Д.В. Сивухин - Общий курс физики, Т2. Термодинамика и молекулярная физика (1106322), страница 63
Текст из файла (страница 63)
У! Статистические !мспределенил молекул между собой и со стенками сосуда установится такое статистической распределение молекул по скоростям, которое уже не будет меняться при дальнейших столкновениях. На этом основано второе доказательство закона распределения скоростей. данное Максвеллом. Оно существенно отличается от первого доказательства, приведенного нами в З 72. в котором представление о столкновениях совсем не используется. Мы приводим второе доказательство Максвелла главным образом потому, что в основе его лежит пршщип дегиильного риопооеспл — положение. имеющее самостоятельное значение и шрающее большую роль в различных разделах физики.
Будем считать„что молекулы при столкновениях ведут себя как идеально твердые и упругие шары. '!'акое предположение сильно упрощает доказательство, хотя оно и не является обязательным. 2. Рассмотрим две группы молекул, скоростнсие точки которых лежат в элементах объема 0ы и Ньц пространства скоростей с центрами в точках т и я, соответственно. Если Х вЂ” общее число молекул в сосуде, то средние числа молекул в рассматриваемых груш~ах будут гИ' = Хг'(я) А~ и НЖ~ = ЖЯч~) А~~. Рассмотрим столкновение молекул первой группы с молекулами второй группы и притом такие, у которых линия центров (т.е.
прямая, соединяющая центры шаров в момент столкновения) имеет какое-то фиксированное направление в пространстве, точнее, лежит в пределах бесконечно малого телесного угла Ий с фиксированным направлением его оси. Среднее число таких эирлиыт~ столкновений будет пропорционально произведении> г!% А и а с ним и произведению Я( г~у(ч,) дш г!ыь Б результате каждого эпрямого» столкновения скорости ч и хч сталкивакпцихся молекул изменяются и переходят в т' и я', соответственно. Изображающие точки молекул первой груши~ перейдут из элемента объема г!ы в элемент объема г!ы' пространства скоростей с центром в точке ч'; изображающие точки молекул второй группы перейдут соответственно в элемент объема г!ы', с центром в точке к(. При столкновении молекулы обмениваются нормальными скоростями, т,е.
скоростямн. параллельными линии центров: их касательные скорости, т.е. скорости, перпендикулярные к линии центров. остаются без изменения. Если линию центров принять за ось Х, то ь'„= щ, в,'„= е . Отсюда г!в', = — г!вкм Йи'„= г!ев. а потому г!г' дг,„ 0г„Нщв. Мы видим, что в результате столкновения произведение г!вв дегя остается неизменным, хотя г!е, и г1щг могут изменяться.
А так как поперечные размеры обьемов 4ьэ и г!ьл не меняются, то произведение Пы Ны~ также остается неизменным: ььэ г1ьч = ды' г!ы',. 3. Назовем обраннпхьми такио столкновения, которым соответствует то же самое направление линии центров и которые переводят скоростные точки сталкивающихся молекул из элементон объема ды' и г!ы( в исходные элементы пы и пьч соответственно. Нетрудно найти по заданным прямым столкновениям обратные. На рис. 55 а и б Принцип детельноео Гхьонооееил Прямые столкновения з 74! 255 ть До столкновения Я После столкновения 6 Обратные столкновения Г!осле столкновения До столкновения о Рис.
55 ьГлб Ц(ъ')~(т',) — ~(и)Г(нь)) ьГьооьлоь. (74.2) изображены скорости молекул 1 и 2 до и после столкновения. Эти столкновения будем рассматривать как прямые. Скорости молекул после столкновения легко найти, если все скорости разложить на нормальные и касательные компоненты. Переставим теперь местами молекулы 1 и 2 и допустим. что перед столкновением они имели скорости и' ььть (рис. 55 о). Теперь молекула 2 становится ударянвцей, а молекула 1 †- ударяемой. Построив скорости после столкновения (рис.55 г). найдем, что они примут исходные значения т и ть Таким образоль, столкновения 5о о являются обратными по отношению к столкновениям 55 а и наоборот.
Число обратных переходов скоростных точек из элементов объема ьГьо' и ьГьоь скоростного пространства в элементы сььо и ьГьол того же прост[ланства пропорционально 1' (и )1 (ть) оьло ь1ьь( или ввиду соотношения (74.1) Г(ъ')Г(т~ь) ь1ш ьГыь. Из соображений симметрии следует, что коэффициент пропорциональности один и тот же двя прямых и обратных переходов. Каждое прямое столкновение уводит скоростную точку из элемента объема скоростного пространства ь4ьо, каждое обратное столкновение вводит в тот жс объем какую-то другую скоростную точку. Увеличение среднего числа скоростных точек в элементе ьГьо в течение какого-то промежутка времени Г в результате прямых и обратных столкновений рассматриваемого типа пропорционально Статигтичесь,ие гиэспределенил (Гл.
У1 Прежде чем идти дальше. заметим, что для доказательства соотношения (74.2) можно было бы и не пользоваться моделью твердых упругих шаров. Вместо этого можно было бы построить доказательство на основе общих свойств симметрии, которые свойственны законам механики. Поэтому дальнейшие рассуждения не зависят от специальных предположений относительно формы молекулы и сил, действующих между ними. 4. Потребуем теперь, чтобы среднее число скоростных точек в элементе объема скоростного пространства ды не изменялось в течением времени, несмотря иа столкновения.
В выражении (74.2) скорость н следует считать фиксированной (точнее, конец некто)за и должен лежать в пределах дш). Напротив, скорости и, и направления линии центров могут быть какими угодно. Скорости и', и1~ однозначно определяются заданием у1 и направления линии центров. Среднее прирап1енис числа скоростных точек в элементе аы за рассматриваемый промежуток времени найдется суммированием выражения (74.2) по всем возможным значениям скорости и~ и всем возможным направлениям линии центров. Чтобы среднее число скоростных точек в дш не изменялось в результате столкновений, необходимо и достаточно, чтобы указанная сумма обращалась в нуль. Однако в состоянии хаоса, которым характеризуется тепловое движение молекул, надо потребовать болыпего.
Надо. чтобы обращалась в нуль нс только сумма в целом, но и каждое слагаемое (74.2) в отдельности. Смысл этого требования состоит в том. что а газе а состоянии хаотического диизюения догюкны колсгшнсироеать друг друга всякие даа протиьитолояато наприоленные процесса.
Скорости таких протиеопогюзюпо направленных процессов долзкиы бып~ь одияакеггыми. Это положение называется принципом детального равновесия. Если бы оно не выполнялось. то тепловое движение молекул в какой-то мере утратило бы беспорядочный характер и приобрело бы черты, свойственные упорядоченному движеншо. Принцип детального равновесия, разумеется, справедлив не только для газов, но и длл любых систем а сошполнии полного хаоса. 5.
Следующий пример, принадлежащий Я. И. Френкелю (1894 — 1952), уясняет, почему установившееся хаотическое состояние является не просто состоянием статистического равновесия, а состоянием <)стального тпатисти ~еского )юеаоаесил. Пусть население какой-либо страны сосредоточено в городах, попарно связанных между собой железными дорогами. Жители путешествуют по этим дорогам, переезжая из города в город, причем среднее число жителей в каждом городе остается неизменным.
Можно ли на основании этого утверждать, что среднее чи< во жителей, пероезжающнх из одного произвольного города Л в другой произвольный город В, равно среднему числу жителей, переезжающих в обратном направлении из В в А? Иными словами, можно ли утверждать, что рассматриваемое статистическое равновесие будет детальным? Нгт, этого утверждать нельзя. Например, если число городов три — Л. В и С, то постоянство числа жителей в каждом из них можно обеспечить путем движения пассажиров по замкнутому пути: из А в В, из В в С, из С в А и т.д.
Однако такое перемещение населения нг совместимо с представлением о хаотичности статистического равновесия, исключаюп1гй какое бы то ии было упорядоченное движение, в том числе Принцип детильносо равновесия з 74) 237 и круговое. Дополняя пример Френкеля, допустим, что путешествия жителой не являются целенаправленными, а совершенно случайными. Пусть, например, житель города А, отправляясь в путешествие, бросает монету. Выпадение герба или решки решит, в какой город гму ехать -- в В или С.
Так же поступает каждый житель городов В и С. Тогда неизменность среднего числа жителей в каждом из городов будет поддерживаться через детальное равновесие: число пассажиров, переезжающих в каком-либо направлении, в сродном будет равно числу пассажиров, едущих в обратном направлении. 6. Покажем теперь, как из принципа детального равновесия выводится максвслловский закон распределения скоростей. Надо потребовать. чтобы обращалось в нуль выражение в квадратных скобках формулы (74.2). При этом надо принять во вниманпе, что функция 7(у) может зависеть не от самой скорости ч, а от кинетической энергии ш Это приводит к уравнению ~(е )7(Е1) = 7(Е)~(Е1)., (74.3) или Яе ) ~[е1) ,~~Е) ~(е1) (74.3а) при дополнительном условии е+ 1 =е +ем 11е ) = сопев (74.4) при условии е "е=С=сопзс, где постоянная С может иметь любые значения.
С аналогичным уравнение мы сталкивались в 372. Только вместо частного 7(е'),~~(е) там стояло произведение 7(е) 7(е), а вместо разности е' — — сумма е'+ е. Но для применимости метода решения это несущественно. Поступая, как и раньше, находим 7(е) = Ае т.е.максвелловский закон распределения скоростей. 7. Неболыпое изменение в рассуждении приводит также к тсорсгис о равномерном распределении средней кинетической энергии между различными молекулами газа. Рассмотрим для простоты смесь двух газов. Величины.
относящиеся к одному из газов, будем снабжать нижним индексом 1, величины. относящиеся к другому газу оставлять без индекса. Детальное равнонесие должно иметь место по отношению к любым процессам, в том числе и к процессам столкновений между одинаковыми молекулами. Поэтому к каждому газу в отдельности В Д В.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
