Д.В. Сивухин - Общий курс физики, Т2. Термодинамика и молекулярная физика (1106322), страница 43
Текст из файла (страница 43)
Если фиксировать л,то видно, что в каждой точке пространства температура 7' совершает во времени гармонические колебания с одним и тем же периодом т =- 2хДш Фаза этих колебаний меняется от точки к точке. Поверхность равной фазы »э! — ~ — я = сопв! )( 2Л (55.8) где (55И 2) есть плоскость, параллельная поверхности среды. Она не остается на месте, а перемещается в направлении оси Х с определенной скоростью е.
Поэтому возмущения, описываемые решением (55.6). называют тглп»гран»ур»»ой еол»*о»», а постоянную е — !разовой скороетью или просто скоростью этой волны. Скорость и легко найти дифференцированием уравнения (55.8). Это дает (55,9) с!! т Длина температурной волны Л есть расстояние, проходимое ек> за период г, Л = пт = 2х.~хЛг. (55. ! 6) Амплитуда Д температурной волны, как видно из формулы (55.0). затухает в направлении распространения по экспонепциавьиому закону: А=Тес (55П!) "3 55) Принцип срперпозиции темтмратйр, Температурные волны, 177 Постояшсая о называется ноэ4фицссенгпом оатйхашся тсмперитйрной волны.
На протяжении длины 1 — — 1ссо — —. Л,~2я амплитуда волны убывает в е раз. 5. Лагко найти, каким начальным и граиичиылс условиям удовлетворяет решение (55.6). Эти условия получатся, если в формуле (55.6) положить сначала х =- О, а затем 1 — — О. Таким путем находим (55.13) Т вЂ” о То сов то Тс=о = То ехр( — сС вЂ” се) сслз с,~' — сс, '1 2Л .с )( ой "' (55.14) На основании теоремы одивствепиости (см.
354) делаем вывод, что одинствеииым решением, удовлетворяющим этим условиям, является решение (55.6). В противоположвсють граничному условию (55.13) начальное условие (55.14) имеет весьма искусственный характер, и реальная физическая задача должна ставиться ио как задача с граничными условиями, а иначе. Возможиа, папример, следующая постановка.
На поверхности среды в молсент времени 1 = О возбуждаются, а зачем поддерживаются неограниченно долго гармонические колебания. представляемые выражением (55.13). Никаких источников теплоты внутри среды вет, начальное распределение темпера; туры может быть каким угодно. Требуется определить, какие колебания температуры установятся в среде по прошествии достаточно длипиого промежутка времени. Ответ дает формула (55.6). Действительно, по прошествии очень длиппого промежутка времеви все колебания температуры в среде затухиут, за исключением вынужденных колебаний, поддерживаемых внешними источниками, причем эти вынужденные колебапия должны обла,зать той же периодичностью во времени, что и колебания температуры иа поверхности среды. 6.
Примевим выведенные результаты к тепловым волнам, возбуждаемым в поворхиостиом слое Земли суточными и годовыми колебаниями температуры ее поверхности. Для простоты будем считать, что колебания являются гармоническими. 1'еальиые колебания, кояечио, ие гармонические. Но это мало существенно. Дело в том, что любое периодическое колебание можно представить в виде наложения гарлсоиических колебаний кратных периодов, причем основное звачоиие имеют визкочастотвыо колебания.
поскольку коэффициент затухаяия растет пропорциоиальио квадратному корша из частоты. Периодами таких визкочастотиых колебаний в пашей задаче являются соответствевво год и сутки. Глубины проникновения суточпых и годовых темпоратуриых вола, согласно форму:ое (55.12), должны быть связаны соотношением чГтчз1'тм -. у'365 19. И действительно, экспериментально было найдено, что колебания температуры, вьтываемью нагреванием зеыной поверхности днем и охлаждеиигм ночью, ие влияют иа температуру Земли уже иа глубине около 1 м. Годовые жг колебания зсмиой поверхности, связавиые с нагреванием ее летом и охлаждением зимой, перестают наблюдаться на глубине около 20 м.
Глубже температура Земли совершено ве зависит ог температурных колебаний ее поверхности. Все это находится в полном соответствии с теоретической оценкой, приведенной выше. Влсесте с тем мы видим, что глубина проникновения температурных волн превобрежимо мала по сравнению с радиусом Земли. Вот почему при вычислениях можно было совселс пренебречь сферичиостью Земли и очи гать оо плоской.
)Гл. 1У Тг плопроеодкосг)ль Другое подтверждение теории дают наблюдения по скорости распростра- нения тепловых волн вблизи земной поверхности. Наблюдения показали, что скорость распространения тепловых волн с периодом в одни сутки е,, 1 м?сут. а скорость волн с годичным периодом егы 0,046 м,'сут. Отношение этих скоростей ') г ?о,. л — 1!)0,046 — 22, тогда как по теории оно должно быть в,г,?г,,х — —.,/т, х?);г =. л)565 — 19. Полного согласия ожидать трудно хотя бы погому) что Земля нс является однородной средой.как это предполагает теория. ~ 56. Задача об остывапии полупространства П Пусть однородная среда заполняет полупространство, ограниченное плоскостью:г.
— О. В началы)ый момент времени ! — 0 температура среды всюду одинакова и равна '!е. Темперагура на поверхности среды все время поддерживается постоянной и равна 7') у' Те. Таким образом, в начальный момент на границе среды температура испытывает скачок.
Требуется найти распределение температуры Т(я, !) в среде во все последующие моменты времени. Эта задача была поставлена н решена В. Томсоном. Она является гипичной краевой задачей, к когорой применима георема единственности) доказанная в э 54. Направим ось Х внутрь среды перпендикулярно к ое границе. Распределение температуры описывается уравнением теплопроводности (52.6). Чтобы найти его решение, удовлетворяющее требуемым начальным и краевым условиям, воспользуемся сначала методом размерности. Задача состоит в нахождении связи между переменяыми Т.
т.. ! и параметрами Те. Т), Как видно иэ уравнения (52.6). тсмпоратуропроводность Х имеет размерность квадрата длины, деленного на время. Учитывая это, нетрудно стандартным способом показать, что из шести величин 7',:г, ?, Тв. 7), х можно составить только три независимые безразмерные комбинации, паприл)гр ?? Ге, ! ) ! Ге, )г! л) Х?. Согласно правилу раэл)ерности распределение температуры в среде люжет быть записано в виде функциональной связи между этими безразмерными комбпнациямп. Но вторая из яих Т) )Те есть просто постоянное число и, следовательно, может не учитыватьгя при написании искомой функциональной связи. Таким образом. должно быть Т)Тд = Г(я?л'Х!), или Т вЂ” 7(б), ?ог6.1) где введено обозначение б =- я! ъ/х!.
!56.2) 5)виый) вид функции ! можно определить из уравнения теплопроводностп (52.6). Дифференцированием находим: )7Т )?!' дб ф' 1 )7з дб Г?я дб 2 ))т?' д Т дз!' 1 дб дэГ 1 дя дбз 2л)х! Вя дбэ 4Х?' д"!' ~Ч д( 1 сЧ л д! 44 д! 4 дб ?,'т.!' з 56) Задича об астамеанпп, палупростринстеа 179 Подставляя зги значения в уравнение 152.6), получим после сокращения д'-Рдба =- — гб,у~дб. 156.3) Обозначая дифференцирование по ( штрихом и разделяя переменные. запишем зто уравнение в виде гГГ'(Г' =- — 2545, нлн г1К(Г' =- — Нб~.
Интегрирование дает 7' =- Ае Интегрируя вторично и имея в виду, что à — 7', получим !'згхт а Т.=-А ~ е ~ дбз В. о Гз,~ ы Т = 2 ~ е 45~7). Т вЂ” Т (56.4) о Из атой формулы дифференцированием по:с получаом значение температурного градиента дТ Т.— Т ) .а1 — ехр(-.— да хЯ~Г х 451 ~ 156.5) В частности,па поверхности среды, т.е.при я †. О, дт 7'а — 77 156.6) д х/~М' Если по формуле (55.9) ввести сюда скорость распространения тепловых волн с с периодом т, то получится — =- 2 156.7) д» ах'тс 2. формула )56.7) интересна в том отногаении, что с ее помощью Томсон вычислил возраст Земли.
В то время считалось, что первоначально Земля находилась в огненно-жидком состоянии. В недрах Земли происходили интснсивныс процессы перемешивания, приводившие к выравниванию температур. Приближенно можно было считать температуру Земли одной и той же во всех ее точках. Позтому задача об остывании Земли аналогична рассмотренной нами задаче об остывании полупространства. Сфсричность Остается найти постоянные интогрирования А и В.
Полагая а -:= 6, 1 ф ф О, получаем Т .= В. Таким образом, постоянная В дает температуру поверхности среды во все моменты времени 5 А О. По условию задачи она постоянна и равна Тм Для определения постоянной А воспользуемся начальным условием: Т = Та при Г = О. Это дает Т. = А ~ ..-' 45 + Т,. о В интогральном исчислении доказывается, что входящий сюда иптеграт равен з/т/2. Таким образом.
7а — — 1А + 2)х'и + 7 м Окончательное решение задачи имеет вид ) Гл. 1Ъ' 16О Тгллолроеодноггль Земли пе может играть существенной роли, если нас интересует температурный градиент внутри тонкого поверхностного слоя Зем.лн. В этом случае можно воспользоваться формулой (56.7) без всяких изменений. По мере остываиия Земли образовывалась твердая земная кора. Начало этого процесса и принимается за момент времени, от которого отсчитывается возраст Земли. Томсон предположил, что температуропроволность Земли все время оставалась постоянной, н для вычисления возраста Земли 1 вослользовался формулой (56.7).
Как мы уже говорили, на глубине 20 и более метров на температуру Земли уже не оказывают влияния температурные колебания окружающей атмосферы. Измерения показали, что на таких глубинах температура повышается приблизительно ла 1' при углублении на каждые 25 м. Далее, Томсон условно принял, что темлература поверхности Земли Тг равна 0 С, а в качестве '1э взял температуру затвсрдевания горных пород: Те 4000 'С.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
