Д.В. Сивухин - Общий курс физики, Т2. Термодинамика и молекулярная физика (1106322), страница 52
Текст из файла (страница 52)
На очень тонкой кварцевой нити подвешивается маленькое зеркальце. Под действием ударов молекул окружающего газа зеркальце совершает беспорядочные крутильные колебания около положения равновесия. Это и есть врищательное броуновское двггэгсение.,>[ля его наблюдения на зеркальце направляется световой лу.ч. После отражения от зеркальца луч падает на шкалу. По положению светового зайчика на шкале можно огц>еделить угловое положение зеркальца. При повороте зеркальца на некоторый угол на такой же угол закручиваегся нить. Закрученная нить обладает потенциальной энергией (1>>2)~~р"-, где 1 .- модуль кручения нити, а ~р - угол поворота зеркальца из положеяия равновесия.
Если бы не было никаких других сил,то под действием закрученной нити зеркальце совершало бы гармонические крутильные колебания. При гармонических колебаниях средние значения потенциальной и кинетической энергий равны !! !2)йТ. Это приводит к формуле >'(>еэ) = ВТ„из которой следует (бас !) С помоп1ью этой формулы можно вычислить постоянную Вольцмана 1ь Справа стоят величины., которые можно измерить экспериментально, Вшгичину (рэ) лгожгго найти, если отмечать положения светового зайчика на шкале через равные промежутки времени, По этим положениям определятся угловые координаты зеркальца, т.е.
углы сгг, цш..., оь, образуемые плоскостью зеркальца с некоторой фиксированной вертикальной плоскостью. При достаточно болыпом числе и угловая координата цо плоскости зеркальца в положении равновесия найдется как среднее арифметическое углов ом оэ,..., он. После этого найдутся угловые смещения зеркальца из положения равновесия: рг = ггг — оо,..., дгг = о„ вЂ” оо, а затем и Для определения модуля кручения нити >' поворачивают зеркальце из положения равновесия на угол, большой по сравнению с,Яда). В результате зеркальце начнет совершать правильные крутильные колебания, на которые накладывается броуновское дрожание.
Измерив 212 Молекулярно-кинепэическая оэеория веиэесгавв ) Гл. 1г период этих крутильных колебаний т, найде~ 7" но формуле т = 2к у'771", где ! момент инерции зеркальца (см. т. 1, 2 79). Последний нс входит в формулу (65.1). Теоретически зеркальце можно взять сколь угодно большим. его масса, размеры и форма совсем не влияют на величину (1са). Масса зеркальца ограничена лишь прочностью нити, на которой оно подвешено. Кроме того, для справедливости теории необходимо.
чтобы масса нити была пренебрежимо мала но сравнению с массой зеркальца. Опыт был поставлен Канвлером в 1932 г. Приведем результаты одного из его опытов: Т = 287 К, 7" =. 9,43 10 ш Н м =- 9,43 10 э дин см, (,ра) = 4,18 10-"'.
Пользуясь ими, находим У ( 2) 9,48 10 ' 4,18 10 в 1 37 10 'э ~')ж'К = Т 287 = 1,37 10 ш эрг,'К. Это дает для постоянной Авогадро Юя = йф = 6,05 10~э моль' '. 9 66. Классическая теория тенлоемкости идеальных газов 1. Кээассическая теория теплоемкюспэи оснвваээа на предгэоложении, чгпо к агпомпо-молекрлярным сисгпемам применимы законы классической пьюгпоээовой механики. В действительности применимость ньютоновой механики к атомно-молекулярным системам ограничена.
По этой причине классическая теория не смогла дать полного удовлетворительного решения проблемы тенлоемкости и была заменена более общей квантовой теорией. Однако во многих случаях классическая теория приводила к удивительно хорошему согласию с опытом. Причина этого в том, что классическая теория является приближенным предельным случаем квантовой и, следовательно, имеет определенную область применимости. В пределах этой области выводы классической теории практически не отличаютгя от выводов квантовой. Мы начинаем изложение с классической теории.
Она проще квантовой. При таком порядке изложения отчетливее выявятся оринцивиальные затруднения классической физики, преодоление которых привело к замене классических представлений квантовыми. Для классических систем справедлива теорема о равномерном распределении кинетической энергии по степеням свободы. На основе этой теоремы можно построить классическую теорию тенлоемкостей газов и твердых тел. Начнем с тенлоемкости газов. В 824 было показано, 3 66) Классоесесиал теория спеилоемиоста идеальиллх галов 213 что для идеальных газов (66.1) Отсюда видно, что постоянная адиабаты у однозначно определяет обе молярные теплоемкости Ср и Сг идеального газа. Поэтому для сопоставления теории с опытом достаточно сравнивать между собой опытные и теоретические значения только постоянной адиабаты у. Внутренняя энергия газа состоит из кинсгичсской энергии поступательного, вращательного и внутреннего движения молекул и атомов. а также из потенциальной энергии их взаимодействия.
у(ля идеальных газов, когда молекулярные силы пренебрежимо мальц потенциальной энергией взаимодействия молекул можно пренебречь. 2. '1'енлоемкость одноатомных газов. Будем рассматривать молекулы одноатомного газа как материальные точки. Они могут совершать только ноступательныс движения. Вся внутренняя энергия газа сводится к кинетической энергии поступательного движения атомов. Средняя кинетическая энергия, приходя1цаяся на один атом, равна (Зу'2)0 = (3)2)йТ.
Для внутренней энергии одного моля газа получаем 1У = А', — йт = и Кт, 3 3 (66.2) 2 2 где Аа — постоянная Авогадро. Отсюда находим малярную тенлоемкость при постоянном объеме: Сг = —,, = — Я = 12,5 у(ж,с(моль К) = 3 кал,с(моль К) (66.3) сР/ 3 47' 2 и нри постоянном давлении; Ср = Си+ Л = —, Л = 20,8 Джу'(моль К) = 5 кал,У(моль. К). (66.4) 5 2 1!оказатель адиабаты (66.5) у = Ср,УС~. = 5,УЗ = 1.,67. Для одноатомных газов экспериментальные значения ",~ приведены в табл.
3. Согласие с экспериментом очень хорошее. Таблица 3 3. Тенлоемкость двухатомных газов. В качестве модели молекулы двухатомного газа принимают две материальные точки у и 2. жестко связанные друг с другом (рнс. 47). Такая модель нано- 214 Молекулярно-кииепгичеекал 1веорил веи1еглава (Гл. У минает гантель. 7[ля определения се положения в пространстве достаточно задать пять независимых координат.
Действите ~ьно, положение первой материальной точки можно задать ге прямоугольными координатами хы у1. гб положение второй — прямоугольными координатами ха. уз, гз. Эти шесть вели— У г чин, однако, не независимы, а связаны соотношением (ХЭ вЂ” Х! ) + (У2 У1) + (Ет — 1) = 1,2 — — сопв1, Рис. 47 которое означает, что 1эасстояние 1~2 между точками ! н 2 остается неизменным.
Получаетсл. таким образом, пять независимых координат. Значит, наша модель двухатомной молекулы имеет пять степеней свободы. В классической теории нет необходимости конкретизировать координаты, определяющие конфигурацию молекулы. Надо знать только среднюю кинетическую энергию всей молекулы. А для ее вычисления можно воспользоваться общими формулами (63.8) и (63.6). Они показывают, что средняя кинетическая энергия молекулы равна (1|2)7 йТ. где ( — еисло степеней свободы молекулы (для двухатомной молекулы 1" = 5). г(ля целей квантовой теории теплосмкостей необходимо, однако, распределить полнуи> кинетическую энергию молекулы по вполне определенным степеням свободы.
Удобно в качестве обобщенных координат взять три прямоугольнеис координаты центра масс двухатомной молекулы и два угла, определяющие направление оси 12. Кинетическая энергия молекулы слагается из кинетической энергии поступательного движения ее центра масс и кинетической энергии вращения вокруг него: 1 з 1 еиев = — пзо + —, 7ы . 2 2 Здесь 7 момент инерции молекулы относительно оси, проходящей через 0 перпендикулярно к прямой 12. Разлагая и и ы на их компоненты, представим е „„в виде суммы пяти членов: 1 1 з 1 з 1 2 1 г' „„= — ти, + —.
то„+ — пи, + —,- 7,ы, + —, 1,-ые. 2 " 2 ' 2 Эта формула дает разложение величины Е,и„на кинетические энергии, соответствующие трем поступательным и двум вращательным степеням свободы. На каждую из этих степеней свободы приходится в среднем кинетическая энергия (1|2)йТ, и мы приходим к прежнему результату свив = (5~2)ЙТ. Внутренняя энергия моля двухатомного газа по классической теории определяется выражением (66.6) з 66) Классическал теорпл теалоелскости идеалькелт ааааа 215 Отсюда находим Си = — = — й = 20,8 Дж/(моль К) = 5 калДмоль К), (66.7) сШ 5 Ж 7 Сг =- Сс + й = — — й 29,1 Дж/(моль К) 7 кол/(моль К), (66.8) 7 (66.9) 7=си~с~ =7/5=14. В табл, 4 приведены экспериментальные значения у для некоторых двухатомных газов.
Таблица 4 4. Теплоемкость многоатомных газов. Если молекулу рассматривать как твердое тело, то такая модель будет обладать шестью степенями свободы: тремя поступательными и тремя врап1ательными. Ее средняя кинетическая энергия равна 6 (1/2)ЙТ = 89Т. ! 1оэтому дпя многоатомных газов У = .М . З9Т = ЗйТ, Сг =- Зй 24,1) Дж/(моль К) 6 кал/(моль К), Сг = 4й = ЗЗ.З Дж/(моль К) = 8 калДмоль К)„(66.10) 7= с !с =4с'з=1,зз.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
