Д.В. Сивухин - Общий курс физики, Т2. Термодинамика и молекулярная физика (1106322), страница 62
Текст из файла (страница 62)
+ с7ия), а умноженная на Х, она даст вероятное число молекул со скоростями в том же интервале. Функция а(и ) должна быть нормирована условием ~ 72) Закон, распределенггл скоростей. Мансвеааа Входящий сюда интеграл называется интегралом Пуассона. В курсах математического анализа доказывается, что -~-сс е ~ с1б = з/т. (72.7) С использованием этого результата получаем А~ = ъ/чпа~Зл.
(72.8) (еа) = едко(е~) с1еа, или более подробно г г ( .) = г Введем прежнюю переменную интегрирования б. Тогда получим — 4'е ' 1б Интегрированием по частям находим бг — с' ~~ (с -е')'. Первое слагаемое в правой части обращается в нуль, так как при б — > — оо показательная функция е с стремится к нулю быстрее, чем стремится к бесконечности любая степень с. В результате получаем — е ~ с1~, или, учитывая (72.6), (еа) = (1)2)о. (Заметим, что для получения этого результата знания интеграла Пуассона (72.7) не требуется.) Но по определению кинетической температуры (еа) = (1г2)0 = (1/2)ЙТ.
Это дает О = (72.9) А — А— ~) 2гсйТ' (2нйТ) (72.10) 6. Задача свелась к вычислению одной только постоянной о. Для этого замечаем, что средняя кинетическая энергия (еа) теплового движения вдоль оси Х выражается через функцию распределения аг соотношением (Гл. У1 Стотвстпчеткве р определения 250 В результате для функции распределения 1э(и,) и 7(ъ) получаем 1с(п.) = ( ) ехр( — —,), (72.11) 7(у) = ( „,) ехр( — —,;), или более подробно эс(н ) = (,,) ехр( —, *,), (72.12) (72.13) 7(е) = (...) ехр( —,,). (72.14) ЗАДАЧИ 1. Применяя метод Максвелла, с помощью которого были выведены формулы (72.3), получить формулу (71.3), определяюгцую распределение частиц по ячейкам в демонстрационном опыте с доской Гальтона.
С этой целью рассмогреть двухметровую доску Гальтона с ячейками, имеющими форму прямоугольных параллелепипедов. боковые грани которых параллельны координатным плоскостям ХИ н УЕ. Аналогичным путем получи гь закон ошибок Гаусса. 2. В закона ошибок Гаусса (71.4) выразить постояннунэ Л через постоянную и.
Ответ. Д = 1, оГл. 3. Выразить через о среднюю и среднюю квадратичную ошибки прн гауссовом законе распределения ошибок. Найти связь между этими ошибкамн. О т в е т. ( х~) = 17~но, Л, = ~'(хе) = 1(т'2сг,,й . = тУт/2(,'х~). (72.15) Непосредственное вычисление (х') довольно кропотливо и требует большой затраты времени.
Последняя формула сводит вычисление этой величины к вычислению (~х~), что значительно проще. Такой прием целесообразно применять, например, при обработке результатов наблюдения броуновского движения (см. 304). я 73. Распределение молекул по абсолютным значениям скоростей. Средние скорости молекул 1. Функция 7(е) имеет смысл объелпюй плотности вероятности., с которой изображающие точки молекулы газа распределены по пространству скоростей. Умноженная на полное число молекул Х, она дает среднее, или вероятное, число изображающих точек а единице объема пространства скоростей. Это и есть окончательная формула., выражающая максвелловский закон распределения скоростей. Она применима не только к газам, но и к жидкостям н к твердым телам во всех случаях, когда еще можно пользоваться классическим способом описания движения.
з 73) Средние окорогто молекул 2ог1 Р'О =4по-'й ): 173.1) или окончательно г'1о) = 4тг(, ™ ) о ехр( — —,,). 173.2) Значит, а/э оЛ' = 4пЛ'(, „,) о ехр( — —,,) сЬ. 173.3) Ясно, что функция Г1о) удовлетворяет условию нормировки Г1о) г1о = 1. о 173.4) Этими формулами и решается поставленная задача. 2.
График функции г 1о) представлен на рис. 53. Кривая г(о) асимметрична и проходит через нуль в начале координат. Напротив, кривая у(о ), как мы видели, симметрична и в начале координат проходит через максимум. 3!егко видеть, в чем причина этого раз! личия. Выражение чо(ол) г1ол дает вероятность попадания молекулы в бесконечно тонкий плоский слой скоростного пространства между плоскостями о, = сопв1 и о,+г4ол = — сопва Выражение Г(о) до есть о, также вероятность попадания моле- Рис.
о3 кулы в бесконечно тонкий слой, но сферический, заключенный между двумя концентрическими сферами о = сопве и о + бо = сопвб Если фиксировать толщину доо, то все Найдем теперь распределение. молекул гана по абсолютнллм значениям их скоростей. Направления скоростей нас больше не интересуют. Надо найти вероятность того, что модуль скорости молекулы заключен между о и о + до. Эту вероятность будем обозначать через Г1о) й'. Умноженная на М, она дает вероятное число молекул бчУ с такими скоростями. Новая функция распределения Г(о) просто связана с ранее введенной функцией 7'1е). Будем откладывать от одной и той же точки 0 векторы скоростей всех молекул газа.
Из них отберем векторы с длинами, заключенными между о и о+ до. Соответствующие скоростные точки лежат внутри бесконечно тонкого шарового слоя со средним радиусом о и толщиной бо. Объем этого слоя доч = 4чгоэ г1ьс Объемная плотность 71е) внутри шарового слоя постоянна., так как она зависит только от модуля скорости о.
но не от ее направления. Умножив ее на объем слоя г1од находим искомую вероятность 71е) боо = 4поч71е) до. Но для той жс вероятности ранее мы писали г )о) ч1в. Сравнивая оба выражения получаем (Гл. У1 Сгпатистичссьие ргспределенил 252 на кривой Е(ь) = 4хи 7" (гг) определяется произведением конкурирующих множителей: монотонно убывающего 7'(н) и монотонно возрастающего ь~.
Следующая аналогия полезна для уяснения указанного различия между функциями гр(гг ) н Г (с). Допустим, что производится стрельба по мишеням. Попадание пули в то или иное место мишени есть случайное событие, а потолгу распределение пробоин в мишени подчиняется законам случая. Если гпппень разчелить на одинаковые вертикальяые полоски (рис. 54), то, как и в опыте с доской Гальтогъ г нс 54 на, распределение вероягности попадания в ннх представится симметричной кривой гс(т). Если же мишень разделить на кольца равной толщины, то плогггапи их будут возрастать с возрастанием радиуса, а распределение вероятности попадания в кольца ггредставитсл асимметричной кривой, напоминающей кривую рис. 53.
3, Скорость, при которой функция г'(и) максимальна., называется гшиболее оероятной скоростьиг. Будем обозначать ее через ст. Для нахождения с,„величину Е лучило рассматривать как функцию аргумента и~. Дифференцируя (73.2) по указанному аргументу и приравнивая результат нулю, получим , ~и~ ехр( — ',,)~ = '(1 —,,~ ехр( —,,) = О, откуда и:— и„, = х72йТ(пг. (73.5) Средняя, нли средняя арифметическая, скорость молекулы определяется обычной формулой (и) = — ~ гг г1Дг = и7л(и) г1с. — д~ с 1!одставляя сюда значение Е(и) и интегрируя, получим бйт 14 (н) = г1 = и,г1 — = 1,13сси 'г~ ггш 1г з (73.6) п,воские слон будут одинаковыми, каково бы нн было значение ие.
Естественно, что выражение 4г(н ) ьгсн, а с ним и функция гс(и ) максимальны в центре, т. е. при ил = О. Напроти~, при фиксированной толпгине сферических слоев г1и нх обьемы возрастают с возрастанием и благодаря наличию множителя 4пиз в выражонии г1гс = 4пи 1" (гг) г1и.
Вниду этого положение максимума з 74) Принцип дете ььноеа равновесии 253 )[сбавим сюда еще среднюю квадратичную скорость, опредслянпцую среднюю кинетическую энергию молекулы (1/2)т(т,з) = (1/2)тип-„= = (3/2)йТ (см. 362). Эта скорость с, =,БИТ(гл = 1,22 онм (73.7) Эти три скорости отличаются друг от друга числовыми множителями порядка единицы. причем н „) (н) ) и . Поэтому каждая из них может быть использована для общего представления о скоростях теплового движения молекул. ЗА! [АЧИ 1.
Написать выражение для среднего числа 4% молекул газа, кинетические энергии которых заключены между е и .Ь Н . Ответ. с1% = 2х7т(хйТ) эга тУеехр( — — ) М. йТ) 2. Найти среднее эначеппс обратной величины скорости молекулы в газе. О т В е тс 3. Найти среднее число молекул, компоненты скорости которых, параллельные некоторой оси, лежат в интервале (гв е~ + дг1), а модули перпендикулярной составляющей скорости заключены между ол и тл 4-Й:х. Решение. Искомое число молекул дА1 равно сродному числу скоростных точек в элементе объема пространств скоростей, эаключеяном между двумя коаксивльныл1и цилиндрами радиусов ол и ел 4 г1ел и высоты дср Обьсм этого элемента равен гйа -- 2хел йн г г1е„„а среднее число скоростных точек в нем йЖ = Т4ы = 2.т[,) ехр(- — ) е Нет ~1о.„.
4. В диоде электроны, эмитируемые накаленным катодом, попадают в задерживаюп1ее поле анода. До анода доходят лишь достаточно быстрые электроны. Считая, что тепловые скорости эмитируемых электронов (вышедших из катода) распределены по закону Максвелла с температурой 7' =-. =. 1150 К, определить долю электронов о, преодолевающих задерживающий потенциал. 1) Г = 0,2 В, 2) К =- 0,4 В. Катодом является тонкая прямолинейяая нить. натянутая по оси цилиндрического анода.
Ответ. о — — ехр(-ек/57"), где е — заряд электрона (по абсолютной величине); 1) н = 13,4% 2) о —.— 1,8%. ~ 74. Другое доказательство закона распределения скоростей Максвелла. Принцип детального равновесия 1. Пусть в отсутствие силовых полей газ находится в закрытом сосуде, стенки которого поддерживак>тся при постоянной температуре. Если в какой-либо момент времени в газе создать какое угодно распределение скоростей между молекулами, то в результате столкнонений (Гл.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
