Д.В. Сивухин - Общий курс физики, Т2. Термодинамика и молекулярная физика (1106322), страница 46
Текст из файла (страница 46)
Эта сила, усредненная по времени, и есть давление газа, с которым имеет дело макроскопическая физика. 3. Вычислим давление газа на стенку сосуда. Пусть газ заключен в закрытый сосуд и все молекулы одинаковы. Вообще говоря, они движутся с различными скоростями, отличающимися друг от друга как по величине, так и по направлению. Разделим все молекулы на группы так, чтобы молекулы одной и той же группы в рассматриваемый момент времени имели приблизительно одинаковеие по величине и направлению скорости. Скорость молекул з-й группы обозначим через о,, а число таких молекул в единице обьема — через нь Возьмем на стенке сосуда малую площадку а (рис.
43). Если молекулы движутся по направлению к площадке о.. то они могут столкнуться с ней. Если же они движутся и от площадки, то столкновений не будет. !'1редположим, что молекулы з-й грузшы движутся по направлению к площадке а, и подсчитаем число молекул такой группы, ударяющихся об эту площадку за малое время ~й, Построим на площадке а, как на основании, косой цилиндр с образующими и; Ф, расположенный внутри сосуда. Всякая молекула 1-й группы, находязпаяся в этом цилиндре.
за Рис. 43 время ей успеет достигнуть площадки о и удариться о нее. Поэтому число ударов ., будет равно числу молекул з,-й группы внутри построенного цилиндра. т.е. ез = зг, еЛ', где е11з' — объем цилиндра. Направим координатную ось Х вдоль внешней нормали к площадке о. Тогда высота цилиндра будет равна и,, И, а его объем е11з = пиза ~й. Следовательно, а, = азззи,е ~й. )~альнейший ход вычислений зависит от характера взаимодействия ударяющихся молекул со стенкой. Обычно при вычислениях считают, что стенка гладкая, а молекулы при ударе отражаются от нее зеркально, т.
е. по законам удара идеально упругих шаров: абсолютная величина скорости нри отражении не изменяется, угол падения равен углу отражения. Затем доказывается, что эти предположения не являются существенными. Однако в действительности стенка сосуда для ударяющейся молекулы не может быть идеальным зеркалом ведь она сама состоит из молекул. Благодаря этому молекулы 1-й группы после отражения будут иметь, вообще говоря, самые разнообразные по величине и направлению скорости, направленные от стенки.
и распределятся по различным скоростным группам. Поэтому лзы проведем дальнейшие 188 Молекраярно-кинетическая теория еещетпеа )Вл. М вычисления, не вводя никаких специальных предположений относительно законов отражения молекул от стенки сосуда. Единственное предположение, которое будет использовано в вычислениях, состоит в том, что при отраоюелэии опэ стенки молекула а среднем не теряет, и не приобретаега кинетическую эпергшо.
В дальнейшем буде~ показано, что это предположение означает. что температура, газа доллсна быть ранна температуре стенки. Для целей вычисления процесс взаимодействия молекулы со стенкой удобно мысленно разбить на два этапа. На первом этапе молекула замедляется и останавливаегся. как бы прилипая к стенке. На втором этапе молекула отталкивается стенкой, ускоряется и отскакивает от нее. Вычислим сначала силу Е',, которая действовала бы на площадку о. со стороны газа, если бы весь процесс взаимодействия молекул газа со стенкой ограничивался только первым этапом, т. е. в предположении.
что после ударов молекулы газа как бы прилипают к стенке. Молекулы эзй группы, ударившиеся о площадку о за время Ж, от удара обладали количеством движения ;р; = оп„о;.р, аг, где р, — — количество движения одной молекулы. Чтобы остановить эти молекулы, стенка должна действовать на них с силой Г,', импульс которой равен ~1Ж = — он;о„,р, аг. Изменив направление вектора ~Г на противоположное, мы найдем силу Е, — 1,' = опно,,р,. с которой действуют на площадку о молекулы э,-й группы на первом этапе. Сила Е'м действующая на эту площадку со стороны всего газа, найдется суммированием этих выражений по всем группам молекул, летящих по направлению к стенке (для них о„.
) 0), т, е. Е ~ = ~~ ов,,оэярг. е„>0 К силе Е'э следует прибавить силу Е'з, которая действует на плошадку о. на втором этапе. Сила Е'з вполне аналогична силе отдачи, испытываемой орудием при выстреле. Роль снаряда играют молекулы, летящие от площадки о. т.е. молекулы, для которых о, ( О. Сила Еэ = ~~', оэмоэерэ. <о Разделение взаимодействия на два этапа, конечно, является только искусственным вычислительным приемом. На самом деле силы Е1 и Е з действуют одновременно и складываются в одну результирующую силу Е = Е" ~ +Е'з = о-~прог р;.
Здесь суммирование производится уже но всем группам молекул, летящим как к стенке, так и от нсе. Сила Е направлена нормально к площадке о. Это является следствием хаотичности теплового движения молекул. Действительно, составляющая силы Е я направлении оси У равна го о ~ 7М егер~э З 59) Даггление хааа с точки зрения молекулярно-кинетической теорин 189 Ввиду хаотичности теплового движения среди слагаемых входящей сюда суммы встретится примерно столько же положительных членов, сколько и отрицательных.
В среднем положительные слагаемые будут скомпенсированы отрицательными, тлк что сумма обратится в нуль. То же справедливо и для составляющей Р . Этого не будет только для нормальной составляющей Р,г представляемой суммой ~х — ге~~' ггггггхргх все члены которой существенно положительны.
так как знаки проек- ций игх и р;х всегда одинаковы. Разделив слагающую г; на площадь гг, получим давление газа на стенку сосуда: ~ Егг Огхргх. Это выражение можно упростить„если ввести среднее значение произведения о„рх. Сумма таких произведений для молекул газа. находящихся в единице обьема. равна ~ ы,и, р; . Чтобы найти среднее, надо эту сумму разделить на общее число молекул п, в единице об ьеъга. Это дает 1 т Ьхрх) Х Ыг'гггхргх и 159.1) (угеговые скобки означают усреднения по совокупности всех молекул). /[авление Р теперь можно представить в виде Р=гг(и р ). (59.2) По определению скалярного произведения и1з = и Рх + очРо + ихРх.
г,ихрх) = г,пури) = (ихрх) = —, (ур). 1 (59.3) Это дает Р = —, ы(мр). 1 (59.4) Если объем сосуда. в котором заключен газ, равен уг, а полное число молекул в этом объеме равно гг'. то ы = Дг/Г'. Подставляя это значение в предыдугг1ую формулу. получим Р\~ = —, гг'(ур). (59.5) 4.
При выводе формул 159А) и (59.5) не учитывались столкновения молекул друг с другом. Для не слишком плотных газов межмолекулярные столкновения практически не влияют на окончательный Усрегдняя это соотношение, получим (ир) = (ихрх) + (игурх) + (ихрх). При хаотическом движении, каковым является тепловое движение молекул газа, все направления скоростей молекул равновероятны, а потому 19О Молекьуяярно-кинетььчеекая теория вгщешпва (Вл.
М результат. Прп столкновениях молекулы переходят лишь из одной скоростной группы в другую. Состав каждой скоростной группы поэтому быстро и непрерывно меняется. Но для вычисвения давления Р несущественно, какие именно индивидуальные молекулы входят в каждую скоростную группу. Существенны лишь средььие числа молекул в группах. Если состояние газа -. установившееся, что должно предполагаться при выводе формул (59А) и (59.5), то среднее число молекул в каждой из скоростных групп остается неизменным.
Остается в среднеи неизменной и сумма ~ ьь,(иьрь). а с ней и давление газа Р. Однако столкновения вносят качественные изменения в физическую интерпретацию давления Р. !!ока не было столкновений, молекулы газа совершенно не взаимодействовали друг с другом. Величина Р имела только один смысл: она давала даолеьше газа ььа сгпениу сосуда. !!ри наличии столкновений появляется силовое взаимодействие между льакроскопическимн частями газа. Роль стенки для любой макроскопнческой части газа может играть граничаьь1ая с ней другая макроскопическая часть того же газа.
В этих условиях величина Р иььеет также смысл онутреьтего давления, посредством которого осуществляется силовое взаимодействие между ььрикьыкаюьь1иььи друг к другу макроскопическими частями газа. Именно такой смысл имеет давление Р в гидродинаъьике и аэродинамике. 5. формулы (59А) и (59.5) применимы как к нерелятивистским, так и к релятивистским движенияль молекул.
В случае нерелятивистских движений масса молекулы ьп может считаться постоянной. Полагая в формулах (59.4) н (59.5) р = нмь, получим для этого случая Р= —,пт(о ), 2 :5 (59.6) 2 — (Еяос е) ° .'5 где (Еяе,т) — среднее значение суммы кинетических энергий поступательного движения всех молекул газа. 1!ри столкновениях энергии РГг = —, ь'ьььп(ьР).
3 (59.7) 11ри выводе этих формул эюлскулы рассматривались как бесструктурные материальные точки. Не. принималось во внимание враьь1еьььье молекул, а также внутримолекулярное движение. Г!ри столкновении могут меняться скорости вращения молекул. Молекула может перейти в возбужденное состояние или из возбужденного состояния вернуться в нормальное. Но все эти процессы не играют роли, когда речь идет о вычислении давления газа. Существенно только изменение посьпуькьтельноео когшчесоиш дгэизьсеьььзл лпьлекулы при столкновениях ее со стенкой. Оно равно массе молекулы, умноженной на изменение скорости се центра масс. ! !оэтому формулы (5ь).6) и (59.7) остаются в силе.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
