Д.В. Сивухин - Общий курс физики, Т2. Термодинамика и молекулярная физика (1106322), страница 64
Текст из файла (страница 64)
Сивухиы. зо а которое выражает закон сохранения энергии при столкновении. Для нахождения вида функции ~(е) рассмотрим такио изменения аргумен- тов, при которых е, и е', постоянны. а потому постоянна и разность е' — е. Тогда из уравнения (74.3) получаем )Гл. У1 Статистические распределения прилгенимы рассуждения, приведенные выше. Из них следует. что функции распределения для обоих газок должны иметь вид (74.5) 7"г(ег) = Аге ~(е) =.
Ае Постоянными о и о1 определяются средние кинетические энергии молекул газа. Поэтому для доказательства теоремы о равномерном распределении кинетической энергии достаточно показать, что гз = = ом С этой целью рассмотрим столкновение молекул первого газа с молекуламн второго газа н применим к ним принцип детального равновесия. Нетрудно показать 1см. п.
8 этого параграфа), что соотнопзснне (74.1) сохраняет силу и для таких столкновений. Далее надо принять во внимание, что относительные скорости в прямых и обратных столкновениях одинаковы по величине. На основании этих двух фактов можно утверждать, что средние числа прямых н обратных столкновений пропорциональны соответственно д (у)дм уг) и 7(ъ')7г (у',) с одним и тем же коэффициентом пропорциональности. Поэтолгу принцип детального равновесия приводит к уравнению д" (е)Уггег) = У(е')~г(е',). Подставляя сюда выражения (74.5), получим еггГе — е ) = оггГе, — ег). С учетом закона сохранения энергии е + ег = е'+ е'г, нли е — е' = = е', — е ~ . отсюда находим гг = гег. 8. В заключении остановимся на смысло н доказательстве соогнглпення Г74.1) для столкновения шаров с различными массами т и гпь Рассмотрим сначала частный случай, когда шары движутся вдоль линии центров.
Тогда состояние движения в каждый момент времени может быть охарактеризовано импульсом первого шара р н импульсом второго шара рг. Геометрически такое состояние можно представить на плоскости изображающей точкой А, прямоугольнымя кгюрдинатами которой являются числа р и рг соответст- ванно. После столкновения изображаю- Р щая точка переместится в новое положение А' с координатами р' н рг. На основании законов сохранения нмпулыа и энергии р 1 рг =- р .1- рг, 174.6) 3 3 э г2 — + = —, +, = Е. (74.7) гг Р' Рг 2т 2тг 2т 2тг Отскгда видно, что А лежит в точке пересечения прямой 174.6), наклоненной под Р ьбб углом 135' к осп абсцисс, и эллипса с полуосями чг2пгЕ н гг2тг Е, причем обе этн линии пересекаются также и в точке А (рис. иб). Используя это, легко найти геометрическим построением положение точки А', если известно положение точки А.
Допустим теперь, что импульсы шаров до столкновения изменены, т.е. изменилось положение изображающей гочки А, но направление линии цент- "З 75) Среднее число молекул, сталкинающихсл со стенной сосуда 259 ров осталось неизменным. Тогда изменится и положение изображающей точки Л . Но всегда положение Л однозначно определится, если извостно положение Л.
Пусть точки А могут занимать любое положенио в пределах произвольной области О. Тогда точки Л расположатся в пределах некоторой другой области, которую мы обозначим через Р'. Докажем, что площади областей О и !У равны ыежцу собой. Это утверждение является частным случаем весьма общей теоремы аналитической механики, известной пол названием теоремы Лиуоиллл 11899 — 1882) и играющей важную роль в статистической механика.
Достаточно доказать на1пе утверждение для бесконечно малой области О произвольной формы, так как из таких бесконечно малых областей можно составить любую область конечного размера. Возьмем лва бесконечно близких подобных эллипса типа (74.7), отличаюп1ихся друг от друга значением энергии и. Пересечем их двумя бесконечно близкими прямыми, наклоненными пол углом 135' к оси абсцисс. В пересечении образуются два бесконечно малых параллелограмма, заштрихованных на рис. 57.
Один из Л О этих параллелограммов примам за область О, другой -- за область О'. Высо- Аг ты этих параллелограммов, перпендикулярные к прямой АЛ', бучут олняаковы, как это ясно из погтроония. Бучут равны также и основания ЛЛ~ н А'Л',. В этом легче всего убелиться, заметив, что наши А', О' подобные эллипсы могут быть получопы А' из двух концентрических окружностей путем их равномерного растяжения или сжатия вдоль горизонтальной или вер- Рис. 57 тикальной оси в одно и то же число рвз.
До деформации длины сторон ЛЛ1 и А'Лг были равны, как это следует из геомотрических свойс гв круга. Это равенство сохрани"гся и после деформации, так как при однородном одностороннем растяжении и сжатии длины параллельных отрезков изменяются в одинаковое число раз.
Этим доказано равенство оснований, а следовательно, и плоецалей параллелогралглгов 0 и О'. Заметим, что форма самих параллелограммов О и 0', вообще говоря, разная. Не представляет труда обобщить показанную теорему на случай, когда сталкивакгщиеся шары имеют нг галька составляющие скорости вдоль липин центров, но и поперечные скорости, к пей перпендикулярные.
Доказательсгво применимо и в этом случае, так как поперечные скорости при столкновении не изменяются. Только вместо двумерных областей О и 0' появятся соответгтвующие области в шестимерпом иространстог.. Теорема сос гонт в том, ч го объемы этих шестимерных областей одинаковы. Наконец, все рассуждения останутся верными, если импулы:ы р и рг заменить соответствующими им скоростями.
~ 75. Среднее число молекул, сталкивающихся со стенкой сосуда 1. Среднее число ударов молекул о стенку сосуда в единицу времени можно оценить следующим простым способом. Пусть и, сро71- нее число молекул в единице объема. Рассмотрим на стенке сосуда элементарную площадку с!5 и введем прямоугольную координатнук> (Гл, У1 Статистические рэеиределения 260 систему Х1'7 (рис. 58). Ось Х направим по нормали к площадке гг.'э', а оси У и Х расположим в плоскости, перпендикулярной к этой нормали. Введем два упрощающих предположения; 1) скорости всех молекул одинаковы по модулю; 2) молекулы движутся только парал- уЖ =" -' ггл лельно координатньгм осям, а именно так. что одна шестая всех молекул движется в положительном направлонии оси Х, одна шестая -- в У отрицательном, и аналогично для осей У и Х, При таких упрощениях с площадкой гг.'э' будут сталкиваться только молекуеия, движущиеся к стенке, т, е, в положительном направлении оси Х.
Число таких молекул в единице объема и. = (1гб)п. За врем ьг1 с площадкой г!В столкнутся все молекулы рассматриваемой группы, которые лежат внутри цилиндра с основанием дЯ и высотой ь г1г. Число молекул в этом цилиндре, движугггихся к стенке, равно гг = пяиВ ггг', (1гб)пиб ггг. Среднее число молекул, сталкивающихся в единицу времени с единичной площадкой, будет (75.1) 2. Найдем теперь точное выражение для среднего числа ударов -. В газе в состоянии покоя все направРие. 59 пения скоростей молекул равновероятны, т.е.
распределены в пространстве изотропно. Найдем среднее число гугэ молекул, направления скоростей которых лежат в пределах телесного угла Й (рис. 59). Так как телесный угол, охватывакящий все направления в пространстве, ранен 4я., то ввиду указан- 4 ной изотронии (75.2) где % — общее число молекул. В частности, для бесконечно малого телесного угла г8% = г1 й. (75.3) Пользуясь формулой (75.3), определим греднее число молекул г7%, скорости ко- О торых образуют с некоторым фиксирован- ным направлением ОА (рис. 60) углы.
леРие. 60 жащие между д и д+г1д. Для этого опишем сферу радиуса й с центром в точке О и построим два прямых круговых конуса с общей осью 0,4. образующие которых составляют с этой осью углы д и д + ггд. Конусы вырежут на сфере кольцевую полоску, заштрихованнукя на рис. 60. Площадь полоски равна ьгЯ = 2я Кэ гйп д ггд. Она видна из точки 0 под З 75) Среднее число молекул, стальиоающиясл со стенкой сосуда 261 телесным углом дХ2 = д:э/172 = 2эг вш д е1д.
Подставляя это значение в формулу (75.3), получим Ж сИ' = —, вш д дд. 2 (75.4) 1 с1е = — пи в1п д сов д с1э9. 2 Интегрируя это выражение по всем молекулам, летящим к стенке, т, е. в пределах от д = 0 до д = к/2, получим 1 - = — пь. 4 Не составляет труда обобп1ить этот результат на случай, когда скорости молекул не одинаковы по величине, но их направления по- прежнему распределены изотропно. Разобьем все молекулы на группы со скоростями им из,..., ие. Пусть и ы пп...., и, означают числа таких молекул в единице объема. Очевидно, 1т — п,и;. Теперь легко найти выражение для с. Внешнюю нормаль к стенке примем за ось Х (рис. 61). Угол между осью Х и скоростью молекулы обозначим через д.
Сначала предположим, что скорости всех молекул одинаковы по величине, а их направления распределены изотропно. Выделим группу молекуш с Х аэкомпонентами скоростей между и, и и, + йи . Чтобы удариться о стенку. лпшекулы должны лететь к ней, а потому должно быть и, ) О. Пусть 05 дп число таких молекул в единица объема. Число ударов о квадратный сантиметр стенки, производимых молекулами выделенной группы в одну секунду, равно с1в = е1по = исовйель В этом легко 1 иМ убедиться, если произвести еп1е более детальную / сортировку молекул по скоростям.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
