Д.В. Сивухин - Общий курс физики, Т2. Термодинамика и молекулярная физика (1106322), страница 65
Текст из файла (страница 65)
Надо выделить молекулы с определенным направлением скорости и на площадке с1.э' построить косой параллелепипед с боковой стороной и с1е, как указано на рис. 61. Рис. 61 Число ударов выделенных молекул о плоп1адку с1;э за время Ж найдется, если их концентрацию умножить на объем параллелепипеда с1Яи, с11.
Затем надо щюсуммировать по всем параллелепипедам, имеющим разные направления боковых сторон, но общую высоту и, Л. Разделив результаты на Ж, мы и придем к выражению сэ' = исозде1п. Поскольку молекулы из числа с1п характеризуются общими значениями и и г, они движутся под определенным углолэ к оси Х, Точнее, это молекулы, скорости которых образуют с направлениеки оси Х углы между д и э1 + с1д. По формуле (75.4) е1ээ = = (1/2)п гйп д ЙЭ, а потому (Гл. Ъ'1 Сзпшпнсгппчесвве $ххсвредРАенвя По определению среднего (и) = — ~~ п,п;, 1 а потому = = — п(п).
1 При максвелловском распределении скоростей для (п) следует воспользоваться выражением (73.6), Это дает (75.6) 3. Таким образом, отличие приближенной формулы (75.1) от точной (75.5) состоит в том, что вместо коэффициента ! 6 надо брать коэффициент 174. На самом деле различие еще меньше. )[ействительно, чтобы значение кинетической энергии газа получилось правильным, под ь в формуле (75Л) следует понимать среднюю квадратичную скорость, связанную с (п) соотношением (и„) = 1,08 (и), В рассмотренной задаче получение точного выражения (75.5) не представляло большого труда. Но, как правило, задачи, которые приходится ставить и решать в кинетической теории газов, очень сложны. Их точные и строгие решения получить очень трудно и часто даже невозможно.
Поэтому очень большое значение приобретают соотношения оценочного характера. При их выводе вводятся упрощающие предположения, сильно облегчакицие вычисления и в то же время не затрагивающие существенные черты явлений. Обычно такого рода оценочные соотногпения отличаются от точных выражений малосущественными числовыми множителями порядка единицы. Метод оценок в дальнейшем нами будет широко применяться. 4. С помощью формулы (75.6) можно оценить среднее число молекул, вылетающих в одну секунду при испарении с единицы поверхности жидкости или твердого тела, граничащей с иакуумом. Для этого сначала рассмотрим случай, когда тело граничит со своим насыщенным паром.
При наличии пара идет не только испарение, но и обратный процесс конденсации молекул пара, летящих к поверхности тела. Молекулы, летящие из тела в область, занятую паром, или обратно, могут претерпеть отражение на границе тел. Но при оценках этим эффектом можно пренебречь. Если пар нагьпценный, то имеет место детальное равновесие, при котором каждому потоку испаряющихся молекул от тела соответствует равный и противоположно направленный поток молекул пара к телу. Но среднее число молекул пара, ударякпцихся о единицу поверхности тела, дается выражением (75.6).
Таково же будет и среднее число молекул, вылетающих ежесекундно с единицы поверхности тела. Это число не изменится, если весь пар над телом удалить, так как оно зависит только от состояния самого тела, а не от состояния окружаюп1ей среды. Под и в формуле (75.6) следует понимать число молекул насыщенного пара в единице объема. На этом З 75) Среднее число молеьрл, сталкивающихся со стенкой сосуда 263 основан метод измерения давления насьпценных паров тугоплавких металлов (см. задачу 10 к этому параграфу).
ЗА; ~АЧИ 1. Число ударов молекул о квадратный сантиметр стенки в одну секунду можно представить интегралом " .= п) г ээ1о ) <1о, где интегрирование производится по всем молекулам, лпгящим к стенке. (Предполагается, что степка перпендикулярна к оси Х.) Убедиться непосредственным расчетом, что при максвелловском распределении скоростей этот интеграл приводится к выражению 175.6).
2. В тонкостенном сосуде об*ьема Е, стенки которого поддерживаются прн постоянной температуре, находится идеальный газ. Сосуд поь<еп<ен в вакуум. Как бутет меняться с течением времени концентрация молекул и газа внутри сосуда, если в его стенке сделать очень малое отверстие площади Я ')? Решение. Если отверстие Я очень мало, то распределение скоростей исказится очень мало, т.е.
останется изотропным и максвелловским. По формуле (75.5) получаем 1 ЯУп) = — — Яп(г) <4. 4 Интегрируя это уравнение, получаем и =- пс е <', где т — — 41г<<Я(п). 3. Откачанный тонкостенный сосуд, стенки когорого поддерживаются при постоянной температуре, погружен в атмосферу идеального газа с постоянной конпенграцией молекул пс, поддерживаемого при той же температуре. Как будет меняться с течением времени концентрация молекул газа внутри сосуда, если в его стенке сделать очень маленькое отверстие? Отв<" т.
п —" пе(1 — е '). Обозначения гакис же, как и в предыдущей -<< задаче. 4. Полностью эвакуированный герметический сосуд помещен в атмосферу, состоящую из смеси двух газов, молекулярные веса которых относятся как 1: 4, а отношение концентраций (т. е. чисел молекул в единице об"ьема) равно о.
Смесь газов вне сосуда поддерживается при постоянных давлении и температуре. В стенке сосуда оказалось малое отверстие, через которое оба газа пачв,ви медле<шо натекать в сосуд. Опреде.вить максимвлыюе и минимальное значения отношения концентрации легкого к концентрации тяжелого компонентов газовой смеси в сосуде и моменты времени, когда достягаютгя эти значения. Р е ш е н и е.
Поступая, как в задачах 1 и 2, для отношения концен граций легкого и тяжелого кол<понептов внутри сосуда найдем выражение — е д =. о 1 — е где инчекс 1 относится к легкому, а индекс 2 — к тяжелому компонентам. Времена гг и тг связаны соотно<пением гэ<<гг =- 2.
Учитывая зто, найдем, ) В задачах 2, 3, 4, 5, 7, 8 предполагается, что размеры отверстия и толщина стенки малы по сравнению с длиной свободного пробега (сь<. 3 86 и 95). (Гл, У1 Сшезлвлшвческпе распределения 264 что прогшводная 813/гй обращается в нуль, когда .
""- =- тл2--1 и, следовательно, когда 18 = пч'2. Однако этому случаю соогвотствует не максимум и ве минимум па кривой 3 — Д(1), а точка перегиба. Максимальное и минимальное значения величина 13 принимает на концах временного интервала (О, сю). При 1 =- 0 получается максимум г),,„„„, =- оте(г„—.- 2сг, при 1 =- оо — минимум,З,„=. сь 5. Полностью эвакуированный тонкостенный герлн'.тический сосуд помещен в атмосферу кислорода, поддерживаемого при постоянной температуре и невысоком давлении Р. В стенке сосуда оказалось малое отверстие, через которое окружающий кислород стал натекать в сосуд.
Через час давление газа в сосуде повысилось от нуля до Р(2. Какое давление было бы в том же сосуде через то же время, если бы после откачки сосуд был помещен в атмосферу водорода при тех же давлении и температурсу Ответ. (16/16)Р. 6. Найти полную кинетическую энергию Е: молекул идеального одноатомпого газа, ударяющихся о квадратный сантиметр стенки в единицу времени.
Ответ. Е: = (1/8)тп(г ). Для максвелловского распределения з 12ЕэТэ 1 ЕО = п1~ — =. —, пгпя(г)' . тя 16 7. В тонкостенном сосуде, помещенном в вакууме, имеется очень маленькое отверстие, на которое извне направляется параллельный пучок одиоатомвых молекул, летящих с одной и той же скоростью ее, перпендикулярной к площади огверстия. Концентрация молекул в пучке равна пэ. Найти в установившемся равповеспом состоянии среднюю скорость (е), концентрацию молекул п и температуру Т гала в согуде. Решение.
Из-за столкновений молекул со стенками сосуда и между собой внутри сосуда устанавливается максвелловское распределение скоростей. Условия сохранения числа частиц и кинетической эигргии газа в сосуде имеют вид 3 посо == — п(е), —, пешее . пшх(е) 1 ' 2 16 14спользуя их, а также формулу (73.6), находим 2 шее э (е) = —. ~ее, и —.= поо8я., Т— 8.
В тонкостенном сосуде, содержащем одноатомный идеальный газ при температуре Т, имеется очень маленькое отверстие, через которое молекулы вылетают в вакуум. Определять среднее значение (е) кинетической энергии вылетевшей молекулы в предположении, что за время опьгга изменения числа молекул и температуры газа в сосуде пренебрежимо малы. Ответ. (е) == 2ЙТ. 9. Определитгч какая часть молекул идеального газа, столкнувшихся со стовкой сосуда за определенное время (вапример, за одну сокувду), имеет кинетическую эпергию, превосходящую е.
Ответ. а = (1 + /ЕТ)е З 76) Опьиакая проверка закова Гюепределенол скоростей Максвелла 265 10. Вольфрамовая нить, испаряясь в высокий вакуум при температуре Т =- 2000 К, уменьшается в весе, как показали измерения, со скоростью о =- — — 1,14 10 " г/(с см). Оценить давление насыщенного пара вольфрама при этой температуре. Решение. На основании изложенного в и. 4 этого параграфа скорость испарения дается формулой 1 о — -- — ппе(о), 4 где и — концентрации атомов насьпценного пара вольфрама. Его давление будет 4 (о ) Р— — —, пгп(о ) .= —, о 3 ' ' 3 (е) ' При максвелловском распределении (о) 1 8т Ч 8А где А —. атомный вес, равный для вольфрама 184.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
