Д.В. Сивухин - Общий курс физики, Т2. Термодинамика и молекулярная физика (1106322), страница 68
Текст из файла (страница 68)
з 77) 273 Зава>н >>пспйеделения Больцманп Это выражение дает среднюю концентрацию молекул дп в рассматриваемом месте пространства, скоростные точки которых лежат в элементе объема дш скоростного пространства. Мы видим, что дп, определяется только полной энергией молекулы е„„п„= е = сь + > зр, Чтобы подчеркнуть это обстоятельство, мы снабдили символ е индексом чполнь, который должен напоминать, что речь идет о полной энергии молекулы. Формула (77.13) называется 1мспределенпам Максвелла — Больцмвпо. 5. Необходимо теперь снять ограничения, введенные при молекулярно-кинетическом выводе распределения Больцмана. Таких ограничений два. Во-первых, мы предполагали, что силовое поле всюду имеет одинаковое направление, а именно параллельное прямолинейной траектории ЛоЛ (см.
рис. 65). От этого ограничения легко освободиться, записав соотношение (77.3) в дифференциальной форме. Действительно, силовое поле в пределах бесконечно малой области газа может считаться однородным. К такому полю применимы наши рассуждения. Но для бесконечно малой области формула (77.3) принимает вид д()пп) = — —, де~ йр' Она справедлива и для неоднородного поля.
Поэтому интегрируя ее, мы снова приходим к формуле (77.3), но уже без всяких ограничений. Во-вторых, надо привять во внимание столкновения. Из числа д>Чо молекул, прошедших сквозь площадку ЛоВо, не все дойдут до ЛВ изза столкновений с другими молекулами. Однако наряду с прямыми столкновениями, выводящими молекулы из рассматриваемого пучка, существуют обратные столкновения, за счет которых пучок пополняется другими молекулами. И если состояние статистически равновесно, то по принципу детального равновесия молекулы. выбывшие из пучка, в среднем будут восполнены молекулами, вступившими в него при обратных столкновениях.
В результате среднее число молекул рассматриваемого типа, достигших площадки ЛВ, не изменится. То же справедливо и для молекул, прошедших сквозь площадку ЛВ и достигающих площадки ЛеВв. Столкновения, таким образом, приводят только к замене одних молекул другими, но не меняют средние значения д>Чд> и д>Ч молекул в пучках. Следовательно, при наличии столкновений доказательство сохраняет силу. 6. Заметим еще, что распределение Больцмана мы получили из соотношения (77.12), считая доказанным закон распределения скоростей Максвелла. Можно было бы поступить наоборот: предполагая доказанным закон распределения Больцмана, например, методами гидростатики, из формулы (77.!2) получить закон распределения молекул по скоростям Максвелла. Мы видим, что законы распределения Максвелла и Больцмана тесно связаны и взаимно обусловливают друг друга: из одного с необходимостьн> следует другой.
Оба распределения обусловлены столкновениями между молекулами. В частности, в ) Гл. '>'1 Отптясптчетпе распределения законе распределения Больцмана с особой отчетливостью проявляя>тся две противоположные тенденции. Регулярно действующее силовое поло 1сила тяжести) стремится сконцентрировать все молекулы на дне сосуда. Беспорядочные толчки, испытываемые молекулами при тепловом движении, препятствуют этому.
Они снабжают молекулы газа кинетической энергией, при наличии когорой молекулы способны преодолевать силу тяжести и подниматься вверх. 7. В заключение отметим егце один момент. Молекулы воздуха в земной атмосфере днижутся нверх с уменьшающимися скоростями, а движущиеся вниз унели >ивают свои скорости под действием силы тяжести. Отсюда делали неправильный вывод, что средние скорости молекул наверху, а с ними и температура воздуха должны быть меньше, чем внизу. Но этот парадоксальный вывод находится в противоречии с термодинамикой. Парадокс был разъяснен уже самим Максвеллом.
Суть дела заключается в том, что при движении вверх ьюлекулы действительно замедляются, но при этом наиболее медленные молекулы выбывают из пучка. При движении вниз, наоборот, молекулы не только ускоряются. но одновременно пучок пополняется более медленными молекулами. В результате средняя скорость теплового движения молекул остается неизменной.
Сила тяжести, как уже отмечалось в п. 3, меняет лишь концентрацию молекул на разных высотах, но не гемпературу газа. И закон изменения этой концентрации как раз и выводится из требования, чтобы температура оставалась одной и той же на всех высотах. Следующее сравнение, принадлежащее Г. А. Лоренцу (183>3 — 1928), может слу кить для разъяснения вопрога. Пусть имеются два города Л и В, причем шолу жителей определенного возраста города Л соответствует удвоенное число жителей того же возраста города Г>.
Ясно, что средний возраст жителей в обоих городах будет один и тот же. ЗАДАьГИ 1. Теплоизолированный сосуд с идеальным газом подвешен на нити в поле тяжести. Из-за действия силы тяжести плотность газа внизу сосуда больше, чем наверху. Нить пережигают, и сосуд свободно палает, Предполагая, что во время падения успевает установиться термодинамическое равновесно, определять равновесную температуру газа, которая в нем установится при падении. Рг>пение. Температура газа не изменится. При свободном падении газ находится в состоянии невесомости. Начальное состояние его неравновссное - плотность вверху меньше,чем внизу. Однако средняя кинетическая энергия молекул всюду одинакова.
При переходе в равновесное состояние плотности выравпяются. Но полная кинетическая энергия молекул газа, определяющая его температуру. огтаяется неизменной. Опыт аналогичен известному опыту Гей-Люссака с расп>ирением газа в пустоту (сьь з19). 2. Найти среднюю потенциальную энергию (ер) л>олскулы газа в зс>шой атмосфере, считая по>леднюю нзотермнчсской (с температурой Т). а поле тяжести однородным. Вычислить теплосмкость газа с при этих условиях.
Отвея (ег) = Й7, с = сю З 78) Работы перрона по опредслсяею постоянной Аеоеадро 275 равно Д( й7' ) ~1 — охр ( — —, ) ~ [ехр ( —, ) — 1~ х схр(,, )где ехр( — ) дг, где Дг — общее число молекул в сосуде. Ось Я направлена вортикально вверх. 8 78. Работы Перрена по определению постоянной Авогадро 1. В ~ 64 уже говорилось о работах Перрена по определению постоянной Авогадро Л,х и пронерке основных положений молекулярно-кинетической теории вещества путем наблюдения поступательного броуновского движения.
Перрону же принадлежит другой метод изме рення числа Л, по существу также использующий броуновское движение. Этот второй метод основан на законе распределения Больцмана (77.3). В поле тяжести этот закон принимает вид гпдв'г и = гго ехр(— 178.1) Если бы была известна масса молекулы ш, то, измеряя распределение плотности газа по высоте, можно было бы по форлгуле (78.1) вычислить постоянную Нольцмана 1з а затем и постоянную Авогадро Л'д = йггаь Но измерить массу молекулы не менее трудно, чем постоянную )з Эту трудность можно преодолеть.
если заметить, что роль молекул могут играть достаточно малые, но макроскопические частицы. В поле тяжести такие гигантские «макромолекулыь не могут нсе лежать на дне сосуда. Они должны совершать броуновское движение и вести себя подобно идеальному газу с очень большой 3. Теплоизолированный гсрмстичоский цилиндрический сосуд высоты И.
наполненный газом, подвешен в вертикальном положении в однородном поле тяжести. Температура газа в сосуде везде одинакова и равна Т. Найти среднюю потсяциальную энергию молекулы газа гер). 1 — ехр( — -,, ) 4. Б цилиндре предыдущей задачи помещен моль ндешгьного газа с молекулярной массой д.
Найти топ.послгкость этого газа, учитывая влияние поля тяжести и продполагая, что ядН <( КТ. Отвот. С=Си+, (, ) б. Цилиндр радиуса й и длины Н, наполненный химически однородным газом, равномерно врагцастся в однородном поле тяжести вокруг своей гоометрической оси с угловой скоростью ы. Найти распределение концентрации молекул газа внутри цилиндра, если его ось направлена вертикально.
О т нет. Число молекул г1Ж с координаталпг между г н г З- дг. = н з -~- дз ( Гл. 'р'! Снгетггсгггггчеснгге риснуейеленгг.,н 276 молекулярной массой, концентрация которого распределена по высоте согласно формуле Ьольцмана. «Макромолекулы» должны быть очень велики, чтобы экспериментально можно было измерить их массу. Но в таком случае их концентрация с высотой будет убывать настолько быстро, что получится состояние, практически не отличимое от того, в котором все «макромолекулы> лежат на дне сосуда. Перрен нашел способ преодоления и этой трудности.
Надо поместить частицы-макромолекулы в жидкостгь плотность которой немного меньше плотности вещества самих частиц. Тогда поле тяжести будет сильно ослаблено архимедовой подъемной силой и возникнет «атмосфера» из макро- молекул, распределение концентрации в которой может быть измерено. В установившелюя состоянии концентрация частиц опредолястся законом Больцмана (77.3). При вычислении потенциальной энергии надо учесть, что поднятие частицы сопровождается опусканием такого >ке обьема жидкости. Величина ер в рассматриваемом случае равна потенциальной энергии частицы в поле тяжести гггйе за вычетом потенциальной энергии жидкости гп ке, которую она вытесняет, т. е. ер —— (щ — гп )3с, где щ — масса частицы, а гп — масса вьггесненной сю жидкости.
Таким образом, гг = гго ехр ~— 1'ели гг~ и ггэ — измеренные кояпентрации частиц на высотах ец и еэ, то по этой ц>ормулс получаем (гв — гп ) (ег — е~)д (78.3) Т !в(пг г вг) 2. Одна из трудностей состояла в получении взвешенных частиц совершенно одинакового размера и формы. Перрен пользовался частицами гуммигута и мастики. Растирая гуммигут в воде.
Перрон получал эмульсию ярко-желтого цвета, в которой при наблюдении в микроскоп можно было различить множество зернышек сферической формы. Вместо механического растирания Перрен обрабатывал также гуммигут или мастику спиртом, растворяющим эти вещества. При разбавлении такого раствора большим количеством воды получалась эмульсия из таких же сферических зерньппек, что и при механическом растирании гуммигута. Для отбора зернышек совершенно одинакового размера Перрон подвергал взвешенные в воде частицы многократному цснтрофугированию и таким путем получал весьма однородную эмульсию, состоящую из шарообразных частиц с радиусом порядка микрометра.
Обработав ! кг гуммигута, Перрен получил через несколько месяцев фракцию, содержавшую несколько дециграымов зерен желаемого размера. С этой фракцией и были выполнены описываемые здесь опыты, а также опыты по броуновскому движению, о которых говорилось в 364. 3. При изучении эмульсии надо было производить измерения при ничтожных разностях высот всего в несколько сотых миллиметра. Э 78) Работы Перрона по определенааа поетоаотой Ааоеадро 277 Поэтому распределение концентрации частиц по высоте исследовалось с помощью микроскопа. К предметному стеклу микроскопа (рис. 67) нриклеивалось очень тонкое стекло с просворленным в пем широким отверстием.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
