Д.В. Сивухин - Общий курс физики, Т2. Термодинамика и молекулярная физика (1106322), страница 70
Текст из файла (страница 70)
Однако такая оценка все жс дает представлсняо о порядке величины этого вромспи. Кроме того, эта оценка может с чужить интересным примером примснония кннстнчоской теории газов. Опишем вокруг планеты сферу гт, концснтричсскую с поверхностью пла ноты. Радиус т этой сферы возьмем настолько большим, чтобы счолкновс пнями между молекулами вне сферы в можно было полностью пронобречрп по этого нельзя делать в пространстве, ограниченном сферой гт. Предположим. что на сфере в справедливо распределение Максвелла-Больцмана для всех молекул.
В отпоюснни люлскул. совершающих фипитнос движение. справедливость этого предположения не вызывает сомнений. Но для убегающих молокул оно верно только приближенно. Введем две скорости убегания: па поверхности планеты и на сфере гт. Обозначим их соответственно через се н с . Если тс" радиус планеты, пгг и 5" = пстч)т' . ускорения свободного падения на повсрхности планеты и на сфере в, то со = ° ?2догс, г. = ъг2й.. = .л? 25 7 .. (79.2) (79.3) Для Земли сс = 11,2 км,'с (см. т. 1, З 61).
Величины г с и г' связаны можду собой уравнением эпоргин ч 1 „г — + ер, (79.4) гс х„= — тс. г (79бот) где ср - разяость потенциальных эноргнй на сфере в и на поверхности планеты. Далыгсйшио вычн<юсния удобно производить, приняв за единицу наиболсс вероятную скорость с„,, определяемую соотношсннелг (7595). Скорость т = гг,?гг, нзлтронную в таких однницах, будем называть безриямериой скоростью. В частности, бсзразморныс скорости убегания на поверхности планеты и па сфере о равны тс - гсггг и т -. с ггн .
Ввиду 179.2) и (79Л) они связаны соотношением Распределенно Больцжана и атжосфсры планет 281 э 79) Соотношонис (79.4). записаннос в безразмерных величинах, будот ер в 2 = то 'к7' (79.6) С учетом соотношсния (79.6) из закона распределения Больцмана получим иое '" — — иое (79.7) гдс и . концентрация молекул на сфсрс о.. Накопсц.
сшпэ пользоваться бсзразмсрными скоростями, то максвслловское распредслснис примет вид йи = — и с г)т. 4 о'х (79.8) Концонтрация убегающих молекул на сфера и равна х)и =,l, 4и эул (79.9) гдс у означаст интеграл (79.10) Срсдняя бсзрвэмерная скорость таких молекул будет с = (я) . „ = — ~ л с дх. 1 ( э э ,/ Интогрируя это выражонис по частям, получим с= — (х +Це 1 2l (79.1Ц гго У = 2э л( — зо 4-1)иог о е г (79Л2) Это выражение и дает число молекул, торясмых атмосферой в сдишщу врсмсни.
Его можно представить в видо (79.13) гдс 1э' — полноо число молекул в атмосфорс. Концентрацию ио можно выразнть через %. Подавляющая масса атмосферы приходится на тонкий слой, примыкающий к поверхности планеты. В прсдслах этого слоя можно прснсбре п кривизной повсрхности плансты, а также измененном ускорения свободного падания с высотой, т. е.
положить Найдсм средний поток убсгающих частиц Я, исходящий наружу из сфсры и. Поскольку распрсдсление скоростей молекул изотропно. можно воспользоваться формулой (75.6). Средняя скорость рассматрнвасмых частиц, выражснная в обычных единицах, равна сом, а потому эта формула дает Х = (1/4)Бсо,„х1и, гдс Б = 4хг~ — поверхность сферы и. Подставив сюда выражения (79.9) и (79.1Ц и воспользовавшись формулами (79.6) и (79.7), получим [ Гл.
'э'1 Статистические распределения, 282 я = яа Тогда распределение Больцмана (77.6) переходит в барометрическую формулу, и мы получаем тбаз1 ., 5Т Х = 4л~ аиа ~ ехр( — ) бв = 4хгагяа йТ,) пЯба а Отсюда и найдется концентрация па. Г!одставляя ес в выражение (79.12) и воспользовавшись уравненном (79.13), прндадим последнему вид 4%!~й = — 74(т, (79.14) где введено обозначение 2э~пгаИ7' т = е ". (79.15) а 7га,я тдаг и ( — яа -~-1) г Интегрирование уравнения (79.14) дает 17 = М (79.16) Из этой формулы видно, что постоянная т сеть введенное вьппс время рассеяния атмосферы.
5. Формула (79.15) още пс решает задачу. так как она содержит радиус г, который мы сяцс нс определили. В одном предельном случае решение очевидно. Это случай, когда планетная атмосфера бескаитяиа рпаретсеииая. В ней полностью отсутствуют столкновония между молскуламн, а распределение молекул в пространстве и по скоростям устанавливается в результате столкновоний с поверхностью планеты. В рассматриваемом случао следует положить и = га.
Используя, кроме того, гоотношення я~' = 217'7т и аас = иа =,~2габа, полУчим г г: а '2пга е'а (79.17) ба яа(к + Ц или ГЗ е"5 и= я 2Ся ла(ла 4 1) (79.18) где р — средняя плотность планеты. Ясно. что воличина и, опредсляемая этими формулами, имеет смысл времени расселив я, беапангчиа раареаюентаб атанасферяя. 6. Остаатся определить радиус г, когда атмосфера не является бесконечно разреженной. Для этого надо указать значение какой-то длины 1, чтобы при г ) 1 молекулу можно было считать ио принадлежащей к атмосфера планеты. Тогда радиус г определится из у< павия Л = 1, гдо Л вЂ” сродная длина свободного пробега молекулы при г = и . В частности, атмосфера может считаться бесконечно разреженной, когда условие Л > 1 соблюдается уже при и = га.
Для уединенной планеты нельзя заранес (т.с. без точного решения задачи) указать никакой длины. которую можно было бы принять за 1. Единственным параметром размерности длины в этом случае является радиус планеты га, но оя нс имеет отнопяения к рассоянию атмосферы. Однако уединенная планета есть абстракция.
Реальная планета вращается вокруг Солнца. А так как величина г . входящая в форляулу (79.15). как будот видно нз дальяейшего, очень нечувствительна к выбору данты /, то в качество 1 3 79) Распределенно Больцмонв е отз<осферь< слоисто 283 можно взять радиус планетной орбиты. Для обоснования этого заметим, что в системе отсчета, связанной с планетой,на молекулу действуют сила гравитационного притяжения планеты Р„, сила гравитационного притяжения Солнца Е,.„„„и сила инерции Р„,, связанная с ускоренным движением центра планеты к Солнцу (от осового вращения планоты можно отвлечься— оно не играет принципиальной роли). Как было подробно разъяснено в первом томе (см. 565, 69), сила Р„.„„„полностью компенсируется силой инерции Р„, осли пренебречь неоднородностью поля тяготения Солнца.
С учетом указанной неоднородности компенсация ие будет полной, и с этим связано явление приливов в планетной атмосфере. На расстояниях порядка радиуса планетной орбиты ни о какой компенсации речи быть не л<ожет. На таких расстояниях сила Р „становится мсныпе результирующей сил Е, и Р„„. Если молекула удалилась так дш<еко, то можно считать, что к планете она уже по ворпотся. 7. Итак, за ! мы примем величину порядка радиуса планетной орбиты. Конкретно, для Земли возьмсл< 1 = 10ькм.
По формуло (79.1) пайдел< для различных газов значения радиуса г, при которол< Л = 10" км. При этом мы предполагаел<. что па земной поверхности атмосфорноо давлонио нормальное (средияя длина свободного пробега Л 10 ' см для всех газов). Полагая то = 6375 км, Т = 300 К, получим табл. 7. Таблица показываот, что если бы атмосфера состояла из одних только тяжелых газов (тяжелее водорода), то сфера и практически совпадала бы с Таблица 7 поверхностью Земли. В этом случао можно было бы пользоваться <)юрмулой (79.18) для бесконечно разреженной атмосферы. До<я водорода радиус т значительно прсвьппаот радиус Земли то.
В случае сложной атмосферы, состоящей из смеси различных газов, величина г определяется наиболее легким компонентом ее (с учетом. конечно, содержания этого коь<понента в атм<х:форе). Так. если дпя земной атмосферы принять, что содержание водорода составляет 10 от полного числа молекул атмосферы (что примерно -о вдвое больше действительного числа), то мы получили бы г 1,4 10" км. Но даже во всех этих случаях можно пользоваться формулой для бесконечно разряженной атмосферы.
Она даст вполне приемлемую оценку. )(ействительно, во всех случаях. представляющих интерес, значение яо очень велико, д и в формуле (79.15) можно пренебречь единицей по сравнению с (го/г )я~о. В этом приближении (79.19) т го где то и т означают времена рассеяния. вычисленные по формуле для бесконечно разреженной ать<осфорь< и по формуле (79.15) соответ<твенно.
Мы видим, что формула для бесконечно разреженной атмосферы (79.19) завышаот время рассеяния всего в несколько рвз. Поэтому дальпойшие численные расчеты будут произведены с помощью формулы (79.18). ) Гл. 'э'1 Статиста *ескпе распределения 284 2ЙаКо ЙОКО нлн ЙоКотп Т 2 1охо (79.21) 9. Резущьтаты вычислений приведены в табл. 8.
Из нее видно, что время т очень чувствительно к изменениям томпсратуры Т. При изменении 7 на 12-15 % т меняется на два порядка. Отсюда следует, что рассеяние атмосферы должно сильно возрастать из-за норегулярных местных колебаний температуры. Рассеяние сильно возрастает также нз-эа диссоциацин двух- атомных и лпзогоаточпых молокул под действием солнечного излучения. Из таблицы видно. что поле тяготения Земли надежно удерживает в течоние геологических эпох все газы земной атмосферы, за исключением водорода и гелия. Формула (79.21) объясняет, почему Луна практически линк.на атмосферы, а мощное гравитационное поле Юпитера нс позволяет в тсчеяио геологических эпох рассеяты:я сколько-нибудь заметно даже панболсо легкому газу — атомарному и молекулярному водороду.
Понятно такжо, почему Луна лишена атмосферы. а на Титане — шостом спутнике Сатурна— обнаружена атмосфера из мената 1СНэ), аммиака 1г4Но) и других газов, хотя скорости убогания па обоих спутниках почти одинаковы (2,4 км~'с на Луно и 2,6 км,'с на Титане). Дело в том, что температура поверхности Титана 8. Однако даже с помощью формулы (79.18) не так легко оценить время рассеяния атмосферы. Формула очень чувствительна к температуре атлюсфсры Т, влиянио которой сказывается преимущественно через экспо- ненциальный множитель г"'. А так как на разных высотах температура атмосферы разная и, кроме того, подвержена частым и нерегулярным из- ме1юниям, то невозможно с достаточной точностью опродолить значение Т, которое щюдуст подставлять в формулу. Поэтому мы воспользуемся формулой 179.18) для решения обратной задачи по заданному времени т наидсм хо, а затем и температуру планетной атмосферы.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
