Д.В. Сивухин - Общий курс физики, Т2. Термодинамика и молекулярная физика (1106322), страница 57
Текст из файла (страница 57)
Появление треугольника, у которого одна из сторон длиннее сумлгы двух других, есть также событие, хотя и невозможное. Собью<ив низьг<гае>пся случайны.и, если о резуль>па>пе испьипиния оно мог<ест как произойти, так и не произойти. Например. при игре в орлянку может выпасть либо герб, либо решка. Это -- случайные события. Положим в урну несколько занумерованных, в остальном совершенно одинаковых шаров и тщательно перемошасм их. Если наугад вынуть один шар, то появление шара с определенным номером будет также случайным событием.
4. Суммой доут, еобыппгй А и В низьшается соби<вне, еое<поящее в появлении либо события А, .>ибо еобытил В (без указания, какого именно). Так, если в урне лежат красный, зеленый и белый шары, то )Гл. У1 Столппетичсскис распределения 230 появление при вынимании цветного шара есть сумма двух событий: 1) появление красного шара и 2) появление зеленого шара. Сумма событий А и В обозначается А + В. Произее.'девиеем событий А и В называется собьгптс. состоящее в появлении ьак события А, так и события В. '1'ак, если монета бросается два раза, то появление при первом бросании герба.
а при втором решки есть произведение двух событий: 1) появление при первом бросании герба и 2) появление при втором бросании решки. Произведение событий А н В обозначается через АВ. События, Аы Аг,..., А„называются единственно оозможпыми, сели при данном испытании одно из тих (неизвсстею какое) обязательно должно произойти. Очевидно, сумма всех единственно возможных событий есть событие достоверное. Собыгпия Аы Аг, ..,, А„ называютпся несовлиестимыми, если пояоленис одного из них исключает пояолепие тобаго из остальных. Очевидно, нроизведение всех несовместимых событий есть событие невозможное.
Два случайныс события назыоаюгпся равновозлюжными или решновероятностнъсчи если нет никаких оснооаний ожидптьь что при испытаниях одно из них будет поваляться чаще другого. Например, выпадение герба или решки при бросании монеты равновозможныс события. Несколько событий назыввэотся равновозмохсными, если ка:нсдые два из них равновотможны. 5.
Вероятность случайного события есть количественная мера ошсидасмой воэмошсности его появления. Для введения этой меры рассмотрим сначала п единственно возможных, несовместимых и равновозможных событий А,. Аг,.... А„. Вероятностью каждого из них называют дробь 1/и.
Например, если в урне лежат 100 тп1ательно перемешанных одинаковых занумерованных шаров, то вероятность вынуть наугад шар с номером 1 равна 1,1100. Распространим теперь понятие вероятности на случай, когда единственно возможныс и несовместимые собьпия Аы Аг,..., Л„не равновозможны, но могут быть представлены в виде суммы равновозможных событий, представляющих их частные случаи. Пусть, например, событие 4; разложено на т, единственно возможных несовместимых и равновозможных событий А; ы А, г,..., А„, . Очевидно, все события 4~ ы А1 г,...., А ~ „„..., Аа ы А„г. А„„будут единственно возможны, несовместимы и равновозможны.
Вероятностью события А, называют дробь (70.1) с=14,) = т Ь тг -~-... -~- т„ Условимся называть события А; ы А;г...., А; „при которых наступает событие А„блигоприятнымн случаями для А,. Тогда определение вероятности. можно формулировать следующим образом. Вероятностьго события наэыоается отношение числа раоновозмоэюных случаео, благоприятных этому событию, к пшлу вест. рооноооэмтгсных счучоев, которые могут егстрепшться при испытании. 3 70) Элсмеитирныг сведения из плеории ее!юлтностей 23! Дестине)зное и невозможное событие можно рассматривать как предельные варианты случайных событий.
Вероятность достоверного события равна единице, вероятность невозможного собьггия — нулю. Пример 1. В урне лежаг 100 тщательно перемешанных шаров, отличающихся друг от друга только цветом: 30 белых, 25 красных и 45 золеных. Какова вероятность вынуть белый шар? Число равновозможных случаев, которые могут встретиться при испытании, равно 30 ! 25.ь 45 .=- 100. Число равновозможных случаев, благоприятных выниманию белого шара, есть ЗО.
Поэтому вероятность вынуть блшый шар будет Ре,„=- ЗО/!00 =. 3/!О. Аналогично, для красных и зеленых шаров Р „=. 2э/100 =- ! Д1, Р„, = =- 45/100 =. 9/20. (В) 6. Определение вероятности (70.1) предполагает, что еще до ис- пытания имеются какие-то основания (например, соображения сим- ллетрии, однородности и пр.) оценивать равнонозможность событий, а также представлять события в виде сумм равновозможных событий. Поэтому так определенную вероятность называют априорной аеро- лггплостгнно, т.е. такой вероятноцтью, о которой мы судим до опьпа. Судить о равновозможности событий, даже в простейших случаях, не так легко, как это может показаться на порвый взгляд.
Приведем пример. Пример 2. Монета бросается два раза. Какова вероятность того, что при двух бросаниях по крайней море один раз выпадает горб? Равновозмож- ных случаев, которые могут представиться при таком испытании (т. е, при двух бросаниях), четыре, а именно: 1) герб — герб, 2) герб — решка, (л) 3) решка — герб. 4) решка — решка. Из них первые трн — благоприятные рассматриваемому событию, т.е. появлению герба по крайней мере один раз. Поэтому искомая вероятность 3/4.
Даламбер (1717 — 1783) оспаривал этот результат. Он писал, что если при первом бросании выпал герб, то второе бросание становится ненужным, так как и без того ясно. что мы ил|еелг дело с благоприятным случаем. Поэтому вместо чьчырех различных возможностей, перечисленных выше, Даламбер берет только три, а именно: 1) герб, 2) решка — герб. (А') 3) решка — решка. Из них благоприятных два. и искомая вероятность, гю Даламберу. равна 2/3. Аналогично дело обстоит и при трех бросаниях. Какова вороятность того,что при трех бросаниях монеты появится горб.по крайней морс один раз? Равновозможных случаев всего восемь: 1) герб — герб — герб, 2) герб — герб — решка, 3) герб — решка — герб, 4) герб "- решка —.
решка, 5) решка — герб — герб, 6) решка — герб — решка, 7) решка — решка — герб, 8) решка — решка — решка. (Гл. г'1 Статистические распределения 232 Благоприятных случаев семь, и искомая вероятность равна 7/8. По Далам- беру же появление герба делает дальнейшие бросания уже ненужными. а потому он перечисляет только четыре различных случая, а именно: 1) герб, 2) решка — герб, ВР 3) решка — решка — горб, (В) 4) решка — решка — решка. Из нях благоприятных три. и искомая вероятность. гю Даламберу, равна 3/4. Ошибка Даламбера состоит в том, что случаи (Л'). а также (В') оп принял за равновозможные, тогда как в действительности они не являются таковыми. 7.
Если пользоваться одним только определением вероятности (70.1), то вычисление вероятности н каждом конкретном случае требует разложения событий на равновозможные. Необходимость этого устраняется основными теоремами теории вероятностей, известными под названием гпеоремы слошссиил и глеоремы. умиоэюеиил оероятиостей. Теорема сложения вероятностей. Вероятность сулоееы несооместимых событий, равна сумме оеролггпеоопеей этих собьппий. /(ействительно, разложим единственно возможные и несовместимые события Аы Аз,..., А„на равновозможные, как зто делалось при введении определения (70.1).
Пусть событие Л является суммой событий А ~ и Аш т. с. состоит в появлении либо события Аы либо события Аз (безразлично какого). Так как события А1 и Аз несовместимы, то число равновозможных случаев, благоприятных событию В, будет равно сумме равноиозможных случаев, благоприятных собьп ням А1 и Аз, т.е. гп1 + гпз. Вероятность же события В будет Таким образом, если события А~ и Аз несовместимы, то Р(А, + Аз) = Р(А,) + Р(Аз). (70.2) Пример 3. Вероятность выяуть красный шар в примере 1 равна Р,р —— = 25/! 00, вероятность вынуть зеленый Р„„= 45/100, вероятность вынуть цветной шар 25+ 45 70 7 1000 ' ' " 100 1О Пример 4. В примере 2 вероятность события 1) из группы (А') равна 1 2, а вероятности событий 2) и 3) из той же группы равны 1 4. Действительно, событие 1) из группы (А') есть сумма несовместимых равновозможных собыгий 1) и 2) из группы (А).
Поэтому для вероятности (при двух бросаниях) появления горба хотя бы один раз мы получаем па основании теоремы сложения вероятностей 1 1 3 Р.— —. —, 2 4 4' т.е. верный результат. Аналогично разбирается случай трех бросаний. Ве- роятности событий из группы (В') равны соответгтвенно 1,'2, 1/4, 1/8, 1,'8, з 70) Элсементарньсг соы1ется ис пмории вероятностей 233 и для вероятности. о которой идет речь в примере 2,находим 1 1 7 Р .= — т— 2 4 8 8 т.е. снова верный результат. Сумма оероятмоглвей осех единстаетсо оозмоэстсых и сюсоомеспшмых событий роотси едшсице: (70.3) Рс + Вт + + Ря — 1 Это утверждение является непосредственным следствием теоремы сложения вероятностей. с[ействительно.
так как события единственно возможны, то появление одного из них (безразлично, какого) есть событие достоверное. Вероятность такого события равна единице. С другой стороны, но теореме сложения вероятностей вероитносп, того же события может быть представлена суммой Рс + Рт +... + Р,. В результате и получается соотношение (70.3).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
