Д.В. Сивухин - Общий курс физики, Т2. Термодинамика и молекулярная физика (1106322), страница 59
Текст из файла (страница 59)
12. Затронем попутно со всей возможной краткостью некоторые вопросы теории ошибок. Хотя непосредственно для нашего курса они не нужны, но вопрос об ошибках измерений является основным нри статистической обработке результатов любых измерений. Поэтому имеет смысл на нем остановиться. Здесь речь пойдет только о слрчайныт есаибках. Ошибкой назьюаегасл разность между измеренным и истинньсм значенилми измссряемой вели «ины. Если в результате Дс одногипных измерений получено г1 значений измеряемой величины аы аз,.... а,н, то ошибки этих отдельных измерений будут (70.11) х., =- а, — а (1 =- 1, 2..... г1). хс+хг+ .+хн (70.12) Точное вычисление ошибок хм тэ,..., а с ними и величины «3 „ссевозлсожпо, так как истинное значение измеряемой величины а, неизвестно.
Вместо точного вычисления приходится довольствоваться вороятностной оценкой величины «3 „. С этой целью введем понятие отклошенил результатое отдельных измерений от среднего значения (а). т.е. величины у, = а., — (а) (с = 1,2,..., 1У). (70.13) Эти отклонения удовлетворяют тождеству ,'Г р,=о, (70.14) которое непосредственно следует из определения среднего арифметического (а). Подчеркнем здесь, что для оснибок х, подобнос равенство места яе имеет. Йстинное значение суммы ошибок 2, х,.
конечно, неизвестно. Однако «тли рассматриваемую серию из «у измерений повторять многократно, устремляя число таких повторений к бесконечногти, то можно утверждать. что математическое ожидание указанной суммы будет равно нулю: М(~ х,~ =- О. (70Л 5) В этом проявляется случайный характер ошибок. Из (70.11) и (70.13) следует, что х, = у,-~б, где 6 — постоянная: д =- (а)— — а. Она имеет смысл ошибки среднего результата.
Ее точное вычисление. конечно. невозлюжно. Но можно дать вероятностную оценку абсолютного значения величины 6 нли, лучше, ее квадрата. Величина б, = зсс7дэ) называется средней квадратичной ошибкой среднего результата. Ее вычисление и является главной целью геории ошибок. Возведя равенство х, =- р, .; д в Для характеристики средней степени точности прибора и метода измерения применяют обьсчссо так называемую среднюю кеадрансичную сна«едки егпдель- ного измерения. Это ость квадратный коронь из среднего квадрата ошибки отдельного измерения,т.е. величина )Гл.
У1 Стою испигчесьгие 1 определен ив квадрат и просуммировав по всем 1. получим ввиду соотношения (70.14) х',: —. ~ у,' т ~ бв или 1У (хв) — —. ~1 ув 1У б~. Далее, а, ~(а,— а) ~ х, М б1 откуда 'уэ Первое слагаемое в правой части сушествопно положительно и равно ',х ).
в Что касается двойной суммы, то о ее значении сказать ничего нельзя. Можно утверждать только, что осли рассматриваемую сершо из г1 измерений повторять неограниченно. то двойная сумма с равной вероятностью будет принимать как положительные, гак и отрицательные значения. Ее математическое ожидание будет равно пулю, подобно математическому ожиданию (70.15). Для вероятностной оценки среднего квадрата 1б~) заменим двойную сумму ~ ~, х;х, ее математическим ожиданием.
Таким путем получим М(б ) = =. (х ), а потому ~тз) Отсюда (70.101) (70.17) В |гравые части этих формул входят только известные величины — отклонения результагов отдельных измерений от среднего значения (а). Поэтому 170.16) и 170.17) могут служить для фактического вычясления сречних квадратичных ошибок Л „и б„или, лучше, их вероятностных о~1енок. Окончательный 1эезультат измерения принято записывать в виде а .— — (л) — б,. Величина б „определяет число достоверных десятичных знаков, с которыми может быть получено значение измеряемой величины. Величина З .
от числа измерений пе зависит. Увеличивая число измерений, мы только уточняем значение этой величины. Поэтому б,„1/угЖ. Для того чтобы повысить точность результата на один порядок, оставляя точность отдельных измерений неизменной, надо увеличить число измерений в 100 раз. Повышение точности на два порядка потребовало бы увеличения числа измерений в 10 000 раз.
Отсюда видно,что метод многократного повторения измерений эффективен лишь при сравнительно яебольших значениях Ж. 13. Понятие вероятности мы разьяснили применительно к случаям, когда множество различных событий, которые могут пояяиться при испытании, конечно. По могут бьггь и такие случаи, когда это множество бесконечно и даже нспрерыопо. С такими случаями мы встречаемся, например, при измерении величин, могущих принимать непрерывный ряд значений. Можно, например, ннести вероятность Э 71) Распределение сяоростеа молекулм еаэл.
Постановка зада ш 239 с7Р того, что числовое значение измеряемой величины, полученное в результате измерения, будет заключено в пределах от а до а+ дш Эта вероятность пропорциональна ширине бесконечно узкого интервала е1а,, так что она может быть представлена в киде с1Р = р1а) е1а, причем коэффициент пропорциональносги р, вообще говоря, зависит от а. Функция р(а) называется плотностью оеролтпости. Услов»с нормировки 17113) принимает вид р1а) с7а = 1, (70.18) а формула (70.10) для математического ожидания переходит в 170.19) М(а) = ар(а) с1а. Интегралы берутся по всем значениям, которые может принимать а. Однако во всех случаях в качестве пределов интегрирования можно поставить — оо и +ос, считая, что вне области изменения а плотность вероятности р1а) равна нулю.
3 71. Распределение скоростей молекулы газа. Постановка задачи 1. В состоянии статистического равновесия все направления скоростей люлекул при тепловом движении равновероятны. Если бы это было не так. то теплокое движение газа не было бы вполне беспорядочным. Модули всех скоростей люлекул к том же состоянии также не могут быть одинаковыми.
Даже если бы случайно онн и оказались одинакокыми к какой-то момент времени, то в дальнейшем такое состояние быстро нарушилось бы из-за столкновений молекул между собой. Рассмотрим, например, простейшую модель газа, состояп1ую из идеально упругих и гладких шариков, взаимодействующих меж- ми До удара После удара Рис. 19 ду собой лишь в моменты столкновений. Допустим, что столкнулись молекулы 1 и 2, скорости которых до столкновения и~ и иэ были взаимно перпендикулярны (рис. 49). Первая молекула двигалась вдоль )Гл.
У! Стагписпггг'гггснис распрсдс.гения 24О линии центров Ы, вторая перпендикулярно к ней. Так как шары -- абсолютно гладкие, то касательные составляющие их скоростей в результате столкновения не изменятся. Однако шары, как известно из элементарной теории удара, должны обмениваться нормальными скоростями. После столкновения первый шар остановится, скорость второго получит приращение Луэ = тгг, т.с. обратится в у', = у + + нг. Она изобразится диагональю параллелограмма, построенного на векторах уг и уъ Вели вг = пг, то г!~ = игу'2.
Этот пример показывает, что при столкновениях меняются не только направления движения молекул, но и абсолютные значения их скоростей. Рассмотренное столкновение является только одним из возможных. На самом деле столкновения бесконечно разнообразны. Они сопровождаются всевозможными изменениями скоростей и приводят в конце концов к вполне определенному статистическому распределению молекул по скоростям. 2. Задача о распределении молекул газа по скоростям была поставлена и решена Максвеллом в 1859 г. Уясним сначала постановку задачи. Допустим.
что в закрытом сосуде содержится большое число дг молекул газа и что внешних силоуи вых полей, действующих на газ. нет. Примем у произвольную точку пространства О за начало координат (рис. 50). Отложим от нее в какой-то момент времени 1 векторы скоростей всех молекул газа: у,, уг,..., ук. Конуг цы этих векторов назыиаются скоростггыягп, или изобраосагощи.чи, точками.
Совокупность всех изображающих точек образует Рис. 50 трехмерное пространство, называемое про- сгпранстаом скоростей. В нем можно ввести прямоугольные оси. Координатами скоростной точки являются проекции н, и„, с, вектора у на ьчи оси. Задание скоростей всех молекул газа эквивалентно заданию положения их скоростных точек в пространство скоростей. С чисто динамической точки зрения задача о распределении скоростей молекул сводится к определению положения скоростных точек в пространстве скоростей в любой момент времени. Но, как уже указывалось в ~9г для систем с колоссальным числом молекул в такой динамической постановке задача неразрешима и не представляет интереса.
Распределение молекул по скоростям должно рассматриваться как статистическая задача. Ее можно формулировать следующим образом. 3. Возьмем в пространстве скоростей физически бесконечно малый элемент объема, имеющий, например, форму прямоугольного параллелепипеда с ребрами Нгг„, бвгм бв, и с центром в точка пгм гги, и,. Объем этого параллелепипеда равен бы = агин ага йгя, число изображающих точек в нем обозначим через сггэ'. Из-за взаимодействия молекул меняются их скорости. На геометрическом языке это означаот, что изображающие точки одних молекул уходят из элемента объема "З 71) Распределение сгаоросгаей молекулы газа.
Постановка зада т 241 ейо, изображающие точки других молекул вступакзт в него. Число скоростных точек д% внутри обьема е1ы, таким образом, не сохраняется постоянным. Если элемент око выбрать очень малым, то в нем окажется мало изображаюп1их точек. Может случиться., например, что в одни моменты времени в обьеме е1ы окажется одна нли две скоростных точки, а в другие моменты -- ни одной. Число скоростных точек е1лу', таким образом, будет резко и нерегулярно меняться от одного момента времени к другому.
Во избежание этого надо обьем е1ы выбрать достаточно большим, чтобы в нем находилось еще очень много изображающих точек. 'Горда в установившемся состоянии числа с1% будут меняться относительно мало, колеблясь вокруг некоторого среднего значения (й%), а поведение самих средних значений (с1%) будет подчиняться определенным статистическим закономерностям, которые мы и должны установить. Но объем е1оз в то же время должен быть настолько малым, чтобы распределение изображающих точек в пространстве скоростей было описано достаточно детально, и настолько малым, чтобы с величинами е1о,е с1яу, Ыпе, а также с1ы и е1% можно было обращаться как с бесконечно малыми дифференциалами.
Обоим требованиям удается удовлетворить практически всегда благодаря колоссальности чисел молекул, содержащихся в газах. 4. Отношение д11"(ч) = (е1д1)(пы имеет смысл средней концентрации скоростных точек в пространстве скоростей и вполне аналогично концентрации частиц в обычном (координатном) пространстве. Величина 1(ъ) называется функцией рс~снределенцл молекул по скорое.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
