую часть подставляемзначение хо из нулевого приближения. Это дает хо — — 37,92. Таким же путем поступаем в послодующих приближениях и получаем: второо приближопие хоо — 38,15, третье приближенно хоэ = 38.15. Таким образом, уже второе приближение обеспечивает точность до чо- тырох значащих цифр. Итак, для т = 10 лет:оо = 38,1о. Аналогичные вычисления для т = оо — ГВ лет дают хо = 33,34. Температура 7' можот быть вычислена по в формуле 3 80! Энтро~тл, и еероягпиогть 285 (примерно 70 †1 К) много ниже температуры лунной поверхности. При такой низкой температуре только нанболсс легкие газы — водород и гелий— Таблица 8 Температура Т, К Планеты Н.
О Хэ Оз Нз т = 10 лет Зол~ля с=10« т 396 454 ,'5 560 5 540 6 340 4 090 6360 7 200 38,15 33,34 792 908 т =- 1Огэ лот Луна г = 10 лст 37,99 18 33,11 20,6 252 288 288 330 162 185 41,2 т = 10~~ лот Марс г = 10" лет 1 1,'50 1 300 1 300 1 490 729 837 37,97 81 33,17 93 162 186 т = 1О лет Венера т = 10 лет 38.! 1 :53.,'51 670 3 010 768 3 460 4 690 5 360 5380 6140 т = 10'" лс*г Юпитер т= 10 лет 108 000 168 000 192 000 124 ООО Р93 ООО 22П ООО 37Д2 12ООО 32,61 13 800 24000 27600 В 80. Энтропия и вероятность 1. Согласно феноменологической тсрлюдинамике все процессы в замкнутой системе происходят в направлении возрастания энтропии. В конце концов система переходиг в равновесное состояние, в котором энтропия достигает максимума.
и все процессы в системе прекращаются. Этот вывод, если его понимать буквально, находится в противоречии с основными представ- В лениями молекулярно-кинетической теории. Рассмотрим, например, закрытый сосуд, разделенный перегородкой АВ на две одинаковые части 1 и 1! (рис. 69)й 11усть сначала в части сосуда 1 находится Х молекул идеального газа, а в части П ни однои. В момент времени ! = 0 мгновенно удалилэ перегородку ЛВ.
Газ начнет расширяться. Моле- Рис. 69 купы из части 1 будут переходить в часть П, Спустя некоторое время возникнет и обратный поток молекул из части П в часть 1, после чого начнется и будет продолжаться обмен молокулами между обеилш частями. Когда числа молекул Х~ и 1«"з в обеих частях обладают тепловыми скоростял«и. достаточными для быстрого улстучивания их в окружающог пространство.
Из планет Солнечной системы наименес благоприятны условия дпя удержания атмосферы на Меркурии. Скорость убогания с поверхности планеты составляет всего,'5,8 км'г. Неблагоприятна также крайне высокая томпсратура на освещенной поверхности планеты. Поэтому Меркурий могут покидать даже молекулы тяжелых га«ов. Наконоц, может иметь значение давление электромагнитного и корпускулярного излучения Солнца, которое на Меркурии довольно значительно и способно заметно «выдуваттм молл купы газов из атмосферы Меркурия. если бы таковая существовала.
Стат»»ет»»чеек»»е раенредезениз сосуда, а также их потоки туда и обратно выравняются. наступит состояние равновесия. Но это будет динамическое, а не статическое равновесие. В состоянии динамического равновесия равенство»у» ,»Уз = Х,»2 почти никогда не соблюдается. Равенство относится не к мгновенным значениям»ч» и»ч'л.
а к их ерег)ним зна юниям за длительный промежуток времени: »»»» = »л»з = »л»)»2. Само»»!»оизвольные отк,аоне»»»»л, чисел»л"» и Хш а пшкоке любых других физических величин от их средних значений, обусловленные теплов м дв»»з»гением, ваэывтопк»л флрктарацикми. Броуновское движение и соответствующее ему статистически равновесное распределение броуновских частиц но высоте, описываемое барометрической формулой (78.2), поскольку они связаны с нарушеннял»и статистического равновесия. также относятся к классу флуктуационных явлений. В нашем примере принципиально возможна и такая флуктуация, когда все молекулы газа, первоначально распределенные но всему сосуду, салюпроизвольно собираются в одной из равных частой! или Н. с!тоба» убедиться в этом, предположил», что молекулы газа являются л»атериальнымн точками.
а стенки сосуда абсолютно гладкие. Если в некоторый люл»ент зрел»ени ! изменить на противоположные скорости всех молекул, то молекулы начнут двигаться в противоположных направлениях, проходя в точности через те же положения, через которые онн проходили ранее. Отсюда следует, что если в момент времени 0 все люлекулы находились в части сосуда 1, то они снова соберутся в той же части в момент 2й Г!ачему же такие процессы никогда ие наблюдаются7 Ответ, даваемый молокулярно-кинетической тварной, состоит в том.
что они хотя и принципиально возможны, но ври колоссальности числа молекул )у крайне маловероятны. 2. Рассчитаем вероятность таких процессов. Г!усть в сосуде находится всего одна молекула. Тогда, если нет внешних силовых полей, молекула с равной вероятностью может попасть либо в часть 1,либо в часть Н.
Вероятность попадания ее в эти одинаковые части )г» = Рн = = !»»2. Введем в сосуд вторую молекулу. Так как молекулы идеального газа не взаил»одействуют меж;»у собой, то их попадания в ту илн иную часть сосуда будут независимыми событиял»и. Вероятность того, ччо обе они окажутся в части 1, найдется во теорел»е умяожения вероятностей н будет равна Р» = (1»»2) .
(!»»2) = !»»4. Если в сосуде»л» молекул, то, рассуждая аналогично, найдем, что вероятность их попадания в часть 1 будет Р» = (1»»2)~. Г1ри Д» = 10 получаем Р» = (1)2)»о = = !»»1024 0,00!. Если в течение длительного (в пределе бесконечно длительного) времени фотографировать раси молекул в сосуде через равные промежутки времени. то на каждый 1000 кадров в среднем придется приблизительно один кадр, на котором будут зафиксированы все 10 молекул только в части сосуда !. То же можно сказать и о части Н.
Но теореме сложения вероятносгей получится в среднел» 2 кадра нз каждую тысячу с молекулами, сосредоточенными либо в части 1, либо в части Н (безразлично какой). Все это не только ~ 80) Энтропия и веро,яглвосьчь 287 принципиально возможно. но и фактически доступно наблюдению. Однако при % = 100 мы получаем Р~ = (1/2) юч — 10 зо, и практически нет никаких шансон наблюдать соответствующую флуктуацию. При Х = 10зо для вероятности Р~ получается слишком малая вели <ина гой~ -з ~оы Р~ = (1/2)ш = 10' ' 'о . С такого рода вероятностями и соответствующилщ им событиями можно совершенно не считаться.
Обобщим наш расчет, так как это обобщение понадобится нам ужо в этом параграфе. Пусть ~4 — объем всего сосуда, а 1г — объем какой- либо его части. Вероятность того, что какая-либо молекула попадает в обьем Г, равна Г/Ц., а вероятность того, что в обьеме 1' окажутся все М молекул идеального газа. представится выражением Р = (ГгЯ,)'. (80. 1) 3. Отногительно болыпие флуктуации нстречаются только в системах с лиьлым числом частиц (см.
З 81, и. 2). Если число частиц в замкнутой системе очень велико. то подавляющее время она проводит в состоянии. в котором все величины лишь незначительно отличаются от их средних значений. В системах с очень большим числом частиц относительно большие флуктуации фактически не встречаются. Все флуктуации малы. Феноменологическая термодинамика не прини~ает их во внимание. Таким образом, можно сказать, что выводы термодинамики верны. если пренебречь флуктуациями. Вблизи состояния равновесия флуктуации в ту и в другую сторону равновероятны. Но если создать искуссгвенно неравновесное состояние, то в подавляющем болыпинстве случаев система самопроизвольно будет переходить в сосгояние с болыпей вероятностью. С другой стороны, согласно феноменологической термодинамики, все самопроизвольные процессы в замкнутых системах сопровождаются возрастанием энтропии.
Г!оэтому можно ожидать, что между энтропией системы Я в каждом состоянии и вероятностью Р того же состояния должна существовать однозначнпл связь. Такая гипотяза, введенная Больцманом. оправдалась и оказалась весьма плодотворной. Наша задача состоит теперь в том. чтобы установить эту связь. 4. На первый взгляд кажечюя. что такая задача неразрешима и даже не имеет смысла. пока ие установлено в общем виде, как определять вероятность произвольного состояния любой термодинамической системы. В действительности для решения задачи достаточно знать самые общие свойства, которыми должна обладать вероятность Р при любом способе ее определения. На~1о только усилить ~ ипотезу о связи меэкду энтропией и вероятностью требованием, чтобы эта связь была уппосрсальвой.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
