Д.В. Сивухин - Общий курс физики, Т2. Термодинамика и молекулярная физика (1106322), страница 60
Текст из файла (страница 60)
ллс Она может быть интерпретирована как плотность вероятности распределения изображающих точек молекул в пространстве скоростей. К определению функции 1(ъ") и сводится статистическая задача о распределении скоростей молекул. Если с1% или (е1%) проинтегрировать по всему скоростному пространству. то в результате., очевидно, получится полное число молекул %.
Отсюда следует условие нормировки (71.1) ~(г) е1ы = 1, которому должна удовлетворять функция 1 (г). В дальнейшем мы будем иметь дело только со средними числами (е1Ру), а не с мгновенными значениями с1%. Ноэтому для сокращения письма знак усреднения ( ) обычно будет опускаться. Иными словами, в да,п нейшем всюду под е1К будет пониматься среднее или вероятное значение этого числа. т. е. (е1Л"). По смыслу функции распределения е1~у* = Ру1(т)е1ы = Ру1(пп, еу., я.) е1о, е1оу е1ее (71 2) дает среднее число молекул, компоненты скоростей которых лежат мсзкцу и» и в„+ пуп, уу и яу + сею, в и пе + е1п соответственно. Функция распределения г'(и) меняется непрерывно и плавно с изменонием скорости г.
Она описывает не истинное, а только сглазюснпос, орестее, или вероятное. распределение молекул по скоростям. Это )Гл. У1 Стотистичсслше распрсдялеии,я 242 видно из того. что истинное число скоростных точек в любол~ злементе ды скоростного пространства может быть только целым. Величина же и',гя', определяеллая выражением (71.2), может принимать любые значения. При статистической постановке задачи не имеет также смысла спрашивать, сколько молекул газа иллеют вполне определенную скоросты с компонентами с,, гч„с .
Речь может идти только о среднем числе Н% молекул в элементе объема скоростного пространства Ньл = = иг,л Иия ивя. При стремлении Ны к нулю стремится к нулю и число г1ЛЛ Такл1м образом, среднее число молекул со строго определенной скоростью ч равно нулю. Это станет очевидным, если заметить, что множество всех векторов ч, т.е. всех точек скоростного пространства бесконечно, тогда как полное число молекул газа Л' конечно.
По той же причине равно нулю среднее число молекул со строго определенным направлением вектора скорости. 5. Для,лучшего уяснения статистического характера задачи о распределении скоростей молекул может служить демонстрационный прибор,называемый доской Гпльтоип. Эта доска, с передней стороны прикрытая стеклом, в которую в шахматном порядке достаточно часто вбиты гвозди (рис.
51). Внизу под гвоздями установлеяы равноотстоящие вертикальные 0 Рис. 21 перегородки из металлических пластинок. Они делят пространство между доской и стеклом на равные объемы, называемые ниже для краткости и сейкалли. Вверху над гвоздями в средней части доски пол1вп1ена воронка, в которую можно сыпать песок, тпено или другие частицы. Если бросить в воронку одну частицу, то при падении вниз она испытает множесчво "Э 71) Распределение гжоростей молекулы газа.
Постановка зада пл 243 столкновений с гвоздялш и в конце концов попадает в одну из ячеек. В какую ячейку попадает частица — это предсказать невозможно из-за множества случайных факторов, влияющих на ее движение. Можно говорить лишь о вероятности попадания частицы в ту или другую ячейку. Естественно ожидать, что попадание частицы в центральные ячейки более вероятно, чем в крайние. И действительно, если непрерывно сыпать частлп1ы через воронку. то оказывается.
что в центральные ячейки, находящиеся под отверстием воронки, попадает частиц больше всего, а в крайние — меныпс всего. При очень большом количестве частиц, прошедших через воронку вырисовывается вполне определенная статистическая законолшрность распределения их по ячейкам. Эту закономерность можно даже представить в пределе аналитической формулой. С этой целью соедияим плавной кривой вершины столбиков, которые образуют часгицы в ячейках.
Оказывается, что при очень болыпом числе частиц кривая асимптотически приближается к кривой вида у = <р~х) гя Ле (71.3) где Л и о — положительные постоянные. Из них постоянная о зависит только от параметров прибора, по не зависит от числа частиц. Постоян- ная Л пропорциональная числу частиц и связана с постоянной о условиел~ нормировки. б. Формула 17!.3) выражает так называемый нормальный закон распредел пил ошнбоя Гаусса (1777-18згзг), а соотвотствуюп1ая ей кривая кривой олиибон Гаусса. Величина Эл(х) ~1х дает вероятность того, что при измерении будет сделана ошибка, заключенная в пределах от х до х-~- дт.. Конечно, при такой интерпретации плотность вероятности 1а(х) должна быть нормирована условием Эл(х)дхгяЛ ~ е " дт.=1, (71.4) 7.
Задача о распределении молекул газа по скоростям, квк она сформулирована выше, а также методы решения ее, приводимые дальше, являются чисто клиссическими. Г)аятоллу необходимо прежде всего выяснить границы применимости такого классического рассмотрения. Если не обращать внимания на малосущественные числовые коэффициенты порядка единицы, то ответ можно получить из наглядных соображений, хотя бы с помощью пршлцитпл иеопределе~лиоспли Гейэенберга (11)01 — 11)76). Выделила в газе маленький кубик со стороналии х, у, -, на который в среднем приходится одна частица.
Если выполнены условия хр»й. ур»й., гр,»)л.. с помоп1ью которого постоянную Л можно выразить через постоянную о 1слс задачу 2 к Э 72). Чем больше о, тем более острылл будет максимум на кривой ошибок, тем точнее измерения. Поэтому постоянная о должна быть связаяа со средней квадратичной или средней арифметической ошибкал~и, характеризующими точность измерения (слс задачу 3 к Э 72). Что касается доказательства закона ошибок Гаусса (71.3), то оно может быть проведено аналогично тому, как в следующем параграфе доказывается закон распределения скоростей Максвелла. [Гл. У! Статистические р спределения 244 Л= — = р 1по [71.5) имеет размерность длины.
Она называегся длиной оолвы де-Бройля [род. 1882) н играет исключительно важную роль в квантовой механи- ке. С введением Л условие применимости классического рассмотрения газа принимает вид пЛЗ « 1. [71.6) Оно означает, что среднее число частиц в объоме Лв должно быть мало по сравнению с единицей. ,'[ля оценки порядка величины Л воспользуемся какой-либо средней скоростью, характеризующей тепловое движение молекул газа. Пока в нашем распоряжении есть только одна из таких скоростей, а именно средняя квадратичная скорость ик, = /ЯТ(т [см. 8 60). Используя ее, придадим условию [71.6) вид [71.6) Т » Т, где введено обозначение Т = и Зйт [71.7) Величина Т, называется температурой оырооюдеш я газа. Таким образом, классический способ рассмотрения 'аримеп м при температурах, значительно превыгипющих гпемпературу оыуоитсдепия, При более строгом рассмотрении за температуру вырождения принимают 2йлп (8я) [71. 8) Она примерно втрое меныпе предыдуп1его выражения.
Газы ниже температуры вырождения называются оыроон:денными. К ним классический способ рассмотрения неприменим. Вычислим температуру вырождения для двух крайних случаев. ,'[ля электронного газа в серебре и, = 6 10~~ см' ', масса электрона гп = 9.11 1О ~~ г. По формуле [71.8) получаем для электронного газа в серебре Т, = 6,5 104 К. Подобные же значения получаются для всех других хорошо проводящих металлов.
При таких высоких температурах ни один металл в твердом состоянии существовать нс то движение частицы в этом кубике можно рассматривать классически. Действительно, согласно принципу неопределенности Гейзенберга, произведение квантовых неопределенностей координаты и импульсы частицы порядка Б, а потому при соблюдении указанных условий эти неопределенности существенной роли не играют. Перемножив эти три неравенства, можно заменить их одним: Грз » и', где Г = ту:— объем кубика, а р — некоторый средний импульс, характеризующий движение частиц газа.
Е'ели и число частиц в единице объема, то Мп = 1, в результате п[й/р)в « 1. Величина з 72) Закон, раеггределения, скоростей Мояеее>гло 215> может. Отсюда следует, что электронный газ к хорошо проводящих металлах всегда полностью вырожден. Возьмем теперь другой крайний случай гелий. >Масса атома гелия ш = 6,6 !О ал г, а концентрация при нормальных условиях и = 2,7 10 ' см гг. Вычисление по формуле го, (71.8) дает 7к =. 0,05 К.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
