Д.В. Сивухин - Общий курс физики, Т2. Термодинамика и молекулярная физика (1106322), страница 49
Текст из файла (страница 49)
Электроноольт есть энергия. приобретенная,электпрояом при прохошсдшши разпосп!и потспциалоо о один польш.,'[ля атома водорода энергия ионизации равна 13.56 эВ. /[ля других атомов она того же порядка. Наибольшей энергией ионизации обладают атомы благородных газов, а наименьшей атомы п(елочных металлов. ~ 63) Равномерное 7исаредщмн ие кинюпичггкой энергии 199 Таким образом. энергия ионизации порядка десятка электронвольт. Поэтому электронвольт является удобной единицей для измерения сверхвысоких температур.
Так как заряд электрона е = 1,60 10 "' Кл, то 1 эВ = 1,6 10 '" Дж = 1.6 10 ьз эрг. Используя значение постоянной Вольцмана, отсюда получаем 1 эВ = ' и — — 1.!6 104 К. 1,6 10' 1,38 10 Тысяча элекгронволыг называется кплоэлехтроноильтом. Температуры, развивающиеся в момент взрыва атомных и водородных бомб, порядка 10 кэ — 10~ К. Примерно до таких же температур надо нагреть плазму, т. е, проводящий ионизированныя газ, чтобы в ней начались термоядерные реакции.
Так называются процессы слияния или распада атомных ядер, обусловленные их взаимными столкновениями при сверхвысоких температурах. ЗАДДЧИ 1. Сколько молекул находится в одном грамме водыу Ответ. 3,34 10вэ. 2. Сколько молекул находится в одном кубическом сантиметре воздуха при нормальном давлении и температуре 0 С? Ответ. 2,7 10''. 3. Допусгим, что все молекулы воды в стакане как-то отмечены.
После этого вода была вылита в водопроводный сток. По прошествии длительного времени вылитая вода равномерно перемешалась со вгей водой, имеющейся на Земле. Какое количество отмеченных молекул окажстгя в стакане, если его вновь наполнить водопроводной водой' ? О т в е т. Примерно 10 3 63. Равномерное распределение кинетической энергии по степеням свободы 1. Формулы (62.1), (62.2) и (62.3) показывают. что в состоянии теплового равновесия средняя кинетическая энергия движения поршня вдоль оси цилиндра равна средней кинетической энергии движения молекулы газа в том же направлении. Поршень, если отвлечься от его молекулярного строения, является механической системой с одной степенью свободы — его положение определяется одной координатой х.
Молекула, если также отвлечься от ес внутреннего строения. имеет ьчри поступательных сшепеяп свободы — ее положение в пространстве можно задать тремя координатами т„р, Ввиду хаотичности теплового движения все направления скорости молекулы равновероятны. Кинетические энергии движония молекулы вдоль координатных осей Х,У, Л в среднем одинаковы.
Таким образом, в состоянии теплового равновесия на каждую поступательную сгепень свободы молекулы и поршня приходится одна и та жс средняя кинстичоская энергия. Ее легко найти. заметив, что полная кинетическая энергия молекулы, 200 Милен срлярно-ксснетсс'ссекал теория оещеетни [Гл. Ъ' согласно формуле (62.5), есть е„„, = (3/2)О = (3/2)йТ. Эта энергия равномерно распределяется ио трем степеням свободы молекулы. Поэтому пи одну 'постуаательссую гтенессь соободьс молегйулы о среднем вриходипюя кинетическия эсшргия „„= (1/2)0 = (1/2)йТ. 2.
При выводе предполагалось, что поршень может двигаться вдоль оси цилиндра совершенно свободно. Однако для окончательного результата это яесучцественно. Можно представить себе, например, что поршень удерживается в положении равновесия пружиной. В состоянии теплового равновесия средняя кинетическая энергия поршня но- прежнему будет равна (1/2)йТ.
Действительно, собственный период колебаний поршня на пружине очень велик но сравнению с длительностью столкновения молекулы с поршнем. Поэтому наличие пружины никак не влияет на акт столкновения молекулы с порсинем последний ведет себя так. как если бы он был свободным. Однако нри наличии пружины поршень будет обладать также носиенциа,льной энергией, испытывающей быстрые и нерегулярные изменения под действием ударов окружаюсс1их молекул. Предположим, что сила квазиунругая.
т.е. пропорциональна смещению поршня из положения равновесия. Найдем для этого случая среднее значение потенциальной энергии поршня нрн тепловом равновесии. Пусть м жесткость пружины. Свободные колебания поршня будут гармоническими; х = а сов(ис1 + б) с круговой частотой ис = усы/Я. Потенциальная энергия поршня епог =, скх = ска сов (с/г+ б) ° 1,,г 1, г г 2 2 кинетическая е „, = —, Мх = —, сг1а ис зсв (ыс+ б) = —, ма в1сс (ос1+ б). 2 2 2 Записссеьс эти выражения в виде еп„= — сно, (1+ сов[2(ыс+ б))). е „„= — сказ(1 — сов[2(ш1+ б))1.
Косинус и синус с равной вероятностью принимают как положительные, так и отрицательные значения и нри усреднении обращаются в нуль. Поэтому — 1 — г Енот аппо 4 (63.1) Отсюда (е~~) = (1/2)ЙТ. Таким образом. средние значения кинети"сеской и иотенциильной энергий одслникооы. Если сила, удерживающая поршень, не квазиунругая. то этот результат, вообще говоря, неверен. 3.
Наличие поршня не может сказаться на окончательном распределении эноргии между газами, находящимися по разные стороны от него. Если убрать норшенсч то обмен энергиями между ними будет ~ 63) Равномерггое рвепредеггение нинегпичеекой энергии 201 1 и = — еэ гн;игг где гп, масса, а иг скорость молекулы поргпня в направлении оси Х. (Вместо и, было бы логичнее писать иг, но мы опускаем индекс л, чтобы не загромождать формулы.) Возведя в квадрат, получилг — Ми = — ~тт ии.
Усредним это соотношение по времени. Ввиду хаотичности теплового движения молекул поршня (иггг ) = 0 при г ф 1. В предыдущей сумме надо учитывать только слагаемые с г, '= ~. В результате получится — „М (и ) = ~ ггг; ( и, ) . По доказанному выше (1,г2)М(на) = (1(2)кТ, следовательно, т, (и,) = —, кТ. (63.2) (63.3) Допустим теперь.
что все молекулы поршня. а потому и все массы пгг, одинаковы. Тогда 2,гп';(иг) = гугп~(ге~), где Лг = М/ггг, — обгцее число молекул поршня. В результате ггаходилг — т, (и,;) = — ЫТ. 1 г 1 2 ' ' 2 (63.4) Таким образом, и для молекул поршня имеет место равномерное распределение кинетической энергии по степеням свободы: на каждую поступательную степень свободы приходится в среднем кинетическая энергия (1г2)ЙТ. Разулгеется, это справедливо не только для энергии движения вдоль оси цилиндра. но, ввиду хаотичности тегглового движения.
также и для энергии движения молекулы в любом направлс нии. Сделанное при выводе предположение об одинаковости молекул поршня не играет роли. 5. Приведенное рассуждение позволяет снять ограничение, наложенное в предыдущем параграфе на плотности газов. Действительно, возьлгем в качестве поршня сколь угодно плотный тазг заключенный между двумя твердыми стенками. К молекулам газа применйм результат (63.4). Это показывает, что для справедливости теоремы о равномерном распределении кинетической энергии по степеням свободы вредположение о малости плотности газов совершенно несущественно.
осуществляться путем непосредственных столкновений мо,пекул газа 1 с молекулами газа 2. Явление осложняется перемешиванием 1диффузией) газов. Но средние кинетические энергии поступательного движения молекул обоих газов в состоянии теплового равновесия останутся одинаковыми.
То же справедливо и для смеси произвольного числа различных газов. 4. Учтем, наконец, молекулярную структуру поршня и оггределггм среднюю кинетическую энергию поступательного движения его молекул. Если и — скорость центра масс поршня, то 202 Молекулярно-кинетическая теория вегйесепво (Гл.
у 6. Несущественно также и то обстоятельство„что телом, к которому относилось приведенное рассуждение. является поршень. Для любого тела, если оно находится в состоянии теплового равновесия, на каждую поступательную степень свободы приходится в среднем одна и та же кинетическая энергия (1/2)кТ. Используя эту теорему и проводя рассуждения, приведшие нас к формуле (63.2), в обратном порядке, можно получить новыи существенный результат. Пусть произвольное макроскопическое тело находится в жидкой или газообразной среде, в которой оно может свободно двигаться в любом направлении.
Можно предположить, что сила, тяжести и другие поля отсутствуют. Можно также предположить, что тело удерживается в положении равновесия какими-либо силами, например архимедовой подъемной силой, упругой силой пружины и т. и. Во всех этих случаях центр масс тела должен совершать беспорядочные тепловые движения. для скорости Г которых можно написать 1 31(1гг) 1 ~ 2( 2) В приведенном ранее рассуждении считалась известной левая часть этого равенства.
Теперь, наоборот, известна правая часть и нужно найти левую. Так как молекула имеет три поступательных степени свободы, то (1/2) т,(и,. ) = (3(2)йТ, а потому пп 3 — еп, (о.) = — йТ = —, ЙТ. 2М ' е 2 и 2 Это дает М(1г2) У„Т (63.6) Таким образом, на постуиатыеькое двиэюение цешпра масс мак1оскоиического тела в среднем приходипосл та оксе энергия, (3,12)1сТ, гто и на поступитгигьное двиэксение одтю, леолекульь В этом отношении всякое макроскопическое тело ведет себя как гигантская молекула.
Видно, что и на вращение тела как целого вокруг неподвижной оси при тепловом равновесии приходится в среднем кинетическая энергия (1/2)йТ. Чтобы это доказать, достаточно заметить. что угловая скорость вращения тела Х2 вокруг неподвижной оси равна люменту количества движения тела, деленному на его момент инерции 1 относительно той же оси. т.е. 1 к зг = — гз т,г;иь где и; — составляющая скорости 1-й молекулы, перпендикулярная к оси вращения и к радиусу-вектору гь По аналогии с формулой (63.2) получаем —,!(Й ) = — ~~ т;г, (и,). ~ 63) равномерное раепредюмпае кинтпичегкоа энергии 203 откуда -!(П) =-~т-У-пигс=г~т.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
