Д.В. Сивухин - Общий курс физики, Т2. Термодинамика и молекулярная физика (1106322), страница 40
Текст из файла (страница 40)
При наличии источ- ников сюда надо добавить количество теплоты 4пг1т г1т гй, Однако решения такого уравнения аналитически можно получить только в простейших случаях. Наиболее важными являются случаи, когда среда и распределение температуры в ней обладают сферической или цилтигдричегной симметривд,. Поэтому мы не будем выводить уравнение (ог2.9) а ограничимся случаялги сферической и цилиндрической симметрии. В этих случаях, вместо прямоугольной системы координат, более удобными являются сферичвскал и цилиндрическая коордипиппггае системьг. 1(т) 1(г -1- дт) Рассмотрим сначала случай сфе1лической симметрии.
Вектор плотности потока теплоты ! направлен вдоль радиуса, при- l' чем 1, помимо времени, зависит только от гл Опишем вокруг центра симметрии две концентрические сферы с радиусами 1'ис. 41 т и т+г! (рис. 41). Количество теплоты, поступающее за время гй в пространство между этими сферами через первую из них, равно 2(т) 4птзгй.
Количество теплоты, вытекающее за то же время через вторую сферу, будет г (г+г1т) 4п(г+ дт)з Ий Эти два количества Удобно писать в виде 4пОт~)т гй и 4пО2)„уо„й, чтобы подчеркнуть, что речь идет об одной и той же з функции 1т, но при разных значениях аргумента: т и т+ггт. Разность между ними ) Гл. 1Ъ' Тгплаправадиатгль Вместо соотношения (52.3) следует писать у = — мОТ/дт., так что дт 1 д гдт рси —, =,, —. (мт —,) + а. (52.11) Аналогичные рассуждения проводятся и в случае цилиндрической симметрии.
Понимая теперь под т расстояние до оси симметрии, получим дТ 1 д рс„—, = — — —, 1т1) + а. д1 тдт [ото 1о) ВТ 1 д У ВТ' рси —, = — — ) мт —,) + а. И тдт дт (52.13) 5. К уравнению теплопроводности надо добавить общее соотношение, которое должно выполняться на границе раздела двух произвольных сред. Это граничное условие состоит в том, что по обе стороны указанной границы должны быть одинаковы нормальные состввляюп1ие вектора Е Действительно, пусть А — граница раздела. а ив единичный вектор нормали к ней,проведенный например, от первой среды ко второй (рис.
42). Выре- 2 жем мысленно бесконечно малый цилиндр с образующими, перпенди- А В кулярными к границе раздела, и основаниями по разные стороны от 1 нее. Высота цилиндра 6 должна быть бесконечно малой высшего поРнс 42 рядка по сравнению с линейными размерами оснований. Тогда потоком теплоты через боковую поверхность цилиндра можно пренебречь. Если Я вЂ” площадь основания пилиндра, то количество теплоты, вступающее в него в 1 с, будет равно ец (2)) В Но эта величина, как и количество теплоты, содержащееся в цилиндре, должна быть пропорциональна его объему Бп, т, е, в пределе при Ь вЂ” ~ — г О должна обращаться в нуль. Таким образом, в пределе, когда оба основания цилиндра сливаются друг с другом на границе А В, должно быть ,.<В ~г~ (52.14) Это значит, что иа любой границе иармальиал соспшаллаащал вектора потника теплоты непрерывна.
Доказательство предполагает, что на поставляемое источниками. Но изменение количества теплоты в слое можно представить в виде р.4хтг дт с„дТ. Поэтому уравнение баланса теплоты будет дТ ! д рси — 2 (т,)) + Ч (52.10) дг .г От 1 53) Прастедкаое ткацианариыг. подачи на тсплапроаодность 167 границе раздела сред нет источников теплоты с конечной поверхностной плотностью.
При наличии таковых нормальная состанляющая вектора 1 может претерпевать разрыв. 3 53. Простейшие стационарные задачи на теплопроводность Все задачи на теплопроводность могут быть разделены на стационирэгые и пестациопарные. Стационарными нааыааэотасл такие задачи, а котпорыл температура Т не менлетсл оо оре,лшпи. Она является функцией только пространственных координат. В этом случае ОТ)Я = О. В одномерных задачах Т зависит только от одной пространственной координаты, так что отпадает надобность н символе для частных производных.
Рассмотрим простейшие стационарные однолэернью задачи. 1. Стационарное распределение температуры в бесконечной плоскопараллельной пластинке. 1(опустим, что имеется бесконечная пластинка толщины 1, поверхности которой поддерживаются при постоянных температурах Т, и Тсь Требуется найти распределение телшературы Т внутри такой пластинка.
Примем за ось Х прямую, перпендикулярную к пластинке. Начало координат поместим на плоскости 1, ограничииаюп1ей пластинку. Теплопроиодность и может зависеть от координаты аь Уравнение (52А) переходит и Из него следует. что нг1Т(с!ш = сопя!, или, ввиду (52.3)„1 = сопя!. Постоянство плотности потока теп.коты справедливо независимо от того, однородна пластинка или нет. Рассмотрим теперь простейший случай одяородпол1 пластшлки. В этом случае теплопроиодность и постоянна, а потому НТ/Нл = сопас Обозначая постоянную буквой А и интегрируя, получим где В вторая постоянная интегриронания.
Температура поперек пластинки меняется с координатой л по линейному закону. Постоянные А и В совершенно не зависят от теплонроиодности. Они определяются из граничных условий. При ш = О должно быть Т = Ты а при ш = 1 Т = Ть Это приводит к системе уравнений Т,=В, Т =А!+В, Определив из нее постоянные А и В, найдем распределение темпера; туры: т=-,+Т,. (53.1) 2.
Стационарное распределение температуры между двумя концентрическими сфералти. Обозначим радиус внутренней сферы через гы а внешней "- гз. Пространство между сферами запол- )Гл. !У Теплопроводггосгль нено средой, теплопроводность которой может зависеть от т. Из 1от2.11) следует, что при отсутствии в среде источников тепла распределение описывается уравнением (ит ) =О. А Т = — + В. г Постоггггные интегрирования А и В определятся из значений, которые принимает температура Т на границах сферического слоя. Это приводит к системе уравнений: А А Т,= — +В, Т = — +В.
г'г Определив из нее постоянные А и В, находим распределение телгггературы между сферами: Т вЂ” + тгТг — тг7'г штг(Тг — Т ) тг тг т)тг — тг) (53.2) 3. Стационарное распределение температуры между двумя концентрическими бесконечно длинными цилиндрами. Радиус внутреннего цилиндра обозначим через ты внешнего — тг, Температуры их поддерживаются нри постоянных значениях Тг и Тг. Стационарное распределение температуры между цилиндрами находится так же, как и в предыдущем случае.
Если среда между цилиндрами однородна,то получается 1 г 1и тг — гпг!и г'г ! г —. 7г !'3.3) + 1пт. !о3.3 !п(тг/тг) 1п(тг(тг) ЗА, [АЧИ 1. Урановый шар радиуса Я =. 10 см, помещеяный в госуд с водой, облучэатся равномерным потоком нейтронов. В результате реакций деления ядер урана в шаре выделяется энергия д = 100 Вт,'смг. Температура воды Т =- 373 К, твплопроволность урана я = 400 ВтДм. К). Найтгг стационарное распределение температуры в шаре, а также температуру в ого центре. !'е шеи не, В стационарном случае д7'ггдг О. В этом случае после однократного игзтегрирования уравнения 152.11) (д =- сопя!) получим дТ д С вЂ” тч дг Зм т Оно дает итг дТ)дт = сопв1. Таким образом, плотность потока теплоты 1 = — идТ/дт гнтлшетсл обропто пропорпггоггаггьно коадрпшу рисстогпгил т. Так и должно бьггь, так как поток теплоты через сферу радиуса т равен 4ятлу', а этот поток должен быть одним и тем же для всех сфер.
Допустим теперь, что среда между сферами однородно. Тогда теплопроводность и будет постоянной, а потому тг дТ)дг = сопва Обозначая постоянную — А, получим дТ)дт = — А,гтг, или после интегрированна з 54) йеетаииоиа!тие аадачи. Теорема единственности 169 Постоянная интегрирования С должна равняться ну<лю, так как в противном случае в центре шара мы получили бы бесконечное значение для производной дТ(дг. Интггрируя вторично с учотом граничного условия Т . — 7о при г = й,найдем Т = То -~- — ( й — г ). 6м Температура в центра шара 'Гс = '!'о +, = 790 К. дйэ бм 2.
По одноролному цилиндрических<у проводу беэ изоляции течет постоянный электрический ток. Определить стационарное распродсленивтомпературы в проводе, если его поверхность поддерживается при постоянной температуре !о. Ответ. Т = 7о Е э 4 (й — г ), где ! — <'ила тока, р — удельное ! Р 4хэ й~м сопротивление провода, й -- радиус провоза, г — расстояние до его оси. Все величины выражаются в единицах СГС. 3 54.
Неста11ионарные задачи. Теорема единственности 1. Будем предполагатеи что среда, в которой распространяется теплота, однородна, т.е. нсе параметры среды и, Р, с„ не зависят от координаты. Будем считать также, что они не зависят от времени и температуры, т.е, являются постони«яами. Когда температура Т зависит только от одной пространственной координаты х и времени, уравнение теплопроводности при наличии источников теплоты имеет вид 152.8) или с учетом 152.3) ВТ <7!эТ Рги, — м э + <<х< !) (54.1) !>! <7 э «Плотность мощностиэ источников теплоты <! должна считаться заданной функцией координаты и времени.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
