Д.В. Сивухин - Общий курс физики, Т2. Термодинамика и молекулярная физика (1106322), страница 67
Текст из файла (страница 67)
Но этого не будет при наличии силовых полей. Рассмотрим, например, идеальный гнз в однородном поле тяжести, В состоянии теплового равновесия температура Т должна быть одинаковой по всей толще газа. Иначе в газе возникли бы потоки тепла, направленные в сторону понижения температуры, и состояние газа не было бы равновесным. Для механического равновесия необходимо, сверх того, чтобы концентрация молекул газа убывала с увеличением высоты. Направим ось Я вертикально вверх и найдем закон изменения концентрации п с координатой - в состоянии теплового и механического равновесия.
Выделим мысленно бесконечно короткий вертикальный столб газа АВРС Рис. 64 (рис. 64) с высотой дв. Пусть площадь основания Занан распределения Больцмана з 77) 269 столба равна единице. Вес столба игал дя должен уравновешиваться разностью давлений дР Р1 — Р2 = — — с1 де Это приводит к соотношению дР— = — пгпя.
дя (77.1) Подставляя сюда Р = пйТ и принимая во внимание, что температу- ра Т одинакова на всех высотах, получим ди ЙТ вЂ” = — игпи, дя или БТ д!пи = — рпя е!с. и = иоехр( ††,). и,)' (77.3) Это важное соотношение называется законом рагпределекия Больцма; на, или просто рагпределшпмм Бальцмана. Постоянная по имеет смысл значения и при ер — — О. ,'(ля справедливости этого соотношения предположение об однородности поля тяжести, использованное при выводе, несущественно. Аналогичное соотношение можно получить и для неоднородного поля.
Для этого надо написать условие механического равновесия части газа, заполняющей настолько малую область пространства, что в пределах этой области поле и может считаться однородным. Условие равновесия в этом случае удобнее писать в векторной форме: БТ д!и и, = — т(д дг). (77.2) Физическая природа силового поля П также не играет роли. Оно не обязательно должно быть гравитационным, а может быть электрическим или каким-либо другим.
Важно только, что лоле не долосно записать от времени и бьпнь коисераатиаимм (пттепциальегмм). Б некоисереютивнььт. палят. равновесие вевозмоэкено. В этом нетрудно убедиться, интегрируя но замкнутому контуру обе части соотношения (77.2). Если иоле и не консервативно, то по крайней мере для некоторых контуров интервал ~ и дг будет отличен от нуля. Интеграл же от левой части (77.2) равен нулю по любому замкнутому контуру ввиду однозначности функции и(г). Получившееся противоречие и доказывает наше утверждение.
Следует, однако, отметить, что консервативность (потенциальность) силового поля является только необходимым, ио недостаточным условием равновесия газа (см. 979, и. 1). Если ер потенциальная энергия молекулы в силовом поле, то т(д дг) = дер, а потому БТд!пи = — дер. (77. 2а) В этом виде в соотношении (77.2а) уже не осталось никаких признаков однородности и физической природы силового поля. Интегрируя, получаем )Гл, У1 Статистические распределения 270 Применительно к однородному полю тяжести, если от концентрации и перейти к давлению газа Р, формула (77.3) преобразуется в Р = Роехр( — .
), (77.4) 3. Можно дать молекулярно-кинетический вывод закона распределения Больцмана, свободный от недостатков, присущих гидростатическому выводу. Приведем вывод, основанный на принципе детального равновесия, Оба доказательства закона распределения скоростей Максвелла, приведенные нами в з 72 и 74, можно без всяких изменений распространить на случай наличия потенциального силового поля.
где р — молекулярная масса газа, Й универсальная газовая постоянная, а Ро давление на уровне .: = О. Это — барометрических формула, с которой мы имели дело в механике (ель т. 1, З 92). 2. Приведенный вывод распределения Больцмана является чисто гидростатическим в нем мы по суп1еству отвлекаемся от молекулярной структуры газа, рассматривая его как сплошную среду. Это допустимо лишь для достаточно плотных газов при наличии большого числа столкновений.
'1'ребуется, чтобы средний пробег молекулы между двумя последовательными столкновениями был мал по сравнению с толщиной Иг слоя г4 ВьЭС (рис. 64), который рассматривался при выводе распределения Ьольцмана. Только тогда имеет смысл говорить о давлении, с которым на слой дг действует окружающий газ. В недостаточности гидростатического вывода можно убедиться также с помощью следующих соображений. В гидростатическом выводе величины и и гп входят в формулы не независимо, а только через плотность, т.е. в комбинации р = ппь Если в поле тяжести имеется смесь различных равномерно перемешанных идеальных газов, то согласно гидростатическому выводу такое состояние равномерного перемешивания должно неограниченно долго сохраняться и в дальнейшем, причем давление должно определяться барометрической формулой 177 4), в которой под р следует понимать среднюю молекулярную массу смеси.
Однако это заключение находится в противоречии с тем, что известно о свойствах идеальных газов. Пооедепие идеального газа о том исси ином объеме сооерэиеэпло пе заоисит от того, есть о эюм другие идеальные газы. или пет.. В состоянии термодинамического равновесия концентрации различных газов в смеси должны убывать с высотой экспонснциально с различными экспонентами, определяющимися молекулярными массами соответствующих компонентов смеси. Концентрация легких газов должна убывать с увеличением высоты медленнее, а тяжелых— быстрее. По мере поднятия относительная концентрация легких газов должна возрастать.
В действительности в пределах тропосферы этого не происходит. Но это, конечно, не может служить реабилитацией гидростатического вывода, поскольку все наши рассуждения относятся только к случаю термодинамически равновесной атмосферы. В реальной же тропосфере происходят оживленные движения, приводящие к интенсивному перемешиванию се нижних и верхних слоев. з 77) Закан раепределенггн, Балнцмана 271 гггг = гг7(н) егаг, (77.5) где функция з" (е) определяется законом Максвелла (72.14), а концентрация молекул и зависит только от координат: гг = п(г). Наша задача состоит в том, чтобы доказать, что эта зависимость определяется формулой (77.3). А В 4. Предположим сначала, что силовое поле во г7й всем пространстве имеет одно и то же направле- ние, хотя его напряженность и может меняться в этом направлении.
Рассмотрим две одинаковые бес- конечно малые площадки АоВа и АВ, перпендику- лярные к направлению поля. Пусть прямые АаА, г1оа дйа ВаВ и т.д., соединяющие соответствукпцие точки площадок, параллельны полю. Отвлечемся сначала от столкновений между молекущами. Через каж- Аа В„ дую точку площадки АоВа проведем траектории молекул, проходяпгие через контур.
ограничиваю- щий вторую пггопгадку АВ. (На рис. 65 проведе- ны две такие траектории через точку Аа и две — через точку Ва.) Напранления этих траекторий на площадке АаВа образуют телес- ный угол, неличину которого мы обозначим через егг7а, Выделим группу молекул, скорости которых по величине заключены в интервале (по, на + е)гдг).
а направ- ЛХ' пения (на площадке АаВа) лежат в пределах нг г1й на а телесного угла дгга. Скоростные точки таких Х' молекул заполняют в скоростном пространстве М объем Лг Хг'э' Л4, величина которого равна голые = Г и йно = паг ггг7а г)аа (рис. 66), а их концентрация в обыч- ом ~рос~ра~с~~ебуде, е)иа = ггаэ'(на) г)17оп~а Йиа. Ясно, что если такие моггекулы пересекут пло- щадку АаВа, то они пройдут и через площад- ку АВ.
Число молекул рассматриваемой группы, проходящих ежесекундно от площадки Ао Ва че- рез площадку А В. будет равно еггэо = г)Ваг:а г)гга, где е1Ва площадь площадки АаВа. Число моле- Р ь66 ис. кул, летящих по тем же траекториям в обратном направлении от площадки А В и проходящих через площадку Ао Ва, будет гггэ' = ггВггггп, где г)В . площадь площадки АВ, равна по 1'ис. 65 Поэтому можно считать доказанным, что в состоянии термодинамического равновесия скорости молекул газа в каждой точке пространства распределены по закону Максвелла с температурой Т, общей для всего газа. Влияние силового поля сказывается только на изменении концентрации молекул газа от точки к точке.
Это значит, что средняя концентрапия дгг молекул газа., скорости которых лежат в пределах элелгента ганг скоростного пространства, определяется выражением вида (Гл. Ъ'1 Статистические распределения 272 (77.6) и г1п = ив е1по. При движении вверх или вниз меняется величина и направление скорости молекул. Вследствие этого меняется и величина телесного угла, в пределах которого направлены касательные к траекториям молекул рассматриваемои группы. Однако, поскольку действующая сила параллельна направлению АаА, величина скорости молекулы, перпендикулярная к тому же направлению, остается неизменной. Меняется только продольная составляющая скорости, т.е. скорость, параллельная АоА.
Отсюда непосредственно следует, что изменение телесного угла в пучке молекул происходит по закону сопя1 Ю (77.7) а потому и'е111 = ийдй' (77.8) Далее по закону сохранения энергии 2 я (77.1)) если за нуль принять потенциальную энергию молекул на уровне пло~падки Ао Ве. Варьируя скорость и при неизменных положениях площадок АоВо и АВ (т.е.
при постоянстве ер). получим г е1г = ио пго. (77.10) Подставим теперь в (77.6) выражения для е)п и е1па. Тогда с учетом (77.8) и (77.!О) найдем пУ(г) = поУ(ио) (77.11) Если в качестве аргумента ввести кинетическую энергию молекулы, то это соотношение перепишется так. п1(еь) = пву(е), (77.12) где е = (1/2)пегое — полная энергия молекулы: е = вь+ер. Но согласно закону Максвелла (77.12) р( — —.~ )), г(е) - ех ( —,,~), а потому ер 1 п = по ехр( — — ). йт)' (77.3а) Но это и есть закон распределения Больцмана. Если выражение (77.3) ввести в (77.5), то получится е)п = поехр(- ",", ) Й~, (77,13) условию е)ое., а Йп = пг(и) дИи е1и. Если состояние установилось, то принцип детального равновесия требует е)% = е)Ло, т.е.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
