Д.В. Сивухин - Общий курс физики, Т2. Термодинамика и молекулярная физика (1106322), страница 58
Текст из файла (страница 58)
Соотношение (70.3) часто называют услооием ссормирооии огроятности. Вероятность в принпипо можно было бы определить не выражением (70.1)т а выражением, ему пропорциональным, т.е. тем же выражением, умноженным на произвольный постоянный коэффициент й. Тогда соотношение (70.3) нс имело бы места. Только при й = 1 условие ссорлсировки приводится к виду (70.3).
Если число едиистоешсо оозмошспых песоомгстимых событий раотш доумт то события пазыоатотся. протаиоопс>лооюиылт. Каждому событию соответствует противоположное, состошцее в томт что первое событие не произойдет. Очевидно, сумма вероятностей противоположных событий равна единице. 8. Теорема умножения вероятностей. Вероятность произведения. двух событий А и В роост протлзогдттис оерояттсости одшсго из пих Р(А) тса оерояттсостссь другого, оьтислгпнуто о предтюлозюении, что 'первое событие произошло. Последнюю вероятность. о которой говорится в теореме, называют услоопой осроятпостью собьстил В при условии. что событие А произоимсо, и обозначают Р(В1А). Таким образом, Р(АВ) = Р(А)Р(В~ 4) (70А) Для доказательства допустим, что из и, единственно возможных, несовместимых и равновозможных случаев С,, Сг...
Сп С„, т С, Сь,.„,..., С, событию А благоприятствуют первые тп случаев, остальные же ему нс благоприятствуют. Пусть, далее, из тп случаев С,, С,..., С, С,,..., Стя первые 1 случаев благоприятстнуют событию В, остальные же ему не благоприятствуют. Значит, число случаев, благоприятствуюсцих и А, и В, равно 1, а потому Р(А В) = 1(тс. Далее, очевидно, Р(А) = пс/тс. Наконец, если событие А произошло, то случаи )Гл.
>>1 Ста>лис>пи'юскив распределен ия С ~ >,...,С„становятся невозможными, а нсе остальные случаи С>, Сз,..., Сг, Сг.ь>,..., Са, по-прежнему продолжают останаться равнонозможными. Поэтому Р[ В~А) = 1? гп. Таким образом, Р(Л)Р(В~Л) = — — = — = Р(АВ), что и доказывает теорему. Располагая при доказательстве события Л и В в обратном порядке, получим также Р1АВ) = Р(,В)Р(Л) В). (711.5) Отметим важный частный случай теоремы умножения вероятностей. /[опуст>гм, что вероятность каждого из двух событий А и В не зависит от того. произошло второе событие или не произошло. Б этом случае, события Л и В называются пезаоисигньглги или статистически >газ>>еиспмыми.
Для незаю>симых событий (70.6) Р?АВ) = Р(А)Р(В), т. о. перон>ппость произогдспия даух >гезаеисилгых событий раопи произегг)г.>ппо их оерг>ятпостей. Пример 5. В урне лежат четыре одинаковых шара, занумерованных цифрами 1, 2, 3, 4.
Какова вероятность того. что при последовательном вынимании двух шаров они окажутся с номерами 1 и 27 Вынем один шар. Вероятность того. что он окажется с номером либо 1. либо 2 (событие А), равна по теореме сложения вероятностей 1 1 1 Р(А) --- — .1- — = —,. 4 4 2 Если событие Л произошло, то в урне останется гри шара, один из которых будет иметь номер 1, либо 2. Вероятность вьшуть шар с таким помором?собь>тие В) равна Р? ВГЛ) =- 1,>3. Искомая вероятность по тепрел>е умножения вероятностей равна 1 1 1 Р? ЛВ) = —, 2 3 6 Проверим решение непосредственным подсчетом равновозможных случаев. Единственно возможно, несовместимые и равновозможныо события в рассматриваемом примере изобразим таблицей 12 21 31 41 13 23 32 42 14 24 34 43 Здесь первая цифра означает номер при первом вынимании, а вторая — при втором.
Число всех равновозможпых случаев двенадцать. Из них благоприятных искомому событию — два, а именно 12 и 21 гзти случаи подчеркнуты). Искомая вероятность есть 2?'12 =- 1,>б. Изменим теперь постановку задачи. Вынув шар и определив его номер, положим его обратно в урну и все шары тщательно перемешаем. Второе вынимание производим.
следовательно. при таких же условиях, т. е, прн том же количестве шаров в урне, что и первое. Теперь события Л и В становя гся независимыми. Вероятность Р(>1) останется прежней, т.е, равной 1,'2. Найдем Р(В). Если при первом вынимании появился шар с номером 1 (2), то 1 70) Элементарные сиызепия иэ теории вероятностей 235 11 '21 31 41 12 22 32 42 13 23 ЗЗ 43 14 24 34 44 Благоприятныо случаи подчеркнуты. 9.
Определение априорной вероятности может встретить принципиальнью трудности. Допустим, например. что бросается игральная кость, грани которой занумерованы цифрами 1, 2, 3, 4, 5, 6. Если кость совершснно однородна и имеет форму идеально правильного куба, то появления всех этих шести цифр при бросании будут равно- возможными событиями. Но если кость неоднородна или нс является правильным кубом, то зто уже не будет.
Тогда хотя понятие вероятности и сохраняет смысл, однако трудно представить себе, как в этом случае различные события можно разложить на равновозможные. Надо указать какой-то другой способ, с помощью которого можно было бы, хотя бы принципиально, найти вероятность и в указанном случае. Один из способов состоит в следующем.
Допустим, что игральная кость бросается п раз и при этом грань с номером 1 выпала н,~ раз. Отношение р1 = п1/и называется относительной чистогпой пояяления рассматриваемого события. Опыт показывает,и в этом проявляется статистическая закономерность,что при неограниченном возрастании и относительная частота щ стремится к вполне определенному пределу.
Априори ясно,что в случаеидеальной игральной кости этот предел должен быт» ранен 1!6, т.е. вероятности рассматриваемого события, как она была определена выше. Поэтому представляется естественным и в общем случае определить вероятность события с помощью соотношения пэ Р1 = )пп щ = )пп иэж иэ П (70.7) Конечно, применимость этого определения не ограничивается случаем бросания игральной кости. Оно распространяется без всяких измене- ний на все случаи, когда в результате испьгганий получается конечное число различных возможностей. 10. Существует еще одна интерпретация вероятности, применяющаяся в физике, вполне аналогичная (70.7).
Поясним ее на простейшем примере. Пусть в закрытом сосуде имеется одна молекула. Сталкиваясь со стенками (имеющими молекулярную структуру), молекула претерпевает беспорядочные отражения от них, следующие друг ча другом. При этом она побывает в различных местах сосуда. Выделим мысленно в сосуде какой-либо неподвижный объем р. Как определить событие В состоит в том. что прн втором вынимании должен появиться шар с номером 2 (1). Вероятность этого события Р1В) =- 1/4. Таким образом, по теореме умножения вероятностей Р1АВ) =- Р(Л)Р1В) =- П,~2) (1/4) = 1/8. В правильности результата нетрудно убедиться также, написав все рввновоэможные случаи. которые могут встречаться. а именно: (Гл. У! Стоял исплялчгскиг расяргдглги и я вероятность нахождения молекулы в этом объеме7 С этой цельил будем наблюдать за молекулой в течение длительного вреллени Т. Пусть часть времени ! молекула проводит в объеме и.
Отношение 1~Т называется относительным временем пребывания молекулы в объеме т Предел этого отношения (70.8) Р = !'пп г- Т и есть вероятность нахождения молекулы в объелле т Статистическая закономерность проявляется опять в том, что предел (70.8) существует, как это показывает опыт. 11. Важными понятиями в теории вероятностей и ее приложениях являются понятия среднего значения и математического оэягидаиил. Разъясним эти понятия на конкретнолл примере. Пусть произведено М однотипных измерений одной и той же величины а при неизменных условиях.
Пусть в пч случаях измеренное значение величины а оказалось равным аы в из случаях аз,..., в п.,„случаях а (па +из+ ч... +и, = дл). Среднее значение измеряемой величины определяется выражением ,'[опустим для простоты. что никаких других результатов, кроме аы аз, ., ., аян при измерениях появиться не может, так что эти результаты являются единственно возможными и несовместимыми. Тогда если неограниченно увеличивать число измерений !у, то частоты гы ьа„..., и перейдут в свои предельные значения Ры Рю..., Р, вероятности появления при измерениях значений аы аг,...,а,я.
Выражение (70.0) при этом переходит в М(а) = Р,а, + Рзаз+... + Р аям (70. 10) Сумма (70.10) называется матемигпичсским огюидглиигм величины а. Истинное значение измеряемой величины а, как правило, определить невозможно. так как измерения, сколь бы точны они ни были, сопровождаются ошибками. (Исключения имеют место только при счете конечного числа предметов.) Например.
число жителей в доме или число деревьев в саду можно сосчитать совершенно точно. Систематические ошибки могут быть исключены путем тщательного изучения приборов я методов измерения. Но случайные ошибки всегда остаются. Влияние их уменьшают путем многократного повторения измерений. Идеальной целью, к которой слодовало бы стремиться на атолл пути, является нахождение математического ожидания измеряемой величины. Оно и представляло бы окончательный резулыат измерения, выдаваемый экспериментатором за истинное значение измеря- омой величины.
Но нахождение математического ожидания требовало бы бесконечного повторения измерений, а потому на практике вместо него приходится довольствоваться средним значением, полученным в результате как можно большего числа измерений. э 70) Элементарные саед«несся из пшории веролтнпстей 237 Можно сказать, что математическое ожидание является пределом, к которому стремится среднее значение (а) нри неограниченном возрастании числа Х.
Различать эти понятия крайне необходимо, когда требуется точность в рассуждениях. Однако, когда такой необходимости нет, термином «лсатематнческое ожидание» обычно не гюльзуются и называют средним значением как величину (70.9), так и величину (70.10).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
